1、12022-12-4第一节 解析函数的洛朗展式1.双边幂级数双边幂级数2.解析函数的洛朗展式解析函数的洛朗展式3.洛朗级数与泰勒级数的关系洛朗级数与泰勒级数的关系4.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式5.典型例题典型例题第五章第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点解析函数的洛朗展式与孤立奇点22022-12-41.双边幂级数双边幂级数),2,1,0(ncn定义定义 称级数称级数（1）为双边幂级数（为双边幂级数（1）的系数。双边幂级数）的系数。双边幂级数为为双边幂级数双边幂级数，其中复常数，其中复常数nnnnnnnzzczzczzczzczzcczzc)()()(
2、)()(02020100100负幂项部分负幂项部分非负幂项部分非负幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分注注:主要部分与解析部分同时收敛称幂级数收敛主要部分与解析部分同时收敛称幂级数收敛 nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 32022-12-4nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)(zz 令令nnnc 1若若1R 011zzrR收敛域为收敛域为的收敛半径为的收敛半径为R,0zzR收敛域为收敛域为时收敛时收敛,1():rR 若若 两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,2():rR 两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分H:0.rzzR这时这时,级数级数(1)
3、在在圆环圆环H:r|z-a|R 收敛于和函数收敛于和函数f(z)=f1(z)+f2(z)42022-12-4定理定理5.15.1 设双边幂级数设双边幂级数(1)(1)的收敛圆环为的收敛圆环为 H:r|z-a|R(r0,R+)则则(1)级数在级数在H内绝对收敛且内闭一致收敛于内绝对收敛且内闭一致收敛于:f(z)=f1(z)+f2(z).(2)f(z)在在H内解析内解析.nnnazczf)()(3)函数在在H内可逐项求导内可逐项求导p次次(p=1,2,).(4)函数函数f(z)可沿可沿H内曲线内曲线C逐项积分逐项积分.52022-12-4 定理定理5.2(洛朗定理洛朗定理)在圆环在圆环H:r|z-
4、a|R,(r0,R+)内解析的函数内解析的函数f(z)必可展成双边必可展成双边幂级数幂级数)()nnnczfaz 其中其中110122(),(,),()nnfcdnia (2)2.解析函数的洛朗解析函数的洛朗(Laurent)展式展式|(),().narRf zHc 并并且且展展式式是是唯唯为为圆圆周周即即及及圆圆环环唯唯一一地地决决系系数数一一定定了了的的定义定义5.15.1(2)(2)式称为式称为f(z)在点在点a处的处的罗朗展式罗朗展式，(3)(3)称称为其为其罗朗系数罗朗系数，而，而(2)(2)右边的级数则称为右边的级数则称为罗朗级数罗朗级数。(3)注注:泰勒级数是罗朗级数的特殊情形。
5、泰勒级数是罗朗级数的特殊情形。3.洛朗级数与泰勒级数的关系洛朗级数与泰勒级数的关系62022-12-432 z 32 1 z例例1 1 求函数求函数 分别在圆环分别在圆环 及及 的洛朗级数。的洛朗级数。(1)在圆环在圆环 内，内，,于是有洛朗级数于是有洛朗级数13 1,|z2|z 3/13/21132zzzzzzzzf011032nnnnnnzz(2)在圆环在圆环 上上,于是有洛朗级数于是有洛朗级数 z313 1,|z2|z0032nnnnnnzz123nnnnz z3 2)3)(2(zzzzf解解 zzzzzzzf/311/2113272022-12-4 z0 2sinzzzf例例2 求函数
6、求函数 在在 内的洛朗级数。内的洛朗级数。z0 zezf1例例3 求函数求函数 在在 内的洛朗级数。内的洛朗级数。31 z)3)(1(12zzzf例例4 求函数求函数 在在 内的洛朗级数。内的洛朗级数。82022-12-44.4.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式 定义定义5.25.2 如果如果f(z)在点在点a的某一去心邻域的某一去心邻域K-a：0|z-a|R 内解析，点内解析，点a是是f(z)的奇点，的奇点，则称为则称为f(z)的的孤立奇点孤立奇点.如果如果a为为f(z)的一个孤立奇点，则的一个孤立奇点，则f(z)在在点点a的某一去心邻域的某一去心邻域K-
7、a：0|z-a|R内能内能展成洛朗级数。展成洛朗级数。将函数展成洛朗级数的常用方法。将函数展成洛朗级数的常用方法。1.1.直接展开法直接展开法:利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数nc),2,1,0(d)()(2110 nzficCnn 然后写出然后写出.)()(0nnnzzczf 2.2.间接展开法间接展开法根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .92022-12-4例例1 1内将函数在 0 z3 ()zef zz 展开成洛朗级数展开成洛朗级数.5.典型例题典型例题 z0
8、 2sinhzzzf例例2 求函数求函数 在在 内的洛朗级数。内的洛朗级数。Rz 0 zzf1tan例例3 试问函数试问函数 能否在能否在 内展成内展成洛朗级数？洛朗级数？102022-12-4第二节第二节 解析函数的有限孤立奇点2.孤立奇点的性质3.Picard定理4.Schwarz引理1.孤立奇点的分类112022-12-41.1.孤立奇点的分类孤立奇点的分类.)()()()(01nnnnnnnnnazcazcazczf0nnnazc)(如如a为为f(z)的孤立奇点的孤立奇点,则则f(z)在在a的某去心邻域的某去心邻域K-a内可以展成罗朗级数内可以展成罗朗级数则称则称为为f(z)在点在点a
