1、第三章第三章 微分方程方法建模微分方程方法建模3.1 微分方程建模微分方程建模3.2 草地水量模型草地水量模型3.3 传染病模型传染病模型3.4 食饵食饵-捕食者模型捕食者模型微分方程模型属于动态模型微分方程模型属于动态模型 描述所研究对象特征随时间描述所研究对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析所研究对象特征的变化规律分析所研究对象特征的变化规律 预报所研究对象特征的未来性态预报所研究对象特征的未来性态 研究控制所研究对象特征的手段研究控制所研究对象特征的手段 根据函数及其变化率根据函数及其变化率(导数导数)之间的关系确定函数之间的关系确定函数微分方程建模方法微分方程建模方法
2、根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律按照内在规律(模式模式)或用类比法建立微分方程或用类比法建立微分方程3.1 微分方程建模微分方程建模3.1.1 人的体重人的体重3.1.2 常微分方程建模基本准则常微分方程建模基本准则3.1 微分方程建模微分方程建模 3.1.1 人的体重人的体重 某人的食量是某人的食量是10467（焦（焦/天），其中天），其中5038（焦（焦/天）用于基本的新陈代谢天）用于基本的新陈代谢(即自动消耗即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的热量大约是在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦（焦/公斤公斤天）乘以他的体重天）乘以他的
3、体重(公斤公斤)。假设以脂肪形式贮藏的热量假设以脂肪形式贮藏的热量100的有效，的有效，而而1公斤脂肪含热量公斤脂肪含热量41868焦。焦。问题问题研究此人的体重随时间变化的规律研究此人的体重随时间变化的规律问题分析问题分析体重体重w时间时间t函数函数w(t),连续可微连续可微找到体重找到体重w(t)满足的满足的微分方程微分方程即可求出函数即可求出函数w(t)“变化率变化率”“导数导数”微元法微元法 3.1.1 人的体重人的体重由题意可知由题意可知,“每天每天”体重变化应满足下面描述体重变化应满足下面描述 输出输出进行健身训练时的消耗进行健身训练时的消耗进一步分析进一步分析体重的变化输入输出体
4、重的变化输入输出输入输入扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收扣除基本的新陈代谢之后的净重量吸收 体重的变化体重的变化/天净吸收量天净吸收量/天运动消耗天运动消耗/天天 导数意义的陈述导数意义的陈述净吸收量净吸收量/天天10467(焦焦/天天)5038(焦焦/天天)5429(焦焦/天天)运动消耗运动消耗/天天69焦焦(/公斤公斤天天)w(t)(公公斤斤)3.1.1 人的体重人的体重 体重的变化体重的变化/天天()()w ttw tt(公斤公斤/天天)/wt（公斤（公斤/天）天）将两单位换算成统一形式：将两单位换算成统一形式：焦 天公斤 天焦 公斤/41868/连续函数连续函数w(t)的瞬时关系满足
5、下面关系式的瞬时关系满足下面关系式模型建立模型建立 3.1.1 人的体重人的体重由上述分析，体重由上述分析，体重w(t)满足下面关系式满足下面关系式(5429/69/41868/wwt（焦 天）（焦 天）公斤 天）焦 公斤两边的物理单位量纲一致，令两边的物理单位量纲一致，令 0t d1300 16d10000wwt0(0)ww模型建立模型建立0limt 3.1.1 人的体重人的体重分离变量法分离变量法 d()d1300 16()10000w ttw t0 0到到t t 积分积分twtw1000016)0(161300)(161300ln1300 16()1300 16(0)exp(16/100
6、00)w twt)(161300tw)10000/16exp()161300(0tw01300 161300()()exp(16/10000)1616wwtt 3.1.1 人的体重人的体重模型求解模型求解d(16()16d1300 16()10000w ttw t 由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终由上述表达可知，随着时间的变化，人的体重最终趋于一种平稳的值趋于一种平稳的值 ()130016公 斤()()130081.2516w平稳公斤公斤模型解释模型解释,t 即即 3.1.1 人的体重人的体重常微分方程建模应符合下面基本准则：常微分方程建模应符合下面基本准则：找出问题遵循的模式，大
