1、 知识清单【知识结构知识结构】一一.数列数列的概念的概念1.数列的定义数列的定义 按一定次序排列的一列数叫做数列 项：数列中每个数都叫做数列的项。各项依次叫作这个数列的第1项(首项)、第2项、.第n项。项数：各项在数列中所处位置的编号。2.数列的分类数列的分类有穷数列：项数有限的数列3.数列的一般形式数列的一般形式一般形式：a1,a2,a3,.,an,.,其中an是数列的第n项，叫作数列的通项，n叫作an的序号整个数列记作an知识清单知识清单无穷数列：项数无限的数列一一.数列数列的概念的概念4.数列的通项数列的通项 通项公式：an与n之前的函数关系式an=f(n).数列的通项an可看成是n的函
2、数（以正整数的子集为定义域）。5.递推公式递推公式给出数列第1项(或前几项)以及后一项与前1项(或前几项)的关系式知识清单知识清单【注意】：数列的通项公式可以不止一个；数列中的数依次出现正负相间的数时，可把符合分离出来，用(-1)n或（-1）n+1来表示；求数列的通项公式关键是寻求各项与项数的关系并归纳其规律。【例题精解例题精解】【分析】数列的通项公式是以正整数集的子集为定义域的函【分析】数列的通项公式是以正整数集的子集为定义域的函数数.其中项数其中项数n为自变量为自变量,项项an为函数值为函数值.在通项公式中在通项公式中,n分别代分别代1,2,3,4就行了就行了.请读者自行解答请读者自行解答
3、.【点评】数列的通项公式是函数关系式【点评】数列的通项公式是函数关系式,其表达式可能是分段其表达式可能是分段函数函数.【例【例2】已知数列】已知数列an,a1=3,a2=6,且且an+2=an+1+an,求求a5.【分析】因未给出通项公式【分析】因未给出通项公式,想想“一步到位一步到位”求求a5不容易不容易.但但可逐步递推可逐步递推:由由a1,a2求求a3,由由a2,a3求求a4,由由a3,a4求求a5.读者自行解读者自行解答答.【点评】通项公式和递推公式是给定数列的两种常见形式【点评】通项公式和递推公式是给定数列的两种常见形式,且各有特点且各有特点:通项公式是通项公式是an和和n之间的函数关
4、系式之间的函数关系式,已知通项公已知通项公式式,可直接求出数列任一项可直接求出数列任一项;递推公式是数列前后若干项之间的递推公式是数列前后若干项之间的关系式关系式,已知递推公式和前若干项已知递推公式和前若干项,可逐步递推求出数列的项可逐步递推求出数列的项.【例【例3】已知数列】已知数列an的前的前n项和项和Sn=3n2+n,求通项公式求通项公式an.1.定义：定义：数列从第二项开始后项减前项为一个常数二二.等差数列等差数列2.常数列：常数列：公差d=0的数列。例如：0，0，0，0，.3.通项公式通项公式：知识清单知识清单1nnaad(nN,1)n注意：公差d一要用相邻的后项减前项，而不能用前项
5、减后项得到。；（k=d,b=a1-d);4.等差中项等差中项：2后前中aaa5.判定判定：（1）定义法：看相邻两项后项与前项差是否为常数）定义法：看相邻两项后项与前项差是否为常数（2）中项法：）中项法：11(2)2nnnaaan6.等差数列性质等差数列性质：1.mnstaaaa若m+n=s+t,则2.项数项数(下标下标)成等差数列则对应项也成等差数列成等差数列则对应项也成等差数列1.等差数列前等差数列前n项和公式：项和公式：三三.等差数列前等差数列前n项和项和2.已知前已知前n项和公式求数列的通项公式项和公式求数列的通项公式:3.性质：性质：知识清单知识清单11()(1)2nnn aasnan
6、 ndBnAnsn2，2,21daBdA12()nnsnna为奇数时1111)1()2(nSanSSannn若若an是等差数列，则是等差数列，则nnnnnSSSSS23,2,成等差数列成等差数列【例【例4】三个数成等差数列】三个数成等差数列,它们的和为它们的和为12,积为积为48,求这求这三个数三个数.1.定义定义：四四.等比数列等比数列2.等比数列通项公式等比数列通项公式：知识清单知识清单一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，个常数，那么这个数列叫
7、作等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母通常用字母q表示表示.1,0,0nnnaq aqa【注意】：【注意】：求公比求公比q一要用相领两项的后项除以前项，而不能用前项除以后项；一要用相领两项的后项除以前项，而不能用前项除以后项；等比数列中每一项及公比等比数列中每一项及公比q都不为都不为0；不为不为0的常数列既是公差为的常数列既是公差为0的等差数列，又是公比为的等差数列，又是公比为1的等比数列。的等比数列。111(1);(2)()nn mnnnmaaa qaa qqq3.等比等比中项：中项：Ga a后前（注意：同号的两个数，他们的等比中项有两个）（注意：同号的两个数，他们的等比中项有两
8、个）4.判定：判定：（1）定义法：看相邻两项后项与前项的比是否为常数）定义法：看相邻两项后项与前项的比是否为常数.（2）中项法：）中项法：211(2)nnnaaan5.性质性质：*(,)mnstaaaa m n s tN若m+n=s+t,则1.前前n项和公式：项和公式：2.等比数列前等比数列前n项和性质：项和性质：五五.等比数列前等比数列前n项和项和知识清单知识清单qqaaqqaSnnn11)1(112,32,nnnnnnaSSS SS若为等比数列，则成等比数列.【例【例5】在等比数列中】在等比数列中,q=2,a1+a3+a5+a7=85,求求S8【分析】把前【分析】把前8项分成奇数项与偶数项
