1、3 3.2 2.1.1双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程1.了解双曲线的实际背景了解双曲线的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出双曲线的过程经历从具体情境中抽象出双曲线的过程.3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,建立适当坐建立适当坐标系标系,探究出双曲线的方程探究出双曲线的方程.会用定会用定义和待定系数法求双曲线的标准方程义和待定系数法求双曲线的标准方程.双曲线的定义焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程-=1(a0,b0)-=1(a0,b0)焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系c2=a2+b
2、222xa22yb22ya22xb双曲线的标准方程1.在双曲线的标准方程-=1中,a0,b0且ab.()提示:在方程-=1(a0,b0)中,a=b时,也表示双曲线.2.双曲线的标准方程中,a,b,c的关系是a2=b2+c2.()提示:双曲线的标准方程中,a,b,c满足a2+b2=c2,椭圆的标准方程中,a,b,c满足a2=b2+c2.3.双曲线x2-=1的焦点在y轴上.()提示:根据双曲线标准方程的特点,双曲线x2-=1的焦点在x轴上.22xa22yb22xa22yb23y23y判断正误，正确的画“”，错误的画“”。提示:焦点在x轴上的双曲线方程为-=1(a0,b0),a,b之间没有限制.22
3、xa22yb4.已知点A(1,0),B(-1,0),若|AC|-|BC|=2,则点C的轨迹是双曲线.()提示:因为|AC|-|BC|=2=|AB|,所以点C的轨迹是一条射线,而不是双曲线.5.平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()提示:设动点为P.由题意知,|PF1|-|PF2|=6b2.()22xa22yb如何运用双曲线的定义解决双曲线问题1.定义中的限制条件:“小于|F1F2|”“绝对值”“常数不等于零”.(1)当2a|F1F2|时,轨迹是双曲线.若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点的轨迹是以F1,F2为端点的
4、两条射线;若将其改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点轨迹不存在.(2)若定义中没有绝对值,即|MF1|-|MF2|=2a,则当2a|F1F2|时,轨迹不存在.(3)若将“常数不等于零”改为“等于零”,则此时动点轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,若点M在双曲线的右支上,则|MF1|MF2|,|MF1|-|MF2|=2a(a0);若点M在双曲线的左支上,则|MF1|0),因此得到|MF1|-|MF2|=2a.这与椭圆的定义中|MF1|+|MF2|=2a是不同的.3.解决与焦点三角形F1MF2有关的问题(M(x,y)为双曲线上任意一点,且x0,F1
5、,F2为双曲线的左、右焦点):(1)焦点三角形中,常用的关系式:|MF1|-|MF2|=2a;=|MF1|MF2|sinF1MF2;|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|MF2|cosF1MF2.(2)由三角形的边角关系(正、余弦定理)和双曲线的定义等知识可以解决焦点三角形的面积、周长问题,及有关角、变量的范围等问题.12F MFS12(1)设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则PF1F2的面积为(C)A.4B.8C.24D.48(2)双曲线-=1上的点P到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为(D)A.1
6、或21B.14或36C.1D.21解析(1)由题意得解得|F1F2|=10,PF1F2是直角三角形,=|PF1|PF2|=24.故选C.224y23225x224y1212|-|2,3|4|,PFPFPFPF12|8,|6.PFPF1 2PF FS12(2)设点P到另一个焦点的距离为m(m0),点P到一个焦点的距离为11,由双曲线的定义得|11-m|=10,m=1或m=21.a=5,c=7,mc-a,m7-5=2,m=1不符合题意,舍去.故选D.若F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,P是双曲线上的点,且|PF1|PF2|=32,试求F1PF2的面积.29x216y思路点拨由双曲线的定义可得|P
7、F1|-|PF2|=2a,将此式两边平方可得|PF1|2+|PF2|2的值,在PF1F2中利用余弦定理的推论可求得F1PF2,最后利用面积公式求解.解析由双曲线方程-=1,可知a=3,b=4,c=5.由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a=6,将上式两边平方,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36,|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|PF2|=36+232=100.在F1PF2中,由余弦定理的推论,得cosF1PF2=0,F1PF2=90,=|PF1|PF2|=32=16.29x216y22ab222121212|-|2|PFPFFFPF PF12100-1
8、002|PF PF12F PFS1212双曲线的标准方程及其应用1.在双曲线的标准方程中,可用x2,y2项的系数的正负来判断双曲线的焦点在哪一个坐标轴上.假如双曲线的方程为+=1,则当mn0,b0)或-=1(a0,b0),焦点位置不定时,亦可设为mx2+ny2=1(mn0,b0).因为a=2,且点A(2,-5)在双曲线上,所以-=1,解得b2=16.故所求双曲线的标准方程为-=1.(2)解法一:若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为-=1(a0,b0),由于点P和Q在双曲线上,5153,416-,53216x24y222ya22xb5252024b220y216x22xa22yb153,41
9、6-,53所以解得(舍去).若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为-=1(a0,b0),将P,Q两点的坐标代入,可得解得所以双曲线的标准方程为-=1.解法二:设双曲线的方程为+=1(mn0,b0),由题意易求得c=2.因为双曲线过点(3,2),所以-=1,又因为a2+b2=(2)2,所以a2=12,b2=8,故所求双曲线的标准方程为-=1.解法二:设双曲线的方程为-=1(-4k16),将(3,2)代入,得-=1,解得k=4或k=-14(舍去).故所求双曲线的标准方程为-=1.29y216x22xa22yb5222(3 2)a24b5212x28y216-xk24yk21816-k44k212x28y
