1、第3课时 空间点、线、面之间的位置关系1平面的基本性质平面的基本性质基础知识梳理基础知识梳理名称名称图示图示文字表示文字表示符号表示符号表示公理公理1如果一条直线如果一条直线上的上的 在一在一个平面内，那个平面内，那么这条直线在么这条直线在此平面内此平面内Al，Bl，且且A，Bl两点两点基础知识梳理基础知识梳理名称名称图示图示文字表示文字表示符号表示符号表示公理公理2过过 上的三点，有且上的三点，有且只有一个平面只有一个平面公理公理3如果两个不重合如果两个不重合的平面有一个公的平面有一个公共点，那么它们共点，那么它们 过过该点的公共直线该点的公共直线P，且，且Pl，且，且Pl不在一条直线不在一
2、条直线有且只有一条有且只有一条2.空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系(1)位置关系的分类位置关系的分类基础知识梳理基础知识梳理有且只有一个有且只有一个没有没有没有没有(2)平行公理平行公理公理公理4：平行于同一直线的两：平行于同一直线的两条直线条直线 空间平行线空间平行线的传递性的传递性(3)等角定理等角定理空间中如果两个角的两边分空间中如果两个角的两边分别别 ，那么这两个角相等，那么这两个角相等或互补或互补基础知识梳理基础知识梳理互相平行互相平行对应平行对应平行(4)异面直线所成的角异面直线所成的角设设a、b是异面直线，经过空间任一点是异面直线，经过空间任一点O，分别作直线分别作直线a
3、a，bb，把直线，把直线a与与b所成所成的的 叫做异面直线叫做异面直线a、b所成的所成的角角如果两条异面直线所成的角是如果两条异面直线所成的角是 ，则，则称这两条直线互相垂直称这两条直线互相垂直基础知识梳理基础知识梳理锐角锐角(或直角或直角)直角直角3直线和平面的位置关系直线和平面的位置关系基础知识梳理基础知识梳理位置关系位置关系图示图示符号表符号表示示公共点公共点个数个数直线直线l在平面在平面内内l无数个无数个基础知识梳理基础知识梳理位置关系位置关系图示图示符号表示符号表示公共点个公共点个数数直线直线l与平面与平面相交相交一个一个直线直线l与平面与平面平行平行0个个lAl4.平面与平面的位置
4、关系平面与平面的位置关系基础知识梳理基础知识梳理位置位置关系关系图示图示符号表符号表示示公共点个公共点个数数两平两平面平面平行行两平两平面相面相交交无数个无数个(这这些公共点些公共点均在交线均在交线l上上)al0个个1分别在两个平面内的两条直分别在两个平面内的两条直线的位置关系是线的位置关系是()A异面异面B平行平行C相交相交 D以上都有可能以上都有可能答案：答案：D三基能力强化三基能力强化2已知已知a，b是异面直线，直线是异面直线，直线c直线直线a，则，则c与与b()A一定是异面直线一定是异面直线 B一定是相交直线一定是相交直线C不可能是平行直线不可能是平行直线 D不可能是相交直线不可能是相
5、交直线答案：答案：C三基能力强化三基能力强化3已知已知A、B、C表示不同的点，表示不同的点，l表示直线，表示直线，、表示不同的平面，则表示不同的平面，则下列推理错误的是下列推理错误的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BaABCl ，AlA DA，Al，l lA答案：答案：C三基能力强化三基能力强化4.如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线中，异面直线AC与与B1C1所成的角为所成的角为.5三条直线两两相交，可以确三条直线两两相交，可以确定定_个平面个平面三基能力强化三基能力强化答案：答案：45答案：答案：1或或3证明共线问题：证明共线问题：(1)可由
6、两点连可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；条直线上；(2)可直接验证这些点都可直接验证这些点都在同一条特定的直线上在同一条特定的直线上两相交两相交平面的唯一交线，关键是通过绘出平面的唯一交线，关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面或辅助图形，作出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的平面，证明这些点是这两个平面的公共点公共点课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一点共线问题点共线问题课堂互动讲练课堂互动讲练如图，在四面体如图，在四面体ABCD中作截面中作截面PQR，PQ、CB的延长线交于的延长线交于M，RQ、DB的延的延长线交于长线交于N，R
7、P、DC的延长线交于的延长线交于K.求求证：证：M、N、K三点共线三点共线【思路点拨思路点拨】要证明要证明M、N、K三点共线，由公理三点共线，由公理3可知，只要证明可知，只要证明M、N、K都在平面都在平面BCD与平面与平面PQR的交的交线上即可线上即可课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练M、N、K在平面在平面BCD与平面与平面PQR的交线上，即的交线上，即M、N、K三点共线三点共线课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】错误主要出现在错误主要出现在不能正确判断不能正确判断M、N、K所在平面所在平面证明共点问题一般是证明三条证明共点问题一般是证明三条直线交于一点首先证明其中的两直