9、项分成奇数项与偶数项,已知奇数项的和为已知奇数项的和为85,求出偶数项的和即可求出偶数项的和即可.【解】【解】a2+a4+a6+a8=a1q+a3q+a5q+a7q=q(a1+a3+a5+a7)=285=170S8=85+170=255.【点评】本题应用了等比数列的定义【点评】本题应用了等比数列的定义,即即an+1=anq.其实也可其实也可以由以由a1+a3+a5+a7=85求得首项求得首项a1,再由前再由前n项和公式求得项和公式求得S8.第六部分第六部分 单单元检测元检测【答案答案】B一、选择题一、选择题(每小每小题题3分分，共共30分分)1.2 52,5,2 2,11,.A.6B.7C.8
10、D.9是数列中的第项【答案答案】C2.a,b,c都是实数都是实数,那么那么“2b=a+c”是是“a,b,c成等差数列成等差数列”的的 ()A.充分非必要条件充分非必要条件B.必要非充分条件必要非充分条件C.充要条件充要条件D.既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件【答案答案】A 512311113.,24,27,3A.,2B.2,2233C.,2D.,222naaa a aaqaqaqaq 在等比数列中且则有【答案答案】C4.在等差数列在等差数列an中中,a2+a5=19,S5=40,则则a10为为 ()A.27B.28C.29D.30【答案答案】D5.若三个连续正整数的和是若三个连续正整数
11、的和是27,则在它前面的三个连续正整则在它前面的三个连续正整数的积是数的积是()A.120B.720C.72D.210【答案答案】C6.在首项为在首项为31,公差为公差为-4的等差数列中的等差数列中,与与0最靠近的项是最靠近的项是 ()A.第第7项项B.第第8项项C.第第9项项D.第第10项项【答案答案】A7.在等比数列在等比数列an中中,a1+a2=10,a3+a4=40,则则a5+a6等于等于()A.160B.160C.70D.70【答案答案】A 6938.,6,9,316A.4B.C.D.229naaaa在等比数列中 如果那么 为【答案答案】A9.在等差数列在等差数列an中中,若若a3+
12、a9+a15+a17=4,则则a11等于等于()A.1B.-1C.0D.不确定不确定【答案答案】B10.在等比数列在等比数列an中中,若若a3a5=5,则则a1a3a5a7=()A.10B.25C.50D.75二、填空题二、填空题(每小每小题题4分分,共共32分分)11.已知数列通项为已知数列通项为an=(-1)n+2n,则则a25+a30=.12.已知已知(x+1)+(x+3)+(x+5)+(x+15)=96,则则x=.13.已知已知c0,且且a,b,c,2b成等差数列成等差数列,则则 =.14.已知等差数列已知等差数列an中中,a7+a9=16,a4=1,则则a12=.15.在等比数列在等
13、比数列an中中,an0,若若S3=6,a7+a8+a9=24,则则S30=.ac110415613813216.=32,_nnnanSnna已知数列的前 项和为则17.,2,4_aaaa 已知 为实数 且成等比数列,则18.等比数列的前等比数列的前5项之和是项之和是10,前前10项之和是项之和是30,则前则前15项之项之和和是是_70三、解答题三、解答题(共共38分分)3214121111(1)188429322,2727()3322-,27(27)()33nnnnaa qaa qqqqaaqaa 【解】由得当时当时243452619.,(1)18,8,;(3)1(2),.(3)8nnaaaa
14、a a aa a在等比数列中若已知求分若已知求的值分33454422264111(2)88211()24a a aaaa aa123222112115,315,5,-2,(1)21,(1)(1)322.22nnaaaaadaaaandnn nn nSnadnnn【解】在等差数列中所以即从而所以112320.,3,15,.(6)nnnaaaaaanS已知数列是等差数列 且求数列的通项和前 项和分21.三个数成等比数列三个数成等比数列,它们的积等于它们的积等于64,它们的和等于它们的和等于14,求这三求这三个数个数.:,64,44,4,44114,4414,221,8,4,222,2,4,8aa
15、aqqaaaqaqqqqqqqqq 解 依题意 设三个数分别为故三个数可以看为其和为解之或当时 三个数为当时 三个数为1211323132.111(2)(4).(2)393111(24.2)(.)393(1)(22)112122 311.22 3nnnnnnnSaaannn nnnnn【解】123111122.,2,4,6,.,2,39273.(14)nnnnaaaaanS已知数列求分23.某林场计划第一年造林某林场计划第一年造林15公顷公顷,以后每年比前一年多造林以后每年比前一年多造林20%,第五年造林多少公顷第五年造林多少公顷?五年一共造林多少公顷五年一共造林多少公顷?1114451551
16、5:15,1.2,5,15 1.231.2(1)15(1 1.2)111.7511 1.231.2,111.75.nnaqnaa qaa qaqSq解 依题意公顷公顷第五年造林公顷 五年一共造林公顷24.设设an是等差数列是等差数列,a3=12,S120,S130(1)求公差求公差d的取值范围的取值范围;(4分分)(2)指出指出S1,S2,S12中哪个值最大中哪个值最大,并说明理由并说明理由.（4分）分）1211313112 111202:1,13 121302247012,122,302437()SadSaddaaddd 解依题意 有又得11311212671376713()12()260,130220,0,6(),).naaaaSaaSaaanS故当时最大
