1、一、知识点总结：一、知识点总结：1、不等号：、不等号：表示不等关系的符号称为不等号。一般包括表示不等关系的符号称为不等号。一般包括“”、“大于大于左边的量大于右边的量左边的量大于右边的量32小于号小于号小于小于左边的量小于右边的量左边的量小于右边的量-52.不等式不等式:用不等号连接起来的式子用不等号连接起来的式子.例用适当的符号表示下列关系例用适当的符号表示下列关系:(1)a的的2倍比倍比8小小;(2)y的的3倍与倍与1的和大于的和大于3;(3).x除以除以2的商加上的商加上2至多为至多为5;(4).a与与b两数和的平方不大于两数和的平方不大于2.(5).x与与y的差为非正数的差为非正数;(
2、6).a与与4的和不小于的和不小于2.注：列不等式注：列不等式与列等式一样。与列等式一样。3.不等到式的基本性质不等到式的基本性质:性质性质1:不等式的两边都不等式的两边都加上加上(或减去或减去)同一个同一个整式整式,不等号的不等号的方向不变方向不变.性质性质2:不等式的两边都不等式的两边都乘以乘以(或除以或除以)同一个同一个正数正数,不等号的不等号的方向不变方向不变.性质性质 3:不等式的两边都不等式的两边都乘以乘以(或除以或除以)同一个同一个负数负数,不等号的不等号的方向改变方向改变.例例:(1).由由a0;B.m0;C.m0;D.m0.D(2).下列变形中正确的是下列变形中正确的是()A
3、.由由ab,得得 ;B.由由mn,得得mxb,得得-2+3a-2+3b;D.由由7x3x-2,得得x-3的解？的解？4呢？呢？解：当解：当X=-2时时,2x-1=2(-2)-1=5-3,即不等式左边即不等式左边-3.的的解解.当当x=4时时,2x-1=24-1=7-3,即不等式左边即不等式左边右边右边,所以所以x=4是不等式是不等式2x-1-3的解的解.5、不等式的解集：、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成了这个不一个含有未知数的不等式的所有解，组成了这个不等式的解集。等式的解集。例：例：x5是不等式是不等式3x-52x的解集，则下列说法正确的有（的解集，则下列说法正确的有（）
4、个。）个。5是不等式是不等式3x-52x的一个解；的一个解；0是不等式是不等式3x-52x的一个解；的一个解；x4也是不等式也是不等式3x-52x的解集；所有小于的解集；所有小于4的数都是不等式的数都是不等式3x-52x的解。的解。剖析：剖析：x5是不等式是不等式3x-52x的解集，说明任何一个小于的解集，说明任何一个小于5的数都是不等式的数都是不等式3x-52x的一个的一个解，当然小于解，当然小于4的值也一定是不等式的值也一定是不等式3x-52x的解，但的解，但xa或或xa或或xaxaxaxaaaaa大于向右画大于向右画,小于向左画小于向左画.例例:1.关于关于x的不等式的不等式2x-a-1
5、的解集如图所示的解集如图所示,则则a的取值是的取值是()A.0;B.-3;C.-2;D.-10-1-2-3-4123D2.如图如图,表示的是不等式的解集表示的是不等式的解集,或中错误的是或中错误的是()01-1-2x-10-212-1x0ABCD用数轴表示不等式的一般步骤用数轴表示不等式的一般步骤;(1)画数轴画数轴;(2)定界点定界点;(3)定方向定方向.C8、不等式解集中最值问题：、不等式解集中最值问题：对于不等式对于不等式xa的解集有的解集有最小值最小值，最小值为，最小值为x=a；对于不等式；对于不等式xa的解集有的解集有最大值最大值，最大值为，最大值为x=a，而不等式，而不等式xa的解
6、集的解集没有最小值没有最小值，xa没有最大没有最大值值。例：例：x2时时x的最小值是的最小值是a，x5时时x的最大值是的最大值是b，试求，试求ba的值。的值。解：根据已知条件，得解：根据已知条件，得a=2,b=5则则ba=52=259、一元一次不等式：、一元一次不等式：不等式的左右两边都是不等式的左右两边都是整式整式，只含有，只含有一个未知数一个未知数，并且未知数的最高次数，并且未知数的最高次数是是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。10、一元一次不等式的解法：、一元一次不等式的解法：去分母去分母去括号去括号移项移项合并同类项合并同类项系数化为系数化为
7、1例：例：1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。(1).2(5x+3)x-3(1-2x)11)(x22x(2).5x456110 x312x(3).2.不等式不等式2x-75-2x的正整数解有（的正整数解有（）A、1个；个；B、2个；个；C、3个；个；D、4个个B3、若关于、若关于x的方程的方程 的解是非负数，求的解是非负数，求m的取值范围。的取值范围。2x22mxx11、一元一次不等式组：、一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就
