1、第五节 函数作图 一、曲线的水平渐近线和铅直渐近线 二、函数图形的描绘 三、作图举例 四、小结一条的就称为曲线那么直线趋向于零的距离到某定直线如果点移向无穷点时沿着曲线上的一动点当曲线)(,)(xfyLLPPxfy 一、曲线的水平渐近线和铅直渐近线定义定义:渐近线渐近线1.1.水平渐近线水平渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线平行于平行于 x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如arctan,yx 有水平渐近线两条有水平渐近线两条:,.22yy 2.2.铅直渐近线铅直渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线垂
2、直于垂直于 x.)()(lim)(lim000的一条铅直渐近线的一条铅直渐近线就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 例如例如1,(2)(3)yxx 有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条:2,3.xx 由由matlabmatlab演示图形演示图形可以看出可以看出3 3、曲线的水平渐近线和铅直渐近线的判定、曲线的水平渐近线和铅直渐近线的判定若若 ，则直线，则直线 是曲线是曲线 的水平渐近线。若的水平渐近线。若 ，则直线，则直线 是曲线是曲线 的铅直渐近线的铅直渐近线Axfx)(limAy)(xfy)(lim0 xfxx0 xx)(xfy 例例1 1 求曲线求曲线 的渐近线的渐近线11
3、yx 1lim0,1xx 解：11lim,1xx 所以所以 为曲线为曲线 的水平渐近线，的水平渐近线，为铅直渐近线。为铅直渐近线。0y 11yx 1x 二、利用函数特性描绘函数图形二、利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步 求出曲线的水平渐近线、铅直渐近线求出曲线的水平渐近线、铅直渐近线;第五步第五步第六步第六步三、作图举例例例2 2.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解,0:xD非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.34(2)(),xfxx 48(3)().xfxx ()0,fx 令令,2 x得驻点得驻点()0,fx 令令.3
4、x得得特特殊殊点点24(1)lim()lim2xxxf xx 2,;2 y得水平渐近线得水平渐近线2004(1)lim()lim2xxxf xx,.0 x得得铅铅直直渐渐近近线线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:x)3,(),0()2,3(3)0,2()(xf)(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点3)926,3(:补补充充点点);0,31(),0,31(),2,1(A),6,1(B).1,2(C作图作图xyo2 3 2111 2 3 6ABC24(1)()2xf xx 例例3 3.21)(22的图形的图
5、形作函数作函数xex 解解:(,),D 偶函数偶函数,图形关于图形关于y y轴对称轴对称.22(),2xxxe ()0,x 令令,0 x得驻点得驻点()0,x 令令.1,1 xx得得特特殊殊点点1:0()0.4.2Wx22(1)(1)().2xxxxe 221lim()lim2xxxxe 0,.0 y得水平渐近线得水平渐近线x)1,(),1()0,1(1)1,0()(x )(x 00)(x 01 拐点拐点极大值极大值 21)21,1(e 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:0拐点拐点)21,1(e xyo11 21例例4 4.1)(23的图形
6、的图形作函数作函数 xxxxf解解),(:D无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.()(31)(1),fxxx()2(31).fxx()0,fx 令令.1,31 xx得驻点得驻点()0,fx 令令.31 x得特殊点得特殊点:补补充充点点(1,0),A (0,1),B3 5(,).2 8C列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:x)31,(),1()31,31(31)1,31(0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf)(xf)(xf 极小值极小值0 xyo)0,1(A)1,0(B)85,23(C11 3131 四、小结函数图形
7、的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是是导数应用的综合考察导数应用的综合考察.xyoab最大值最大值最小值最小值极大值极大值极小值极小值拐点拐点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减)(xfy sinlim0 xxx 0 x不不是是其其图图象象的的渐渐近近线线.0sinlim1xxx xxysin 观察matlab演示图形 习习 题题3-53-5习题习题3-53-5答案答案3 3、(1 1)在在)1,(,),3(内内单单调调增增加加，在在)3,1(内内单单调调减减少少；)2,(为为凸凸区区间间，),2(为为凹凹区区间间；极极大大值值1)1(y，极极小小值值5)3(y；拐
8、拐点点)3,2(；(2 2)在在)1,(,),1(内内单单调调减减少少，在在)1,1(内内单单调调增增加加；)3,(，)3,0(为为凸凸区区间间，)0,3(，),3(为为凹凹区区间间；极极小小值值21)1(y，极极大大值值21)1(y；拐拐点点)43,3(，)0,0()43,3(；水水平平渐渐近近线线0y (5 5)在在)0,(内内单单调调减减少少，在在),0(内内单单调调增增加加；)1,(，),1(为为凸凸区区间间，)1,1(为为凹凹区区间间；极极小小值值0)0(y；拐拐点点)2ln,1(，)2ln,1(；(6 6)在在),0(e内内单单调调增增加加，在在),(e内内单单调调减减少少；),0(23e为为凸凸区区间间，),(23e为为凹凹区区间间；极极大大值值eef1)(；拐拐点点)23,(2323ee；渐渐近近线线0 x与与0y.
