1、第一节 方程的导出及定解条件课时：2第一部分：弦振动方程的导出一、问题的提出n给定一根两端固定张紧的弦，在平衡位置作微小的的横振动，求弦上各点的振动情况？二、一些假设n1、弦非常的的细，可以看作是一条曲线，弦是均匀的，线密度为常数。n2、弦在垂直于平衡位置的两端做微小的震动。n3、弦的伸缩满足hooke定律。三、利用的物理学原理n物体的冲量=物体动量的变化量0TT张力T在弦的振动过程中起到了关键的作用12ux四、对于问题的分析五、张力T与时间的关系在任意的时间内x轴上x到x+x的弦长为：dxxuSxxx2/1因为xu /很小，所以2)/(xu 可以忽略不计xdxSxxx故说明张力与时间无关说明
2、张力与时间无关在固定时间内的一小段弦在固定时间内的一小段弦（x,x+x）的受力分析）的受力分析T(x)T(x+x)0TT12ux在固定时间内的一小段弦（在固定时间内的一小段弦（x,x+x）的受力）的受力分析分析水平方向合力为零0cos)(cos)(12xTxxT0)(tan11)()(tan11)(2122xTxxT0cos)(cos)(12xxTxT而 可以忽略不计，故22)/(tanxu)()(xxTxT说明弦上各点的张力相等，不妨设为TxtxuxtxxuTTT),(),(sinsin12tttdtxtxuxtxxuT),(),(其中的时间段为：),(tttxxxdxttxu),(xxxd
3、xtttxu),(时刻 时t时刻 时 ttxxxdxttxutttxu),(),(xxxdxttxutttxu),(),(tttdtxtxuxtxxuT),(),(动量的变化量动量的变化量冲量冲量tttdtxtxuxtxxuT),(),(xxxdxttxutttxu),(),(xxxtttdxdtttxu22),(tttxxxdtdxxtxuT22),(xxxdxxtxu22),(xtxuxtxxu),(),(tttdtttxu22),(ttxutttxu),(),(的任意性xt ,xxxtttdxdtttxu22),(tttxxxdtdxxtxuT22),(22tu0222xua2/aT22
4、),(ttxu22),(xtxuT上述即是不受外力作用时弦振动所满足的方程动量的变化量动量的变化量冲量冲量xxxtttdxdtttxu22),(tttxxxdtdxxtxuT22),(tttxxxdtdxtxF),(),(txFxtxxxxtttdxdtttxu22),(tttxxxdtdxxtxuT22),(tttxxxdtdxtxF),(22),(ttxu),(),(22txFxtxuT或22tu),(222txfxua其中：),(),(txFtxf在外力作用下弦振动所满足的方程22tu),()(22222tyxfyuxua二维情形：三维情形：22tu),()(2222222tzyxfzu
5、yuxua第二部分：定解条件一、初始条件与边界条件1、边界条件：、边界条件：在上述的弦振动问题中，当弦的两端被固定在 轴上时（例如：两点）有xlxx,00),0(tu0),(tlu称为边界条件；边界条件；2、初始条件：初始条件：弦在初始时刻 的位置和速度为0t)()0,(xxu)()0,(xtxu称为初始条件。边界条件和初始条件统称为定解条件。初始条件。边界条件和初始条件统称为定解条件。二、三类边界条件1、第一类边界条件第一类边界条件（Dirichlet边界条件边界条件）0),0(tu0),(tlu2、第二类边界条件、第二类边界条件（Neumann边界条件边界条件）00 xxu)(0txux2
6、、第三类边界条件、第三类边界条件0)(lxuxu)()(tuxulx（齐次条件）（非齐次条件）（齐次条件）（非齐次条件）三、几个关于偏微分方程的概念1、偏微分方程、偏微分方程：包含有未知函数和它的关于自变量的偏导数的方程。2、线性偏微分方程：、线性偏微分方程：方程对于未知函数及各阶的偏导数总体来说是线性的。（否则为非线性方程非线性方程）3、拟线性偏微分方程：、拟线性偏微分方程：方程对于未知函数的所有的最高阶的偏导数来说是线性的。4、完全非线性偏微分方程：非线性、完全非线性偏微分方程：非线性方程中方程对于未知函数的最高阶偏导数是非线性的。例：uyuxu225、齐次方程、齐次方程：只包含有未知函数和它的关于自变量的偏导数的方程。6、非齐次方程、非齐次方程：除了未知函数和它的关于自变量的偏导数的项，还包含其它的项（称为自由项）。22tu0222xua22tu),()(22222tyxfyuxua四、定解问题的适定性概念n定解问题的存在性，唯一性，稳定性统称为定解问题的适定性。
