1、第二节第二节 复数的几何表示复数的几何表示一一 复平面及复球面复平面及复球面二二 模，幅角，主幅角模，幅角，主幅角三三 复数的三角表示复数的三角表示五五 习题习题四四 复球面复球面，与有序实数对与有序实数对复平面复数复平面复数),(yxiyxz ),(yxiyxz可表示为可表示为即即 ,显显然然是是一一一一对对应应的的即即z;,）（其其对对应应于于平平面面上上的的一一点点yx.,iyxzyx ）也也对对应应于于复复数数（反之，平面上的点反之，平面上的点，由此建立一坐标平面由此建立一坐标平面.称为复平面称为复平面因而我们可从横轴上因而我们可从横轴上，的点表示实数（实轴）的点表示实数（实轴），纵轴
2、上的点表示纯虚数纵轴上的点表示纯虚数如图：如图：.23,3221两两点点，分分别别对对应应复复平平面面上上的的BAiziz B(3,2)yA(2,3)32023x一一的的从从原原点点指指向向点点复复数数在在复复平平面面上上，若若),(,0yxzz ，平平面面向向量量相相对对应应,的模的模做做所对应的向量的长度叫所对应的向量的长度叫把此把此zz;22yxz 则则，记作记作z,幅角有无穷多个值幅角有无穷多个值角角叫叫做做把把它它所所对对应应向向量量的的方方向向的幅角，的幅角，z表示，表示，用用zArg如如图图：的的整整数数倍倍相相差差,2 其中任意两个其中任意两个.,2为为任任意意整整数数kkzA
3、rg ，记为记为zarg0 的的主主值值，称称为为的的的的幅幅角角中中，把把满满足足在在zArgz00 ,2arg kzzArg 则则.k为任意整数为任意整数(x,y)y0 xz=x+iy rz 注注 ,2zzzz 有有的共轭复数的共轭复数对对 ;,0argarg且且不不为为负负实实数数 zzz ;arg,;0arg,3 zzzz为为负负实实数数时时为为正正实实数数时时当当 ;1,4222222zzzzzzzzyxzyxz 则则，且且若若,0 5iyxzz ;sin,cosArgzzyArgzzx .,6yxzzyzx );(0,0 1 或或幅幅角角无无意意义义但但幅幅角角不不确确定定则则当当
4、 zz，在在哪哪个个象象限限而而定定要要看看z的主幅角，的主幅角，z，对对任任意意实实数数，的的一一个个角角内内其其正正切切为为，表表示示用用 )22(arctan 如图，如图，xyz arctanargy0 xyzarctanarg x图图10yxyarctanx图图2zargy0 xyarctanx图图3zarg 00,200,arctan00,arctan 0 0,2 0,arctanargy xy xxyyxxyyxyxxyz （图三）（图三）（图二）（图二）为任意实数（图一）为任意实数（图一）则有：则有：.4,3,2,1 arg,2,43,43,32 4321 izArgzziziz
5、izii及及求求设设解解,23arctanarg ,11 zz故故：第一象限：第一象限;,2arg11ZkkzArgz ,34tan)34arctan(arg,22acczz 故故：第第二二象象限限;,2arg12ZkkzArgz ;34arctanarg ,33 zz故故：第第三三象象限限.,)12(4ZkkArgz ;arg ,44 zz故故：负负实实轴轴6例例如图：如图：,222111iyxziyxz 设设，)(21yyi )(2121xxzz 则则.加加水平分量与垂直分量相水平分量与垂直分量相于它们的于它们的由于两个向量相加相当由于两个向量相加相当.作作出出相相加加的的三三角角形形则则
6、在在图图上上故复数加法可以用向量故复数加法可以用向量而而且且由由三三角角形形法法则则知知21212121 zzzzzzzz .212121212121zzzzzzzzzzzz 或或综综合合写写成成yx01z21zz 2z1zyx02z21zz 二二复复数数的的三三角角表表示示三三 ,0的任意一个幅角的任意一个幅角为为的模，的模，为为设设zzrz ,)sin(cos称称为为负负数数的的三三角角表表示示 irz ,)sin(cos ireirz sincosiei 其其中中.为为欧欧拉拉公公式式)sin(cos),sin(cos 22221111 irzirz 若若注注则可推出则可推出),sin(
7、cos)sin(cos222111 irir .,2,2121为为某某个个整整数数kkrr .角表示不是唯一的角表示不是唯一的由此说明一个复数的三由此说明一个复数的三达达式式与与指指数数表表达达式式将将下下列列复复数数化化为为三三角角表表 .1 3 ;5cos5sin 2 ;212 1iziziz ,44121 r解解在在第第三三象象限限，故故由由于于z,65 )122arctan(33arctan为为角角表表达达式式及及指指数数表表达达式式的的三三z)65sin()65cos(4 iz.465ie 7例例,103cos )52cos(5sin1 2 且且r,103sin5cos .103si
8、n103cos 103ieiz 故故 ,211 3 r 故故,41arg i.2)4sin4(cos2 4ieiz .1,sincos 的的三三角角表表示示求求设设zrz 故故,sincos irz ,1 2zzz 因因,rz sincos11irz 解解8例例.1 ier sincos1ir.,212121zzzzzz 证证明明：为为两两个个任任意意两两个个复复数数，设设 2121zzzz 解解 2121221 zzzzzz 12212211zzzzzzzz 12212221zzzzzz .Re2212221zzzz ,Re21212121zzzzzzzz 而而 ,2 22121222122