8、线交于一点首先证明其中的两条直线相交于一点，然后再说明第条直线相交于一点，然后再说明第三条直线是经过这两条直线的两个三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线，由公理平面的交线，由公理3可知两个平可知两个平面的公共点必在两个平面的交线上，面的公共点必在两个平面的交线上，即三条直线交于一点即三条直线交于一点课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二线共点问题线共点问题课堂互动讲练课堂互动讲练如图所示，已知空间四边形如图所示，已知空间四边形ABCD中，中，E、H分别是边分别是边AB、AD的中点，的中点，F、G分别分别三条直线三条直线EF、GH、AC交于一点交于一点【思路点拨思路点拨】先证先证E、F、G、H
9、四点共面，再证四点共面，再证EF、GH交于一点，交于一点，然后证明这一点在然后证明这一点在AC上上课堂互动讲练课堂互动讲练【证明证明】E、H分别是分别是AB、AD的中点，的中点，由公理由公理4知，知，EHFG，且，且EHHG.所以四边形所以四边形EFGH为梯形，设为梯形，设EH与与FG交于点交于点P，则则P平面平面ABD，P平面平面BCD，所以所以P在两平面的交线在两平面的交线BD上，上，所以所以EH、FG、BD三线共点三线共点课堂互动讲练课堂互动讲练证明若干条线证明若干条线(或若干个点或若干个点)共面，一般来共面，一般来说有两种途径：一是首先由题目条件中的部说有两种途径：一是首先由题目条件中
10、的部分线分线(或点或点)确定一个平面，然后再证明其余的确定一个平面，然后再证明其余的线线(或点或点)均在这个平面内；二是将所有元素分均在这个平面内；二是将所有元素分为几个部分，然后分别确定几个平面，再证为几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合本题最容易忽视这些平面重合本题最容易忽视“三线共点三线共点”这一种情况因此，在分析题意时，应仔细这一种情况因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义推敲问题中每一句话的含义课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三点、线共面问题点、线共面问题课堂互动讲练课堂互动讲练如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点中，点E、F分别是棱分
11、别是棱AA1、CC1的中点，的中点，求证：求证：D1、E、F、B共面共面课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】连结连结D1E、D1FD1E与与DG相交，相交，D1F与与DC相交相交证明两交点与证明两交点与B共线共线【证明证明】D1、E、F三点不共三点不共线，线，D1、E、F三点确定一平面三点确定一平面，又由题意可知又由题意可知D1E与与DA共面于平面共面于平面A1D且不平行，故分别延长且不平行，故分别延长D1E、DA相交于相交于G，则，则G直线直线D1E平面平面，G.同理，设直线同理，设直线D1F与与DC的的延长线交于点延长线交于点H，则，则H平面平面.课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲
12、练课堂互动讲练又又点点G、B、H均属于平面均属于平面AC，且由题设条件知且由题设条件知E为为AA1的中点且的中点且AEDD1，从而，从而AGADAB，AGB为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，ABG45，同理，同理CBH45，又又ABC90，从而点，从而点B，D1、E、F、B共面共面课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】题中是先说明题中是先说明D1、E、F确定一平面，再说明确定一平面，再说明B在所确定在所确定的平面内，也可证明的平面内，也可证明D1EBF，从而，从而说明四点共面说明四点共面课堂互动讲练课堂互动讲练证明两直线为异面直线的方法：证明两直线为异面直线的方法：1定义法定义法(不易
13、操作不易操作)2反证法：先假设两条直线不反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经线异面此法在异面直线的判定中经常用到常用到课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四异面直线的判定异面直线的判定3客观题中，也可用下述结论：客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图如图课堂互动讲
