1、导数的运算法则导数的运算法则一、背景知识与引入方法一、背景知识与引入方法 而对比较复杂的函数的求导应借助于微分法则而对比较复杂的函数的求导应借助于微分法则.这些法则的建立是以极限理论和导数定义作为这些法则的建立是以极限理论和导数定义作为 例如，商的求导法则就有繁简不同的表述例如，商的求导法则就有繁简不同的表述方法一：方法一：xxvxuxxvxxuxvxux )()()()(lim)()(0根据导数定义可以求一些简单函数的导数根据导数定义可以求一些简单函数的导数.基础，基础，法则的推导应力求简短法则的推导应力求简短.方法方法.xxvxxvxxvxuxvxxux )()()()()()(lim0
2、xxvxxvxvxxvxuxvxuxxux )()()()()()()()(lim0)()()()()()()()(lim0 xvxxvxxvxxvxuxvxxuxxux )()()()()(2xvxvxuxvxu ，)()()(xvxuxy 以上表述可简化为：令以上表述可简化为：令 ，0)(xv对于可导函数对于可导函数 ，v当当 时，时，0 x0 v，vvvvuuvvuvvuuy)(从而有从而有 )(vvvxvuxuvxy 2vvuvu.)(1)()(1)()()(xvxuxvxuxvxu 详细内容见该知识点讲解方法（参考居余马、详细内容见该知识点讲解方法（参考居余马、葛严麟主编葛严麟主编高
3、等数学高等数学第第卷卷.）先解决先解决 的导数，然后按乘积求导法则的导数，然后按乘积求导法则 )(1xv方法二：方法二：二、该知识点的讲解方法二、该知识点的讲解方法（1 1）依据导数定义和重要极限先解决基本）依据导数定义和重要极限先解决基本nxc初等函数中常值函数初等函数中常值函数 ，正整次幂函数，正整次幂函数 、指、指xaxln数函数数函数 、自然对数函数、自然对数函数 、正余弦函数、正余弦函数、xsinxcos的求导公式的求导公式.（2 2）依据极限理论，推导出和、差、积、）依据极限理论，推导出和、差、积、商的求导法则，再以这些法则是和已有的导数商的求导法则，再以这些法则是和已有的导数xt
4、anxalog结果，给出对数函数结果，给出对数函数 、正余切函数、正余切函数 、xcotxsecxcsc和正余割函数和正余割函数 、的求导公式的求导公式.（3 3）建立反函数的求导法则，并由此给出）建立反函数的求导法则，并由此给出 （4 4）由导数定义及极限理论推导复合函数）由导数定义及极限理论推导复合函数 反正弦、反余弦、反正切、反余切函数的求导反正弦、反余弦、反正切、反余切函数的求导公式公式.的求导法则，并借此给出基本初等函数中幂函数的求导法则，并借此给出基本初等函数中幂函数 x （为任意实数）的求导公式为任意实数）的求导公式.微分法则表明，初等函数的导数的具体计算微分法则表明，初等函数的
5、导数的具体计算都切实可行，特别是复合函数的求导法则，使复都切实可行，特别是复合函数的求导法则，使复杂函数的求导计算系统化，简单化杂函数的求导计算系统化，简单化.三、基本初等函数的求导公式三、基本初等函数的求导公式1 1 （c 为常数）为常数）0)(c2.2.1)(xx3.3.aaaxxln)(4.4.xxe)e(5.5.axxaln1)(log 6.6.xx1)(ln 7.7.xxcos)(sin 8.8.xxsin)(cos xx2sec)(tan 9.9.xx2csc)(cot 10.10.xxxtansec)(sec 11.11.211)arcsin(xx 13.13.211)arcco
6、s(xx 14.14.211)arctan(xx 15.15.211)arccot(xx 16.16.xxxcotcsc)(csc 12.12.证明：证明：xxfxxfcx )()(lim)(01.1.)(1lim)(0nnxnxxxxx 2.2.)()(!2)1(1lim2210nnnxxxxnnxnxx .1 nnxxccx 0lim.0 （为自然数）为自然数）nxaaaxxxxx 0lim)(3.3.特别特别 时，时，e a.e)e(xx xxxxxx ln)ln(lim)(ln06.6.)1ln(1lim0 xxxx xxxxxx10)1ln(lim xxxxxx )1ln(lim10
