1、一、集合元素与集合集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性集合间的基本关系子集：若对任意 xA，都有 xB，则 AB(或 BA)真子集：若 AB，且 B 中至少有一个元素不属于 A，则 A B(或 B A)相等：若 AB，且 BA，则 AB结论：若有限集 A 中有 n(nN)个元素，则 A 的子集有 2n个，真子集有(2n1)个集合的基本运算并集：ABx|xA，或 xB，ABABB交集：ABx|xA，且 xB，ABABA补集：UAx|xU，且 x A，ABUAUB二、充分条件与必要条件命题真假“若 p，则 q”为真命题“若 p，则 q”为假命题推出关系由 p 能推出 q，记作 pq由 p
2、不能推出 q，记作 p/q条件关系p 是 q 的充分条件p 不是 q 的充分条件q 是 p 的必要条件q 不是 p 的必要条件三、充要条件如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题，即既有 pq，又有 qp，就记作pq此时，p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件，我们说 p 是 q 的充分必要条件，简称为充要条件概括地说，如果 pq，那么 p 与 q 互为充要条件四、全称量词与全称量词命题全称量词全称量词命题全称量词命题的真假判断短语 “所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 “”表示含有全称量词的命题，叫做全称量词命题全称量词命题“对 M 中任意
3、一个 x，p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)全真为真，一假为假五、存在量词与存在量词命题存在量词存在量词命题存在量词命题的真假判断短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示含有存在量词的命题， 叫做存在量词命题存在量词命题“存在 M 中的元素 x，p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)一真为真， 全假为假六、全称量词命题和存在量词命题的否定命题的类型命题的符号表示命题的否定的符号表示命题的否定的类型全称量词命题p：xM，p(x)p：xM，p(x)存在量词命题存在量词命题p：xM，p(x)p：xM，p(x)全称量词命题七、不等式的主要性质1对称性：abb
4、a2传递性：ab，bcac3加法法则：abacbc；ab，cdacbd4乘法法则：ab，c0acbc；ab，c0acbc；ab0，cd0acbd5倒数法则：ab，ab01?1?6乘方法则：ab0anbn(nN，n2)7开方法则：ab0?(nN，n2)八、基本不等式如果 a，b 是正数，那么 ? ?2(当且仅当 ab 时，等号成立)九、二次函数与一元二次方程、不等式设一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两根为 x1、x2，且 x1x2，b24ac，则不等式 ax2bxc0 或 ax2bxc0(a0)的解集的各种情况如下表：000yax2bxc(a0)的图象ax2bxc0(a0)的根有两个不相等
5、的实数根 x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根 x1x2?2?没有实数根ax2bxc0(a0)的解集x|xx1，或 xx2? ? ?2?Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2十、函数的概念及其表示函数一般地，设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：AB为从集合 A 到集合 B 的一个函数表示法 解析法、列表法和图象法十一、函数的单调性与奇偶性1函数的单调性增函数减函数设函数 f(x)的定义域为 I，区间 DI：如果x1，x2D当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那
6、么就称 f(x)在区间 D 上单调递增，D 叫做 f(x)的递增区间当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就称 f(x)在区间 D 上单调递减，D 叫做 f(x)的递减区间2函数的最大(小)值前提一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件xI，都有 f(x)M；x0I，使得 f(x0)MxI，都有 f(x)M；x0I，使得 f(x0)M结论那么称 M 是函数 f(x)的最大值那么称 M 是函数 f(x)的最小值3函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果xI，都有xI，且 f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关
7、于 y 轴对称奇函数一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果xI，都有xI，且 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数关于原点对称十二、幂函数定义一般地，函数 yx叫做幂函数，其中 x 是自变量，是常数常见五种幂函数的图象性质幂函数在(0，)上都有定义当0 时，图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增当0 时，图象都过点(1，1)，且在(0，)上单调递减十三、指数与指数函数1正数的分数指数幂定义?(a0，m，nN，n1)?1?1?(a0，m，nN，n1)运算性质arasars；(ar)sars；(ab)rarbr，其中 a0，b0，r，sQ2指数函数及其性质概念一
8、般地，函数 yax(a0，且 a1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义域是 R底数的范围a10a1图象性质定义域：R；值域：(0，)过定点(0，1)，即 x0 时，y1x0 时，y1；x0 时，0y1x0 时，y1；x0 时，0y1在(，)上是增函数在(，)上是减函数十四、对数与对数函数1对数的概念与运算(a0，且 a1，M0，N0)定义一般地，如果 axN(a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN常用对数以 10 为底的对数叫做常用对数，并把 log10N 记为 lg N自然对数以无理数 e2718 28为底的对数叫做自然对数，并把 logeN
9、记为 ln N结论loga10；logaa1；?t?N；logaabb运算性质loga(MN)logaMlogaN；loga?logaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)换底公式logab?t?t?(a0，且 a1；b0；c0，且 c1)2对数函数及其性质概念一般地，函数 ylogax(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，定义域是(0，)底数的范围a10a1图象性质定义域：(0，)；值域：R过定点(1，0)，即 x1 时，y0 x1 时，y0；0 x1 时，y0 x1 时，y0；0 x1 时，y0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数十五、函数与方程1函数的零点概念对
10、于一般函数 yf(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点等价关系方程 f(x)0 有实数解函数 yf(x)有零点函数 yf(x)的图象与 x 轴有公共点函数零点存在定理如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数 yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的解2二分法求函数的零点二分法的概念对于在区间a，b上图象连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到
11、零点近似值的方法叫做二分法步骤(给定精确度)(1)确定零点 x0的初始区间a，b，验证 f(a)f(b)0(2)求区间(a，b)的中点 c(3)计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间：若 f(c)0(此时 x0c)，则 c 就是函数的零点； 若 f(a)f(c)0(此时零点 x0(a， c)， 则令 bc； 若 f(c)f(b)0(此时零点 x0(c，b)，则令 ac(4)判断是否达到精确度：若|ab|，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复步骤(2)(4)十六、三角函数1同角三角函数的基本关系(1)sin2cos21；(2)tan sin?cos? ?2，?2诱导公式记忆口诀：奇变偶不
12、变，符号看象限公式一：sin(2k)sin (kZ)；cos(2k)cos (kZ)；tan(2k)tan (kZ)公式二：sin()sin ；cos()cos ；tan()tan 公式三：sin()sin ；cos()cos ；tan()tan 公式四：sin()sin ；cos()cos ；tan()tan 公式五：sin2? cos ；cos2? sin 公式六：sin2? cos ；cos2? sin 3两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)cos()cos cos sin sin ；(2)sin()sin cos cos sin ；(3)tan()tan?tan?1tan?tan?4
13、二倍角公式(1)sin 22sin cos ；(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 22tan?1?2?5辅助角公式asin bcos ?2?2sin() tan?6正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx xk2，kZ值域1，11，1R单调性单调递增区间： 2k2，2k2，kZ；单调递减区间： 2k2，2k32，kZ单调递增区间：2k，2k，kZ；单调递减区间：2k，2k，kZ单调递增区间： k2，k2，kZ奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：(k，0)，kZ对称中心： k2，0 ，kZ对称中心：?2，0 ，kZ对称轴：xk2，kZ对称轴：xk，kZ周期227三角函数的图象变换由函数 ysin x 的图象通过变换得到函数 yAsin(x)(A0，0)的图象的两种方法：