14、练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)如图所示，正方体如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M、N分别分别是是A1B1、B1C1的中点问：的中点问：(1)AM和和CN是否是异是否是异面直线？说明理由面直线？说明理由(2)D1B和和CC1是否是异是否是异面直线？说明理由面直线？说明理由【思路点拨思路点拨】(1)易证易证MNAC，所以所以AM与与CN不是异面直线不是异面直线(2)由图易由图易判断判断D1B和和CC1是异面直线，证明时常是异面直线，证明时常用反证法用反证法课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】(1)不是异面直线理由：不是异面直线理由
15、：连结连结MN、A1C1、AC.M、N分别是分别是A1B1、B1C1的中点，的中点，MNA1C1.4分分又又A1A綊綊C1C，A1ACC1为平行四边形为平行四边形A1C1AC，得到，得到MNAC，A、M、N、C在同一平面内，在同一平面内，故故AM和和CN不是异面直线不是异面直线.6分分课堂互动讲练课堂互动讲练(2)是异面直线理由：是异面直线理由：ABCDA1B1C1D1是正方体，是正方体，B、C、C1、D1不共面不共面.8分分假设假设D1B与与CC1不是异面直线，不是异面直线，则存在平面则存在平面，使，使D1B平面平面，CC1平面平面，D1、B、C、C1，与与ABCDA1B1C1D1是正方体是
16、正方体矛盾矛盾假设不成立，即假设不成立，即D1B与与CC1是异是异面直线面直线.12分分课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】证明异面直线的证明异面直线的方法中反证法最常用，不能把异面直方法中反证法最常用，不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线直线为异面直线课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分本题满分10分分)由四个由四个全等的等边三角形围成的封全等的等边三角形围成的封闭几何体称为正四面体如闭几何体称为正四面体如图，在正四面体图，在正四面体ABCD中，中，E、F分别是分别是BC和和AD的中的中点点CF与与DE是一对异面直是一对异面直线，在
17、图中适当地选取一点线，在图中适当地选取一点作出异面直线作出异面直线CF与与DE的平的平行线，找出异面直线行线，找出异面直线CF与与DE所成的角所成的角课堂互动讲练课堂互动讲练解：解：选取平面选取平面BCF，该，该平面有以下两个特点：该平面有以下两个特点：该平面包含直线平面包含直线CF；该平面；该平面与与DE相交于点相交于点E.在平面在平面BCF中，过点中，过点E作作CF的平行线交的平行线交BF于点于点N，连结，连结ND，可以看，可以看出：出：EN与与ED所成的角即为所成的角即为异面直线异面直线FC与与ED所成的角所成的角.10分分课堂互动讲练课堂互动讲练1公理公理1反映了平面的本质属性，反映了
18、平面的本质属性，通过直线的通过直线的“直直”和和“无限延伸无限延伸”的特性，的特性，揭示了平面的揭示了平面的“平平”和和“无限延展无限延展”的特的特征其作用是：征其作用是：(1)检验平面；检验平面；(2)判断判断直线在平面内；直线在平面内；(3)由直线在平面内判由直线在平面内判定直线上的点在平面内定直线上的点在平面内规律方法总结规律方法总结2公理公理2的作用：确定平面的依的作用：确定平面的依据它提供了把空间问题转化为平面问据它提供了把空间问题转化为平面问题的条件例如：三点确定几个平面？题的条件例如：三点确定几个平面？当三点共线时，三点确定无数个平面；当三点共线时，三点确定无数个平面；当三点不共
19、线时，确定一个平面，所以当三点不共线时，确定一个平面，所以三点确定一个或无数个平面三点确定一个或无数个平面公理公理2中的中的“有且只有一个有且只有一个”包含两包含两层含义：层含义：(1)“有有”说明平面的存在性；说明平面的存在性；(2)“只有一个只有一个”说明平面的唯一性说明平面的唯一性规律方法总结规律方法总结3公理公理3进一步反映了平面的延展进一步反映了平面的延展性其作用是：性其作用是：(1)判定两平面相交；判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线作两平面相交的交线(当知道两个平面当知道两个平面的两个公共点时，这两点的连线就是交的两个公共点时，这两点的连线就是交线线)；(3)证明多点共线证明多点共线(如果几个点都是如果几个点都是某两个平面的公共点，则这几个点都在某两个平面的公共点，则这几个点都在这两个平面的交线上这两个平面的交线上)规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固课时活页训练课时活页训练感谢大家观看最新学习可编辑资料