7、 xaaxxx 1lim0,lnaax.1eln1xx hxfhxfxh)()(lim)(sin0 7.7.hxhxhsin)sin(lim0 22sin)2cos(lim0hhhxh 类似地可以证明类似地可以证明.sin)(cosxx .cosx 四、四、导数的四则运算法则导数的四则运算法则 定理定理1 1 设函数设函数 和和 都在点都在点 处可导，处可导，)(xu)(xvx)()()()(xvxuxvxu （1 1）)()()()()()(xvxuxvxuxvxu （2 2）特别地特别地 （为常值）为常值）)()(xucxcu c则它们的和、差、积、商（分母为零的点除外）则它们的和、差、积
8、、商（分母为零的点除外）x在在 点处可导，且有：点处可导，且有：都都（3 3）)0)()()()()()(2 xvxvxvxuxvxu)()(uvxu特别地特别地 )()()(12xvxvxv证明：证明：xyxvxuyx 0lim)()(xxvxuxxvxxux )()()()(lim0)()(xvxuy （1 1）设）设)()()()(lim0 xxvxxvxxuxxux ).()(xvxu （2 2）设）设 )()(xvxuy xyxvxuyx 0lim)()(xxvxuxxvxxux )()()()(lim0)()()()()()(lim0 xxvxxvxuxxvxxuxxux ).()
9、()()(xvxuxvxu 由于由于 在在 点处可导，故点处可导，故 在点处连在点处连 )(xvx)(xv续，续，)()(lim0 xvxxvx 所以有所以有 .cxv)(特别当特别当 （常数）时，由上式立刻有（常数）时，由上式立刻有 )()()()()(1)(1xxvxvxvxxvxvxxvy （3 3）设）设 ，)(1xvy 则则)()(xucxcu 成立成立.再由再由 在在 点处可导（必连续）且点处可导（必连续）且 ,)(xvx0)(xv即得：即得：)()(lim)(1(20 xvxvxyxvyx再由（再由（2 2），），)(1)()(1)()()(xvxuxvxuxvxu)()()()
10、()(2xvxvxuxvxu 成立成立.注：注：定理定理1 1中法则（中法则（1 1）（）（2 2）可推广到有限）可推广到有限uvw个可导函数情形，例如，设个可导函数情形，例如，设 ，均可导均可导.则有则有 ，wvuwvu )(.)(wuvwvuvwuwvu 五、证明基本初等函数的部分求导公式五、证明基本初等函数的部分求导公式)lnln()(log axxa5.5.)cossin()(tan xxx9.9.xxx222cossincos 类似地可证类似地可证.csc)(cot2xx .ln1ax)(lnln1 xaxxxxx2cos)(cossincos)(sin .sec2x 11.11.)
11、cos1()(sec xxxx2cos)(cos xx2cossin,tansecxx 类似地可证类似地可证 .cotcsc)(cscxxx 六、例题六、例题2sincos4)(3 xxxf例例1 1 设设 ，求，求 .)2(f 解：解：)2(sin)(cos4)()(3 xxxf0sin432 xx故故 .443)2(2 f例例2 2 设设 ，求，求 .)ln(tanexxyx y 解：解：)ln(tane)ln(tan)e(xxxxyxx)1(sece)ln(tane2xxxxxx ).1lnsec(tane2xxxxx 七、反函数的求导法则七、反函数的求导法则 ，0)(xf定理定理2 2
12、 设设 在区间在区间 内单调、可导且内单调、可导且xI)(xfy 则它的反函数则它的反函数 在区间在区间 )(yx ),(|xyIxxfyyI 内也可导，内也可导，)(1)(xfy ，即，即 .xyyx 1且有且有 由于由于 在在 内单调、可导（必内单调、可导（必)(xfy xI所以，反函数所以，反函数 在相应的区间在相应的区间 )(yx 于是，反函数于是，反函数)(yx yxxyy 0lim证明：证明：yI内也单调连续，因此当内也单调连续，因此当 时，时，0 y0 x0 y0 x并并有有 时时 ，y对对 的导数为的导数为 xxyxy11lim0连续），连续），利用此定理证明如下公式：利用此定