7、致可按下面两种方法：找出问题遵循的模式，大致可按下面两种方法：1）利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，）利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，对某些实际问题直接列出微分方程；对某些实际问题直接列出微分方程；2）模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足）模拟近似法，在生物、经济等学科中，许多现象所满足 的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下的规律并不清楚，而且现象也相当复杂，但都可以遵循下 面的模式面的模式 将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数；将研究的对象翻译成为时间变量的连续函数；在实际问题中在实际问题中,有许多表示导数的常用词，如有许多表示导数的
8、常用词，如“速速 率率”,“增长率增长率”(在生物学、人口学问题研究中在生物学、人口学问题研究中),“衰变衰变率率”(在在 放射性问题中放射性问题中)及及“边际边际”(在经济学中在经济学中)等；等；3.1.2 常微分方程建模基常微分方程建模基本准则本准则：微分方程是一个在任何时刻都必须正微分方程是一个在任何时刻都必须正 确的瞬时表达式。由此根据寻找到问题所遵循的模式，确的瞬时表达式。由此根据寻找到问题所遵循的模式，建立起在自变量时段建立起在自变量时段 上的函数上的函数x(t)的增长量的增长量 tx表达式表达式0t即得到即得到 的表达式的表达式 txdd：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界：
9、这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界 上的信息，它们独立于微分方程而成立，用于确定有关上的信息，它们独立于微分方程而成立，用于确定有关 的常数，为了完整、充分地给出问题陈述，应将这些给的常数，为了完整、充分地给出问题陈述，应将这些给 定的条件和微分方程一起给出。定的条件和微分方程一起给出。在建模中应注意每一项应采用同样的物理单位；在建模中应注意每一项应采用同样的物理单位；常微分方程建模应符合下面基本准则：常微分方程建模应符合下面基本准则：3.1.2 常微分方程建模基常微分方程建模基本准则本准则3.2 草地水量模型草地水量模型草地网球比赛常因下雨而被迫中断，只有草坪草地网球比赛常因下雨而被迫中
10、断，只有草坪的最上层充分干以后，才能够继续比赛。雨停的最上层充分干以后，才能够继续比赛。雨停之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空之后，部分雨水直接渗入地下，部分蒸发到空气中去。一些机械装置可以用来加速干燥过程，气中去。一些机械装置可以用来加速干燥过程，但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干，但为避免损伤草皮，最好让草地自然地变干，能否建立一个数学模型描述这一干燥过程能否建立一个数学模型描述这一干燥过程.问题问题草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约草地开始是干的，突然开始下雨，雨大约 持续持续c小时小时,雨在草地中聚积了雨在草地中聚积了h厘米高的水厘米高的水;需要建立模型求出需要建立模型求出
11、Q(t)，并能预测下雨，并能预测下雨后多长时间后多长时间t1 ，使使Q(t1)=0。问题陈述问题陈述3.2 草地水量模型草地水量模型由此可将研究对象视为草地积单位面积的由此可将研究对象视为草地积单位面积的 水量水量Q,它是时间它是时间t 的函数的函数.雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减雨停后，通过渗入、蒸发使草地的积水减 少，最终自然变干，恢复比赛。少，最终自然变干，恢复比赛。2渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑渗透率、蒸发率与草地的水量成正比，不考虑 空气中的湿度与温度；空气中的湿度与温度；3降雨速度为常数。降雨速度为常数。模型假设模型假设1开始时草地是干的开始时草地是干的,下雨时只
12、考虑渗透排水下雨时只考虑渗透排水,雨停雨停 后水是通过渗透后水是通过渗透,蒸发排除的蒸发排除的,其它因素不考虑。其它因素不考虑。3.2 草地水量模型草地水量模型问题分析问题分析若草地是干的，即若草地是干的，即Q(0)=0。草地积了草地积了h厘米高的水量厘米高的水量 流出量流出量(渗透、蒸发过程渗透、蒸发过程)由此本模型应遵循下面的由此本模型应遵循下面的：草地积水量的改变量流入量流出量草地积水量的改变量流入量流出量 （1）r米米/秒降雨速度秒降雨速度持续持续c小时小时下雨时下雨时开始时开始时停雨后停雨后水的流入量（降雨过程）水的流入量（降雨过程）流出量（渗透过程）流出量（渗透过程）草地水量的改变
13、草地水量的改变草地水量的改变草地水量的改变3.2 草地水量模型草地水量模型草地积水量的改变量草地积水量的改变量()Q t A流入量流出量流入量流出量 (),0()(),rA taQ t A ttcaQ t A tbQ t A ttc 0t d()(),0()(),d(0)0Q traQ ttcaQ tbQ ttctQ 模型建立模型建立A（平方米）（平方米）:草地的面积草地的面积a单位时间内单位水量的渗透量单位时间内单位水量的渗透量单位时间内单位水量的蒸发量单位时间内单位水量的蒸发量b,t tt时间内时间内(1)式各量的描述式各量的描述:(2)3.2 草地水量模型草地水量模型数值计算：数值计算：
