1、山东科技大学山东科技大学讲课内容：单个观测值线性函数的协方差传播律讲课内容：单个观测值线性函数的协方差传播律所属学科：工学所属学科：工学测绘科学与技术测绘科学与技术课课 程：误差理论与测量平差基础程：误差理论与测量平差基础适用对象：测绘工程相关专业本科生适用对象：测绘工程相关专业本科生山东科技大学知识回顾知识回顾 一个观测量的精度可以用方差、中误差来衡量，一个观测量的精度可以用方差、中误差来衡量，而一个观测值向量的精度可以用方差阵来衡量。而一个观测值向量的精度可以用方差阵来衡量。那么，一个观测量（观测向量）的线性函数的精度呢？那么，一个观测量（观测向量）的线性函数的精度呢？1 方差、中误差的定
2、义方差、中误差的定义2 方差阵的定义方差阵的定义山东科技大学问题引入问题引入ABC2L3L1L321180LLL 在在 中，观测了三个内角中，观测了三个内角L1、L2、L3，其闭合差，其闭合差 为：为：ABCTLLLL321的方差阵的方差阵LLD如何求如何求 的的 精度，精度，即求方差即求方差 （或中误差（或中误差 ）？若已知了观测值向量若已知了观测值向量2，山东科技大学本节内容本节内容单个观测值线性函单个观测值线性函数的协方差传播律数的协方差传播律1要解决的问题要解决的问题2公式推导公式推导3应用举例应用举例山东科技大学单个观测值线性函数的协方差传播律要解决的问题单个观测值线性函数的协方差传
3、播律要解决的问题1 设有观测值向量设有观测值向量 ，协方差阵为，协方差阵为 ，1nXXXD 即：即：nTnXXXXXXX2121 2212222111221nnnnnTXXXEXXEXED 假设有假设有 的单个线性函数的单个线性函数 。1nX02211kXkXkXkZnn求求 （）。）。ZZD2Z山东科技大学02121),(kXXXkkkZnn写成矩阵的形式有：写成矩阵的形式有：单个观测值线性函数的协方差传播律的公式推导单个观测值线性函数的协方差传播律的公式推导201,1kXKZnn02211kXkXkXkZnnKX则有：则有：000)()(kXKEkEKXEkKXEZE山东科技大学)()()
4、()(00XEXKXKEKXkXKEkKXZEZ TTTTKXEXXEXKZEZ)()(TTTTTZZZKXEXXEXKEKXEXXEXKEZEZZEZED)()(21,1XXDTXXZKKD2单个观测值线性函数的协方差传播律的公式推导单个观测值线性函数的协方差传播律的公式推导2单个观测值线性函数的协方差传播律单个观测值线性函数的协方差传播律山东科技大学单个观测值线性函数的协方差传播律的公式推导单个观测值线性函数的协方差传播律的公式推导2 当向量中的各分量当向量中的各分量 两两独立时，两两独立时，它们之间的协方差它们之间的协方差 。niXi,2,10ijniiinnnnnTXXZkkkkkkk
5、kkkKKD12222222221212122221212特例：特例：山东科技大学单个观测值线性函数的协方差传播律的应用举例单个观测值线性函数的协方差传播律的应用举例3，是独立观测值是独立观测值 、x1L2L3L321747271LLLx1L2L3Lmm31mm22mm13x【例题【例题1】设】设和和的函数，即：的函数，即：已知已知、和和的中误差是的中误差是、和和，求函数，求函数的精度。的精度。例题例题1解：解：1L2L3L因为因为、和和是独立观测值，所以有是独立观测值，所以有 22322222122)(84.0747271mmxmmx9.0山东科技大学单个观测值线性函数的协方差传播律的应用举
6、例单个观测值线性函数的协方差传播律的应用举例3的中误差是的中误差是 ，124.121 212)(1 21xx【例题【例题2】设观测角】设观测角和和协方差是协方差是，求，求的中误差的中误差 ，其中其中无误差。无误差。例题例题2解：解：Kx2121)11(2111K由于由于令向量令向量，则则山东科技大学96.11196.122211221D22)(92.11196.11196.111 TxKKD4.1 x则有：则有：山东科技大学内容总结内容总结（1 1）利用单个观测值线性函数的协方差传播律求方差阵的利用单个观测值线性函数的协方差传播律求方差阵的三个步骤为三个步骤为：根据已知的条件，构建观测值向量根
7、据已知的条件，构建观测值向量 的方差阵的方差阵 。1nXXXD列立列立 的线性函数的线性函数 ，得到系数阵，得到系数阵 。1nX01,1kXKZnnK求出求出 。TXXZZZKKDD21,1(2)(2)下节内容引入：当有多个观测值的线性函数时，我们如下节内容引入：当有多个观测值的线性函数时，我们如何来求函数向量的精度（或方差阵）呢？如何来求非线性函何来求函数向量的精度（或方差阵）呢？如何来求非线性函数的精度（或方差、方差阵）呢？数的精度（或方差、方差阵）呢？山东科技大学 对一个观测量对一个观测量 进行进行 次观测，得到次观测，得到 个观测值个观测值 ，。对应的观测误差分别为对应的观测误差分别为 ，。这个观测量。这个观测量 的方差为：的方差为：1L2LnL12nXnn方差、中误差的定义方差、中误差的定义X nEDnlim22nnlim中误差为：中误差为：山东科技大学 设有设有 个观测量个观测量 ，组成，组成 维的观测向量维的观测向量 nXXX,21nnnnXXXX211,的方差阵的定义为：的方差阵的定义为：2212222111221,nnnnnTnnXXXEXXEXED方差阵的定义方差阵的定义