13、理证明如下公式：211)(arcsinxx 13.13.设设 ，是，是 的反函数的反函数.xyarcsin yxsin 并且并且 ，在，在 内单调增加可导，内单调增加可导，yxsin)2,2(所以所以 )(arcsin xyyx 1ycos1 证明：证明：0cos yxy且且 ，).1,1(x211x y2sin11 类似地可证类似地可证 .11)(arccos2xx 211)(arctanxx 15.15.设设 ，其反函数，其反函数 在在 xyarctan yxtan)2,2(内单调、可导，且内单调、可导，且 ，0sec2 yxy所以在相应区间所以在相应区间 内，内，),(xI)(arcta
14、n xyxyx 1y2sec1 y2tan11 .112x 证明：证明：类似地可证类似地可证 .11)arccot(2xx 八、复合函数的求导法则八、复合函数的求导法则 若函数若函数 是由是由 )(xgfy )(),(xguufy 复合而成，且满足复合而成，且满足 I I：在点在点 可导；可导；)(xgu x 在在 点可导，其导数为点可导，其导数为 )(xgfy x定理定理3 3IIII：在在 可导，可导，)(ufy )(xgu 则复合函数则复合函数，)()(xgufuyyxux 或或 .ddddddxuuyxy )()(uufuy 即即 ，uuuufy )()(此时此时 ，)()(ufuuf
15、y 且有当且有当 时，时，,从而推知从而推知 ，0 x0 u0)(u 其中其中 （当（当 时），时），0)(u 0 u 时规定时规定 0 0 u证明：证明：由由IIII有有 ，uyufu 0lim)(进而有进而有，xuuxx 0lim再由再由I I有有于是于是 xyxy ddxyx 0lim)()(lim0 xuuxuufx )()(xguf .ddddxuuy （其中（其中 为任意实数），为任意实数），1)(xx 设设 xy xlne 是由是由 复合而成，复合而成，xuyuln,e 于是于是xuuxy)ln()e(xu e，1 xxx且容易算出：且容易算出：,1)(x，211)()1(xxx
16、 证明：证明：，xxx21)()(21 .21)()1(21xxxx 由于由于 )(23 xy2123x，x23 例例3 3 曲线曲线 上哪点的切线与直线上哪点的切线与直线 23xy 平行？平行？13 xy直线直线 的斜率的斜率 .13 xy3 K令令 ，3230 x解：解：40 x则则 ，80 y此时此时 ,故所求点为故所求点为 .)8,4(例例4 4 ，求，求 .3exy xydd 视为视为 复合而成，复合而成，3exy 3,exuyu 因此因此 xuuyxydddddd 23exu .e332xx 解：解：例例5 5 ，求，求 .212sinxxy xydd解：解：视为视为 复合而成，复
17、合而成，212sinxxy 212,sinxxuuy 又因又因 ，uuycosdd 222)1(22)1(2ddxxxxxu ，222)1()1(2xx 所以所以 222)1()1(2cosddxxuxy .12cos)1()1(22222xxxx 例例6 6 ，求，求 .xysinln xydd不必写出中间变量，然后逐层求导不必写出中间变量，然后逐层求导.xydd)sin(ln x)(sinsin1 xx.cotsincosxxx 解：解：例例7 7 ，求，求 .3221xy y 解：解：)21(312 xy)21()21(312322 xx.)21(34322xx 注：注：复合函数的求导法
18、则可推广到多个中间变复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形量的情形.如：设如：设 ，)(,)(,)(xvvuufy 则复合函数则复合函数)(xfy 的导数为的导数为 .ddddddddxvvuuyxy 例例8 8 ，求，求 .)ecos(lnxy xydd 分解为分解为 ，)ecos(lnxy xvvuuye,cos,ln 又因又因，uuy1dd 解：解：，vvusindd ，xxvedd 所以所以xyddxvue)sin(1 xxxeecosesin .etanexx 例例9 9 ，求，求 .xy1sine y 解：解：)e(1sin xy)1(sine1sin xx.1cose11sin2xxx )1(1cose1sin xxx