14、不妨假设降雨半小时不妨假设降雨半小时,即即c=1800秒秒,此时草此时草地积水深地积水深h=0.018米米,降雨速度在半小时降雨速度在半小时5/10 /rh c米 秒 为方便直接给出为方便直接给出a=0.001/秒秒,b=0.0005/秒秒,将所取数将所取数值代入值代入(2)式整理方程，得式整理方程，得5334d1010(),0180010()5 10(),1800dQQ ttQ tQ ttt 模型求解模型求解a,b注注3.2 草地水量模型草地水量模型01800 t 时0)0()(1010dd35QtQtQ0.001()0.01(1)01800tQ tet 00835.0)1800(Q模型求解
15、模型求解3.2 草地水量模型草地水量模型1800 t 时00835.0)1800()()10510(dd43QtQtQ0.0015()0.1241800 (3)tQ tet模型求解模型求解（3）式能预测雨停后草式能预测雨停后草地中水是如何随时间变化地中水是如何随时间变化减少的减少的3.2 草地水量模型草地水量模型但在实际比赛中一般要求水量降至最高水量值的但在实际比赛中一般要求水量降至最高水量值的10 就认为草地足够干，也就是说只要达到就认为草地足够干，也就是说只要达到Q(t1)=10%Q (1800)即可。即在雨停后即可。即在雨停后t1-1800时即可恢复比赛。令时即可恢复比赛。令t1 满足满
16、足(3)式，得式，得10.00150.0835 10%0.124te 13334t 秒雨停后还要等雨停后还要等1534秒秒(约约25分分)才能恢复比赛才能恢复比赛.若水若水 量降到最大值量降到最大值5%,需要大约需要大约33分钟可以恢复比赛分钟可以恢复比赛。模型求解模型求解本问题是确定比赛何时才能恢复，即本问题是确定比赛何时才能恢复，即t1为为何值时使得何值时使得 Q(t1)=0。而由。而由(3)式可知式可知,当当 t 趋于无穷大时趋于无穷大时,Q(t)趋于趋于 零零，所以这样的，所以这样的t1是不存在的。是不存在的。3.2 草地水量模型草地水量模型3.3 传染病模型传染病模型模型模型1 (简
17、单模型简单模型)模型模型2 (SI(SI模型模型)模型模型3（SISSIS模型）模型）模型模型4（SIRSIR模型）模型）问题问题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型用机理分析方法建立模型3.3 传染病模型传染病模型 已感染人数已感染人数(病人病人)i(t)每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 模型模型1(1(简单模型简单模型)假设假
18、设ttititti)()()(若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidtdi1)()(tits模型模型2(SI模型模型)区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为)(),(tsti 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数为为,且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病建模建模ttNitst
19、ittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日日接触率接触率SI 模型模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模型21/2tmii010t11ln01itmtm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率)tm 1itLogistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm,di/dt 最大最大模型模型3 3（SIS模型）模型）传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率ttNittitN
20、stittiN)()()()()(建模建模/日接触率日接触率1/感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的有效接触人数，称为有效接触人数，称为接触数接触数。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)11(iidtdi模型模型3i0i0接触数接触数 =1 阈值阈值/1)(ti形曲线增长按Sti)(感染期内感染期内有效接触感染的有效接触感染的健康者人数不超过病人数健康者人数不超过病人数小01i1-1/i0iiidtdi)1(模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 1/i