9、的的正则部分正则部分,而称而称1nnnazc)(为为f(z)在点在点a的的主要部分主要部分。定义定义5.35.3 设设a为为f(z)的孤立奇点的孤立奇点.(1).(1)如果如果f(z)在点在点a的主要部分为零的主要部分为零,则称则称a为为f(z)的的可去奇点可去奇点;(2);(2)如如果果f(z)在点在点a的主要部分为有限多项的主要部分为有限多项,设为设为则称则称a为为f(z)的的m阶极点阶极点，一阶极点也称为，一阶极点也称为简单极点简单极点；(3)如果如果f(z)在点在点a的主要部分有无限多项的主要部分有无限多项,则称则称a为为f(z)的的本性奇点本性奇点.),0()()(11)1(mmmm
10、mcazcazcazc122022-12-4定理定理5.35.3 若若a为为f(z)的孤立奇点，则下列三条是等价的孤立奇点，则下列三条是等价的的。因此，它们中的任何一条都是可去奇点的特征。因此，它们中的任何一条都是可去奇点的特征。)()(limbzfaz (2)(1)f(z)在点在点a的主要部分为零的主要部分为零;(3)f(z)在点在点a的某去心邻域内有界的某去心邻域内有界。2.2.可去奇点的性质132022-12-4 Razazcazcczf02210 0limczfaz证(1)(2).由(1)有因此因此(2)(3).因,|)(|,|0:,0,0bzfazz有则 bzfazlim的去心邻域内
11、有界。在即有于是azfbzf)(,|)(|,(3)(1).因主要部分的系数其中 ,可任意小，故 daficnn121a:nnnnMMdafc2212111,210，ncn142022-12-4Schwarz引理引理 如果函数如果函数f(z)在单位圆在单位圆|z|1内解析内解析,并且满足条件并且满足条件 f(0)=0,|f(z)|1(|z|1)，则在单位圆，则在单位圆|z|1内恒有内恒有|f(z)|z|,且有且有 .3.施瓦茨施瓦茨(Schwarz)(Schwarz)引理引理如果上式等号成立如果上式等号成立,或在圆或在圆|z|z|r0内解析内解析,则称点则称点为为f(z)的一个的一个孤立奇点孤立
12、奇点.设点设点为为f(z)的孤立奇点的孤立奇点,利用变换利用变换 ,于是于是)()1()(zfzfz在去心邻域在去心邻域:)10(1|00rrrzK规定如：(5.12)zz1的孤立奇点。就为)(0zz内解析，则内解析，则202022-12-4(1)对于扩充对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域平面上无穷远点的去心邻域N-,有扩充有扩充z/平面上的原点的去心邻域平面上的原点的去心邻域;(2)在对应点在对应点z与与z/上上,函数函数)()(zzf(3),(lim)(limzzfzz0或两个极限都不存在或两个极限都不存在.注：注：212022-12-4定义定义5.55.5 若若z/=0为为)(z的可去奇
13、点的可去奇点(解析点解析点)、m级极点或本性奇点级极点或本性奇点,则相应地称则相应地称z=为为f(z)的可去奇点的可去奇点(解析点解析点)、m级极点或本性奇点级极点或本性奇点.设在去心邻域设在去心邻域 内将内将)(z展成罗朗级数展成罗朗级数:nnnzcz)(rzK/1|0:0222022-12-4定理5.3/(对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点z=为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:(1)f(z)在 的主要部分为零;(2)(3)f(z)在 的某去心邻域N-内有界.z);()(limbzfzz232022-12-4定理5.4/(对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点z=为m级极点的充
14、要条件是下列三条中的任何一条成立:);0(221 mmmbzbzbzb(1)f(z)在 z=的主要部分为),()(zzzfm(2)f(z)在z=的某去心邻域N-内能表成(3)g(z)=1/f(z)以z=为m级零点(只要令g()=0).其中 在z=的邻域N内解析,且)(z;0)(242022-12-4定理5.5(对应于定理5.5)f(z)的孤立奇点为极点的充要条件是定理5.6(对应于定理5.6)f(z)的孤立奇点为本性奇点的充要条件是下列任何一条成立:(1)f(z)在z=的主要部分有无穷多项正幂不等于零.)(limzfz)(limzfz广义不存在(即当z趋向于时,f(z)不趋向于任何(有限或无穷
15、)极限).(2)252022-12-4第四节第四节 整函数与亚纯函数整函数与亚纯函数1.整函数整函数2.亚纯函数亚纯函数262022-12-4在整个z平面上解析的函数f(z)称为整函数.).|0()(0zzczfnnn(5.14)设f(z)为一整函数,则f(z)只以z=为孤立奇点,且可设1.整函数整函数272022-12-4定理5.10 若f(z)为一整函数,则(1)z=为f(z)的可去奇点的充要条为:f(z)=c.(2)z=为f(z)的m级极点的充要条件:f(z)是一个m次多项式).0(10 mmmczczcc(3)z=为f(z)的本性奇点的充要条件为:展式(5.14)有无穷多个cn不等于零.(我们称这样的f(z)为超越整函数).282022-12-4定义5.6 在z平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数.2.亚纯函数亚纯函数定理5.11 一函数f(z)为有理函数的充要条件为:f(z)在扩充平面z平面上除极点外没有其它类型的奇点.定义5.7 非有理的亚纯函数称为超越亚纯函数
