1、数学语言描述:一一、数列极限的定义、数列极限的定义,)1(,43,34,21,21nnn引例引例.当 n 无限增大时,刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 1(1)nnn 越来越接近于1,2,8,4,2n,)1(,1,1,11n定义定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作)(nfxn或.nxnx称为通项(一般项).若数列nx及常数 a 有下列关系:,0,N正数当 n N 时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:aaa)(axan)(Nn 即),(axn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nxaxn则称该数列nx的极限为 a,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.已
2、知,)1(nnxnn证明数列nx的极限为1.证证:1nx1)1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此,取,1N则当Nn 时,就有1)1(nnn故1)1(limlimnnxnnnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.已知,)1()1(2nxnn证明.0limnnx例例3.证明2221lim.3243nnnnn此二例板书说明此页不显示例例2证证:0nx0)1()1(2nn2)1(1n11n,)1,0(欲使,0nx只要,11n即n取,11N则当Nn 时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2)1(10nnx.11N 与 有关,但
3、不唯一.不一定取最小的 N.说明说明:取11N例例4.设,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq,)1,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln)1(qn亦即因此,取qNlnln1,则当 n N 时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为 0.1nq机动 目录 上页 下页 返回 结束 ab二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质,2ab1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.2ba2ab2ab证证(略略):用反证法.axnnlim及,limbxnn且.ba 假设得出矛盾.机动 目录 上页 下页 返回 结束 几何描述：2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证略证略说明
4、说明:此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.数列机动 目录 上页 下页 返回 结束 几何描述：3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若,limaxnn且0a,NN则Nn 当时,有0nx,)0(.)0(证略证略N,NNn 当推论推论2若0nx，有,limaxnn且0a则(用反证法证明)推论推论1若,limaxnn且,ab,NN则Nn 当时,有nxb.注：注：nxb若换成ab则 结论为*,axkn4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证证:设数列knx是数列nx的任一子数列.若,limaxnn则,0,N当 Nn 时,有axn现取正整数 K,使,
5、NnK于是当Kk 时,有knKnN从而有由此证明.limaxknk*NKnNxKnx机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、极限存在准则三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，),2,1()1(1nxnn发散!夹逼准则;单调有界准则;柯西审敛准则.则原数列一定发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:归结原则归结原则:若数列的任一子列都收敛于相同的数若数列的任一子列都收敛于相同的数A,则原数列收也收敛于则原数列收也收敛于A.azynnnnlimlim)2(1.夹逼准则夹逼准则(准则1),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证证:由条件(2),0,
6、1N当1Nn 时,ayn当2Nn 时,azn令,max21NNN 则当Nn 时,有,ayan,azan由条件(1)nnnzxya a即,axn故.limaxnn,2N机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.证明11211lim222nnnnnn证证:利用夹逼准则.nnnnn2221211nnn2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限(准则2)Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1
7、x2xxmnx1nx1x2xx(证明略)ab机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.设,),2,1()1(1nxnnn证明数列nx极限存在.证证:利用二项式公式,有nnnx)1(11nn 1!121!2)1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!)1()1(11)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n机动 目录 上页 下页 返回 结束 11nx)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211!)1(1nnnnn大大 大大
8、 正正),2,1(1nxxnn11)1(1nnnx!21!31!1n又比较可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据准则 2 可知数列nx记此极限为 e,ennn)1(lim1 e 为无理数,其值为590457182818284.2e即有极限.原题 目录 上页 下页 返回 结束 11)1(1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n四、数列极限的四则运算法则四、数列极限的四则运算法则四则运算：加减乘除机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题：1.若两数列极限不存在，是否和的极限或积的极限不存在？反之呢？2.若两数列极限一个存在一个不存在，和的极限或积的极限
9、存在不存在？3.数列和它的绝对值数列构成的敛散性有什么关系？例试求极限2221lim.3243nnnnn内容小结内容小结1.数列极限的“N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;柯西准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.四则运算法则故极限存在，备用题备用题 1.1.设)(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x,且求.limnnx解：解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx机动 目录 上页 下页 返回 结束