21、(t)先升后降至先升后降至0P2:s01/i(t)单调降至单调降至01/阈阈值值P3P4P2S0ssss00lnln模型模型4SIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率)卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率)医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01/的估计的估计0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高阈值提高阈值 1/降低降低 (=/),群体免疫群体免疫模型模型4SIR模型模型被传染人数的估计被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例记被传染人数比例ssx00)211(200sxsx0
22、)1ln(10sxx)1(200ssx2xxs0i0s/1P10ssi0 0,s0 1 小小,s0 1提高阈值提高阈值1/降低降低被传染人数比例被传染人数比例 xs0-1/=模型验证模型验证20世纪初在印度孟买发生的世纪初在印度孟买发生的次瘟疫中几乎所有病人都死次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。公共卫生部门记录了每天移出者（死亡）的人数，亡了。公共卫生部门记录了每天移出者（死亡）的人数，即有了即有了 dr/dt 的实际数据，的实际数据，KerMack等人用这组数据把模型等人用这组数据把模型所预测的结果与实际传染病的资料进行比较。所预测的结果与实际传染病的资料进行比较。根据前面的根据前面的SIR模型
23、：模型：和和1)()()(trtitsd()d()()(),()dds tr tNNs t i tNNi ttt 有有：d()()drs ts t 于是：于是：)(0)(trests()0d()(1()(*)dr tr tr ts et/这里，当当 时，取（时，取（*）式右端的）式右端的Taylor展开的前三项，在展开的前三项，在r0=0初始值下求解，得到：初始值下求解，得到：1/r0201()(1)th()2tr tss其中：其中：2002022)1(iss01ths2220d()d2ch()2r ttts 带回（带回（*）式，即有：）式，即有：然后确定然后确定s0等参数等参数，画，画出出r
24、（t）的图形，实际数）的图形，实际数据在图中用圆点表示，据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不实际数据吻合得相当不错。错。10100520200ddrt15O30025 30700600500400800t3.4 被捕食者被捕食者-捕食者模型捕食者模型 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。模型的历史背景模型的历史背景一次世界大战期间地中一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量
25、下降海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕食用鱼和鲨鱼同时捕捞捞)，但是其中，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？鲨鱼的比例却增加，为什么？食饵（甲）数量食饵（甲）数量 x(t),捕食者（乙）数量捕食者（乙）数量 y(t)甲独立生存的增长率甲独立生存的增长率 rrxx 乙使甲的增长率减小，乙使甲的增长率减小，减小量与减小量与 y成正比成正比xayrtx)()(乙独立生存的死亡率乙独立生存的死亡率 ddyy甲使乙的死亡率减小，甲使乙的死亡率减小，减小量与减小量与 x成正比成正比ybxdty)()(方程方程(1),(2)无解析解无解析解食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)a 捕食者掠取
26、食饵能力捕食者掠取食饵能力b 食饵供养捕食者能力食饵供养捕食者能力)1(axyrx)2(bxydytx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.92695.10009.616216.72355.2000 9.017316.20649.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学软件用数学软件MATLAB求求微分方程数值解微分方程数值解xy 平面上的相轨线平面上的相轨线计算结果（数值，图形）计算结果（数值，图形）x(t)