8、组成一个一元一次不等式组。式组。12、一元一次不等式组的解集：、一元一次不等式组的解集：一般地，一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解一般地，一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集。集。13、一元一次不等式组的解集的取法：、一元一次不等式组的解集的取法：最简不等式组（最简不等式组（aaxbxaxaxbxbababababxbxaaxb无解无解同大取大同大取大同小取小同小取小大小小大中间找大小小大中间找大大小小无处找大大小小无处找14、一元一次不等式的解法：、一元一次不等式的解法：步骤：（步骤：（1）解不等式组中的每一个不等式，分
9、别求出它们的解集；）解不等式组中的每一个不等式，分别求出它们的解集；（2）将每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，找出它们的公共部分，注意：公）将每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，找出它们的公共部分，注意：公共部分可能没有，了可能是一个点。共部分可能没有，了可能是一个点。（3）根据公共部分写出不等式级一解集，若没有公共部分，则说明不等式组无解。）根据公共部分写出不等式级一解集，若没有公共部分，则说明不等式组无解。例：解下列不等式组：例：解下列不等式组：112x43x(1).x242x142)3(xx(2).41x3x13x1)2(x(3).32xx3145x13x(4).15、一元一次
10、不等式（组）的应用：、一元一次不等式（组）的应用：（1）、利用不等式解决商家销售中的利润问题：）、利用不等式解决商家销售中的利润问题：例：某商店将一件商品的进价提价例：某商店将一件商品的进价提价20%的，以降价的，以降价30%，以，以105元出售，问该商店卖出元出售，问该商店卖出这件产品，是盈利还是亏损？这件产品，是盈利还是亏损？解：设这件商品的进价为解：设这件商品的进价为x元，则元，则x(1+20%)(1-30%)=105，解得，解得x=125，因为，因为105125，所以该商店卖出这件产品亏损了。所以该商店卖出这件产品亏损了。练习：免交农业税，大大提高了农民的生产积极性，某镇政府对生产的土
11、特产进行加工后，练习：免交农业税，大大提高了农民的生产积极性，某镇政府对生产的土特产进行加工后，分为；甲、乙、丙三种不同包装推向市场进行销售，其相关信息如下表：分为；甲、乙、丙三种不同包装推向市场进行销售，其相关信息如下表：春节期间，这三种不同包装的土特产都销售春节期间，这三种不同包装的土特产都销售1200千克，那么在相次销售中，这三种包装的千克，那么在相次销售中，这三种包装的土特产获得利润最大的是（土特产获得利润最大的是（）甲甲乙乙丙丙质量（克质量（克/袋）袋）销售价（元销售价（元/袋）袋）包装成本费用（元包装成本费用（元/袋）袋）4003002004.83.62.50.50.40.3A、甲
12、、甲 B、乙、乙 C、丙、丙 D、不能确定、不能确定C（2）、利用不等式解决方案设计问题：）、利用不等式解决方案设计问题：例例1：某校在：某校在“五一五一”期间组织学生外出旅游，如果单独租用期间组织学生外出旅游，如果单独租用45座的客车若干辆，恰好坐座的客车若干辆，恰好坐满；如果单独租用满；如果单独租用60座的客车，可少租一辆，并且有一辆不空也不满。座的客车，可少租一辆，并且有一辆不空也不满。（1）求外出旅游的学生人数是多少？）求外出旅游的学生人数是多少？（2）已知）已知45座客车座客车每辆租金座客车座客车每辆租金250元，元，60座客车每辆租金座客车每辆租金300元，为了节省租金，并元，为了
13、节省租金，并保证每个学生都能有座，决定怎样租用客车，使得租金最少？保证每个学生都能有座，决定怎样租用客车，使得租金最少？解解（1）设单独租用设单独租用45座的客车座的客车x辆，则单独租用了（辆，则单独租用了（x-1）辆）辆60座的客车。座的客车。根据题意得：根据题意得：045x-60(x-2)60解得解得:4x8所以学生数为：所以学生数为：455=225人、人、456=270人或人或457=315人。人。（2）若租）若租45座客车座客车x辆，则辆，则60座（座（x-1）辆，费用为：）辆，费用为：250 x+300(x-1)=550 x-300,而而4x8，故当，故当x=4时，费用最少，为时，费
14、用最少，为5504-330=1870（元）。（元）。例例2：某单位急需用车，但以不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司中一家签订月租车：某单位急需用车，但以不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司中一家签订月租车合同，设汽车每月行驶合同，设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主有月租费用是千米，应付给个体车主有月租费用是y1元，应付给国营出租车公司的月租费用是元，应付给国营出租车公司的月租费用是y2元，元，y1、y2分别与分别与x之间的函数关系（两条射线）如图所示，回答下列问题：之间的函数关系（两条射线）如图所示，回答下列问题：（1）分别写出）分别写出y1、y2与与x的函
