1、函数函数函数函数3.2.3 二次函数模型二次函数模型cbxaxy20a二次函数的一般形式：二次函数的一般形式：a 是二次项系数，是二次项系数，b 是一次项系数，是一次项系数，c 是常数项是常数项下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项系数，一次项系数，常数项(1)y=2x23 x-1；(2)y=x ；(3)y=3(x-1)2+1；(4)y=(x+3)-x；(5)s=3-2 t；(6)v=4 rx1 在同一坐标系中，作出下列函数的图象：在同一坐标系中，作出下列函数的图象：2xy 22xy 23xy23xy 2xy22
2、xy解：列表解：列表2.252.2510.25 0 0.25 1y=x21.510.50-0.5-1-1.5x2xy。；2xy2xy22xy23xy22xy23xy函数函数 的图象，的图象，当当 时开口时开口 当当 时开口时开口 ,对称轴是对称轴是 ，顶点坐标是顶点坐标是 函数是函数是 函数函数0aa越大，开口越越大，开口越 观察右图并完成填空：观察右图并完成填空：2xy2xy 22xy23xy22xy 23xy 2axy0a向上向上向下向下y轴轴(0,0)小小偶偶附注 以上图象变化过程可 在主界面单击“yax2 的图象.gsp”文件观看.例例1 1 研讨二次函数研讨二次函数 的性质与图象的性
3、质与图象 6421)(2xxxf解解 (1)(1)配方：配方：128216421)(22xxxxxf12164212x2)4(212x由于对任意实数由于对任意实数 x，都有，都有 ，所以所以0)4(212x.2)(xf性性 质：质：1.在在 x=-4时，函数时，函数取最小值取最小值-2记为 2miny2.2.点点(-4，-2)是抛物线是抛物线的顶点的顶点 并且，当并且，当 x=4时取等号，即时取等号，即 f(4)=2例例1 1 研讨二次函数研讨二次函数 的性质与图象的性质与图象 6421)(2xxxf解解 (2)(2)当当 y=0=0时，时，064212 xx01282 xx解得解得 x1=6
4、，x2=2故该函数图象与故该函数图象与 x 轴交于两点轴交于两点(6，0)，(2，0)(3)(3)列表作图以列表作图以 x=-4为中间值，取为中间值，取 x 的一些值，列的一些值，列出这个函数的对应值表出这个函数的对应值表x-6-5-4-3-2 f(x)-1-72.50-1.5-2-1.502.5观察上表或图形：观察上表或图形：1.关于关于 x=-4对称对称的两个自变量对应的两个自变量对应的函数值有什么特的函数值有什么特点？点？相同相同y-1-2-3-4-5-6-7Ox-1-2-332112x-6-5-4-3-2 f(x)-1-72.50-1.5-2-1.502.5y-1-2-3-4-5-6-
5、7Ox-1-2-3321122.-4-h 与与-4h(h0)关于关于 x=-4对称吗？分别计算对称吗？分别计算-4-h与与-4h 的函的函数值，你能发现什数值，你能发现什么？么？)4()4(hfhf列表作图以列表作图以 x=-4为中间值，取为中间值，取 x 的一些值，列出这的一些值，列出这个函数的对应值表个函数的对应值表x-6-5-4-3-2 f(x)-1-72.50-1.5-2-1.502.5y-1-2-3-4-5-6-7Ox-1-2-332112性性 质：质：3.3.对称轴为对称轴为直线直线 x=-4.4.在在(-，-4上是减函数上是减函数.在在-4，+)上是增函数上是增函数列表作图以列表
6、作图以 x=-4为中间值，取为中间值，取 x 的一些值，列出这的一些值，列出这个函数的对应值表个函数的对应值表抛抛 物物 线线 开开 口口 方方 向向对对 称称 轴轴 顶顶 点点 坐坐 标标最最 值值单单 调调 性性直直 线线 x=-向向 上上当当x=-时时,最小值为最小值为-2 在在（-，-4 上是减函数，上是减函数，在在-4 4，+）上是增函数上是增函数yx2)4(212xy(-4，-2)o 用配方法求函数用配方法求函数 f(x)=3 x22 x1的最小值和图象的最小值和图象的的对称轴对称轴，并说出它在哪个区间上是，并说出它在哪个区间上是增函数，在哪个区增函数，在哪个区间上间上是减函数是减
7、函数解：解：1323123)(22xxxxxf191913232xx32)31(32x,函数图象的对称轴是直线函数图象的对称轴是直线 ，31x所以所以3231min fy31,它在区间它在区间 上上是减函数是减函数，,31在区间在区间 上是增函数上是增函数.例例2 研讨二次函数研讨二次函数 的图象与性质的图象与性质34)(2xxxf附注 例2函数图象演示过程可在主界面单击“二次数.gsp”文件观看.建建立立坐坐标标系系画画图图象象清清除除图图象象000a=b=c=y=ax2+bx+c的图象的图象+1-1+1-1+1-1抛抛 物物 线线开开 口口 方方 向向对对 称称 轴轴顶顶 点点 坐坐 标标
8、最最 值值单单 调调 性性向向 上上向向 下下yxyx0a0aabacabxay44222直直 线线abx2直直 线线abx2)44,2(2abacab)44,2(2abacab当当 时，最小值为时，最小值为 abx2abac442当当 时，最大值为时，最大值为abx2abac442在（在（-，上是减函数，上是减函数，ab2在在 ,+,+）上是增函数）上是增函数ab2在（在（-，上是增函数，上是增函数，ab2在在 ，+）上是减函数）上是减函数ab2OO抛物线性质抛物线性质3-2 Oxy-6(1)x 取哪些值时取哪些值时，y0；例例3 3已知二次函数已知二次函数 y=x2x6，说出：说出：解：解
9、：(1)求使求使 y=0的的 x 的值，即求二次方程的值，即求二次方程 x2x6=0的所有根的所有根解得解得 x1=-2，x2=3方程的判别式方程的判别式 =(-1)2-41(-6)=250，(2)x 取哪些值时，取哪些值时，y0；x 取哪些值时，取哪些值时，y0例例4 4已知二次函数已知二次函数 y=x2x6，说出：说出：解：解：(2)画出函数简图，图象的开口向上画出函数简图，图象的开口向上从图象上可以看出，它与从图象上可以看出，它与 x 轴相交于两点轴相交于两点(-2，0)，(3，0)，这两点把，这两点把 x 轴分成三段轴分成三段所以所以当当 x(-2，3)时，时，y0；当当 x(-，-2
10、)(3，+)时，时，y0.3-2 Oxy-6下列函数的自变量在什么范围内取值时，函数下列函数的自变量在什么范围内取值时，函数值值大于大于0、小于、小于0或等于或等于0；87)1(2xxy.82)2(2xxy 0 0 0抛抛 物物 线线方程方程 的解集的解集 的解集的解集 cbxax2y02cbxax02cbxax02cbxaxyxo)(21xx，1xxRxR)1x，），2(xyx1x2xoyx1(x2)xo）（0a一元二次方程，二次不等式与二次函数的关系一元二次方程，二次不等式与二次函数的关系有两个不等实根有两个不等实根 x1,x2有两个相等实根有两个相等实根 x1 x2没有实数根没有实数根 1.抛物线性质（表格）抛物线性质（表格）.2.一元二次方程，一元二次不等式一元二次方程，一元二次不等式与二次函数的关系（表格）与二次函数的关系（表格）.教材教材P84，练习，练习 A 组第组第 1、2 题；题；练习练习 B 组第组第 3 题题