27、,y(t)是周期函数，相图是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线是封闭曲线xayrtx)()(ybxdty)()(观察，猜测观察，猜测x(t),y(t)的周期约为的周期约为9.6xmax 65.5,xmin 6,ymax 20.5,ymin 3.9用数值积分可算出用数值积分可算出 x(t),y(t)一周期的平均值：一周期的平均值：x(t)的平均值约为的平均值约为25,y(t)的平均值约为的平均值约为10。食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)()(bxdyayrxdydxdyyayrdxxbxd 消去消去dt1lnlncayyrbxxdybxdtyxayrtx)()()()(ceye
28、xayrbxd)(分析第一象限的分析第一象限的相轨线行为相轨线行为c 由初始条件确定由初始条件确定取指数取指数x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0arygygggm/,)(,0)()0(00,0)()0(ffcygxf)()(ceyexayrbxd)(在相平面上讨论相轨线的图形在相平面上讨论相轨线的图形相轨线相轨线)(xf)(ygbdxfxfm/,)(00mmgfc 时无相轨线时无相轨线以下设以下设mmgfc y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0 xx0P0 x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)mmgfc 00,yyxx相轨线相轨
29、线退化为退化为P点点mmgfc 0yy令mfpxf)(mpgc 设 存在x1x0 x2,使f(x1)=f(x2)=pmgyg)(,21xxx考察pxf)(存在y1y0y2,使g(y1)=g(y2)=qmpgygxf)()(mgqyg)(内任意点是,21xxx相轨线是封闭曲线族相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0cygxf)()(相轨线相轨线相轨线相轨线是封闭曲线是封闭曲线x(t),y(t)是周期函数是周期函数(周期记周期记 T)求求x(t),y(t)在一周期的平均值在一周期的平均值yx,ybxdty)()()(1)(dyybtxTdttxTx0)(1xayrtx
30、)()(arybdxyxP/,/:),(0000轨线轨线中心中心00,yyxxbdx/ary/用相轨线分析用相轨线分析 点附近情形点附近情形)/,/(arbdPTdtdyybT0)(11)0(ln)(ln(1bdTbyTyT02040608010012005101520253000yx，00yx，00yx00yx0PT2T3T4T1P024681012020406080100120 x(t)y(t)T1 T2 T3 T4x(t)的的“相位相位”领先领先 y(t)xayrtx)()(ybxdty)()()()(:1tytxT)()(:2tytxT)()(:3tytxT)()(:4tytxT模型解
31、释模型解释)/,/(arbdP),(000yxP初值初值相轨线的方向相轨线的方向模型解释模型解释r 食饵增长率食饵增长率d 捕食者死亡率捕食者死亡率b 食饵供养捕食者能力食饵供养捕食者能力ary 捕食者捕食者 数量数量bdx 食饵食饵数量数量020406080100120051015202530P)/,/(arbdPr/ad/ba 捕食者掠取食饵能力捕食者掠取食饵能力捕食者数量与捕食者数量与r成正比成正比,与与a成反比成反比食饵食饵数量与数量与d成正比成正比,与与b成反比成反比模型模型解释解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中但是其中鲨鱼的比例却在
32、增加，为什么？鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr-1,dd+1捕捞捕捞战时战时捕捞捕捞rr-2,dd+2,2 1yyxx11,),(111yxP),(222yxP),(yxPxy食饵食饵(鱼鱼)减少，减少，捕食者捕食者(鲨鱼鲨鱼)增加增加自然环境自然环境arybdx/,/),(yxP1212,yyxx1PP 21PP 还表明：对还表明：对害虫害虫(食饵食饵)益虫益虫(捕食者捕食者)系统，系统，使用灭两种使用灭两种虫的虫的杀虫剂杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少。会使害虫增加，益虫减少。1PP 食饵食饵-捕食者模型捕食者模型(Volterra)的缺点与改进的缺点与改进2211111)(Nxxrtx1122221)(Nxxrtx221111111)(NxNxxrtx221122221)(NxNxxrtxxayrtx)()(ybxdty)()(Volterra模型模型改写改写多数多数食饵食饵捕食者系统观察不到周期震荡捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点即存在稳定平衡点加加Logistic项项可以证明，在给定条件下，此模型一定有可以证明，在给定条件下，此模型一定有稳定平衡点。稳定平衡点。具体可参考第七章中关于方程稳定性的相关内容。具体可参考第七章中关于方程稳定性的相关内容。