9、1zzzzzzzz 故故.即证即证9例例.,1,1,0为顶点的正方形为顶点的正方形复平面中以复平面中以ii:线线求下列方程所表示的曲求下列方程所表示的曲 解解 .4Im 3 ;22 2 ;2 1 ziziziz ,1 1iyxiziyxz 则则设设,2 iz由由 .2,102的的圆圆半半径径为为，表表示示中中心心为为则则 iz集集，数数集集合合就就是是一一个个平平面面点点在在复复平平面面中中，一一个个复复 方方程程集集就就可可以以用用复复数数形形式式的的因因此此复复平平面面上上的的平平面面点点，来确定它的平面图形来确定它的平面图形 表表示示：又又如如1Im0,1Re0 zzz ,2iyxz 设
10、设 ,22iyxyix .222222xyyxyx 即即 ,1,3iyxyiixziiyxz 由由于于设设.3,41轴的直线轴的直线为一条平行于为一条平行于即即所以所以xyy 10例例 表表示示复复平平面面中中：如如0Im zz.的上半平面的上半平面复球面复球面四四 还可以用还可以用；球球面面上上的的点点来来表表示示复复数数如图，如图，与平面与平面取一个在原点取一个在原点o相切的球面，相切的球面，作作垂垂直直于于平平面面的的直直线线南南极极并并通通过过点点So ，北极北极点点与球面交于与球面交于N与球面上与球面上然后用直线段将点然后用直线段将点N,Z点相连点相连的的,Z其其延延长长线线交交平平
11、面面于于一一点点 点点不不包包括括球球面面上上的的点点N这样就建立了这样就建立了 之之间间的的有有限限点点与与平平面面上上的的点点.在平面上的投影在平面上的投影，一一对应关系一一对应关系Zz是点是点点点的的球球面面图图形形，叫叫做做复复数数z.此此球球面面称称为为复复平平面面Z点点，或向量表示之外或向量表示之外复数除了用平面内的点复数除了用平面内的点 ZxyC0(s)zN 相相对对应应的的点点：下下面面研研究究平平面面上上与与极极点点N，为为中中心心的的圆圆圈圈对对于于平平面面上上一一个个以以原原点点C，一个圆周一个圆周在球面上对应的图形是在球面上对应的图形是 的半径越来越大的半径越来越大当当
12、C，便趋近于极点便趋近于极点圆周圆周N 点点因此复平面上的无穷远因此复平面上的无穷远.点点对应于复球面的对应于复球面的N规定规定无无穷穷大大”与与复复平平面面上上的的复复数数中中有有一一个个唯唯一一的的“，无穷远点相对应无穷远点相对应的无穷远点的无穷远点因此复球面可把复平面因此复球面可把复平面.明显地表示出来明显地表示出来 意义；意义；，其实部、虚部均没有，其实部、虚部均没有为为规定规定 1 ；称为扩充复平面称为扩充复平面复平面连同无穷远点，复平面连同无穷远点，2 ：的的四四则则运运算算有有如如下下规规定定关关于于 3.0000无意义无意义，但但 ,加加法法：,减减法法：,0 乘乘法法：,0
13、00 ，除除法法：注注 ,(b)的的向向量量表表示示可可用用从从原原点点指指向向点点yxiyxz ;,(a)表表示示可可用用平平面面上上复复数数yxiyxz 复复数数的的几几种种表表示示法法1;arctan,22xyyxz ,2成成方方法法及及优优点点复复球球面面：掌掌握握复复球球面面构构 ;sincos)(irzc 三角表示三角表示 ;irezd 指数表示指数表示.来来无无穷穷远远点点明明显显地地表表示示出出复复球球面面把把扩扩充充复复平平面面的的 小结小结.1213为为实实数数zzzz 共共线线的的充充要要条条件件是是证证明明：复复平平面面上上的的三三点点一一 )(习题习题化化为为三三角角
14、把把二二 0,sincos1 )(iz.z,的的幅幅角角主主值值并并求求表表示示式式与与指指数数表表示示式式.,)1()1()(的的值值试试求求若若三三niinn .1213，即即证证，故故 ttzzzz点的直线的参数方程为点的直线的参数方程为设过设过21,zz1证法证法 ttzzzz,)(121,)(,1213213tzzzzzzz 共共线线，则则与与若若.1312为实数为实数即即zzzz 2证法证法移到原点，移到原点，将将1z共共线线与与则则向向量量1312zzzz ,2,1,0 1312 nnzzzzArg 的充要条件为：的充要条件为：,1 131213121312实实数数即即 ninz
15、zzzezzzzzzzz.1213为为实实数数zzzz 共共线线的的充充要要条条件件是是证证明明：复复平平面面上上的的三三点点一一 )(解解:,不不难难看看出出利利用用三三角角公公式式 sincos1i 2cos2sin2sin2 i 2sin2cos2sin2 iei22sin2 .2 幅幅角角主主值值是是三三角角表表示示式式指指数数表表示示式式2cos2sin22sin22 i 化化为为三三角角把把二二 0,sincos1 )(iz.,的的幅幅角角主主值值并并求求表表示示式式与与指指数数表表示示式式z解解可可得得由由nnii)1()1(),4sin4(cos2)4sin4(cos222 ninninnn ,4sin4sin nn 即即,244 knn 所所以以.,4为为整整数数化化简简得得kkn .,)1()1()(的的值值试试求求若若三三niinn