15、数关系式？（的函数关系式？（2）每月行驶的路程在什么范围内，租国营出租车公司的车合算？）每月行驶的路程在什么范围内，租国营出租车公司的车合算？在什么范围内租个体车主的车合算？（在什么范围内租个体车主的车合算？（3）每月行驶的路程是多少千米时，租两家车的费用相同？（）每月行驶的路程是多少千米时，租两家车的费用相同？（4）如）如果这个单位估计每月行驶的路程为果这个单位估计每月行驶的路程为2300米，那么这个单位租哪家的车合算？米，那么这个单位租哪家的车合算？1000200030002500500100015002000 x（千米）（千米）y(元）元）O解：设解：设y1与与x之间的函数关系式为之间的
16、函数关系式为y1=k1x+b,由于该函数图象由于该函数图象过过(0,1000),(1500,2500)，所以有，所以有所以所以y1=x+1000。设。设y2与与x之间的函数关系式为之间的函数关系式为y2=k2x，由，由于该函数图象过（于该函数图象过（1500，3000），所以），所以1500k2=3000所以所以k2=2,所以所以y2=2x;(2)根据题意，得根据题意，得y2y1，即，即b=10001500k1+b=2500k1=1b=1000解得解得2xx+1000，解得，解得xy1，即，即2xx+1000，解得，解得x1000。所以当每月行驶的路程小于。所以当每月行驶的路程小于1000千米
17、时，租国营出租千米时，租国营出租四公司的车合算；当每月行驶的路程大于四公司的车合算；当每月行驶的路程大于1000千米时，租个体车主和车合算；（千米时，租个体车主和车合算；（3）由题意得）由题意得y1=y2，即，即2x=x+1000,解解得得x=1000，所以每月行驶的路程为，所以每月行驶的路程为1000千米时，租两家车的费用相同；（千米时，租两家车的费用相同；（4）因）因23001000，所以租个体车主和车合算。，所以租个体车主和车合算。例例3、某饮料厂为了开发新产品，用、某饮料厂为了开发新产品，用A、B丙种果汁原料各丙种果汁原料各19千克、千克、17.2千克试制甲、乙两千克试制甲、乙两种新型
18、饮料共种新型饮料共50千克，下表是实验的相关数据：千克，下表是实验的相关数据：每千克会含量每千克会含量饮料饮料A（单位：千克）（单位：千克）B（单位：千克）（单位：千克）甲甲乙乙0.50.20.30.4(1)假设甲种饮料需配制千克假设甲种饮料需配制千克,请你写出满足题意的不等式请你写出满足题意的不等式组组,并求出其解集并求出其解集.(2)若甲种饮料每千克成本为若甲种饮料每千克成本为4元元,乙种饮料每千克成本为乙种饮料每千克成本为3元元,设这两种饮料的成本总额为设这两种饮料的成本总额为y元元,请写出请写出y与与x的函数关系式的函数关系式(不要求写自变量的取值范围不要求写自变量的取值范围),并根据
19、并根据(1)的运算结果的运算结果,确定当甲确定当甲种饮料配制多少千克时种饮料配制多少千克时,甲、乙两种饮料的成本总额最少？甲、乙两种饮料的成本总额最少？解：（解：（1）由题意得：）由题意得：解不等式组，得解不等式组，得（2）y=4x+3(50-x)，即，即y=x+150。因为。因为x越小，越小，y越小，所以当越小，所以当x=28时，时，y最小。即当甲最小。即当甲种饮料配制种饮料配制28千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少。千克时，甲、乙两种饮料的成本总额最少。0.5x+0.2(50-x)190.3x+0.4(50-x)17.228x30练习：绵阳市练习：绵阳市“全国文明村全国文明村”江油白玉村
20、果农王灿收获枇杷江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子吨，桃子12吨。现计划租用吨。现计划租用甲、乙两种货车共甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃吨和桃子子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨。吨。（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运费）若甲种货车每辆要付运费300元，乙种货车每辆要付运费元，乙种货车每辆要付运费240元，则果农王灿应选择元，则果农
21、王灿应选择哪种方案，使运费最少？最少运费是多少？哪种方案，使运费最少？最少运费是多少？解：（解：（1）设安排甲种货车）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车辆，则安排乙种货车(8-x)辆，依题材意得辆，依题材意得4x+2(8-x)20，且，且x+2(8-x)12，解得，解得2x4。因为。因为x是正整数，所以是正整数，所以x可取的值为可取的值为2，3，4。因此安排甲、乙。因此安排甲、乙两种货车有三种方案：两种货车有三种方案：甲种货车甲种货车乙种货车乙种货车方案一方案一2辆辆6辆辆方案二方案二3辆辆5辆辆方案三方案三4辆辆4辆辆（2）方案一所需运费）方案一所需运费3002+2406=2040（元）；方案（元）；方案二所需运费二所需运费3003+2405=2100（元）；方案三所需运费（元）；方案三所需运费3004+2404=2160（元）。所以五灿应选择方案一运费（元）。所以五灿应选择方案一运费最少，最少运费是最少，最少运费是2040元。元。
