1、第八章第八章 多元函数微积分学多元函数微积分学8.1 8.1 预备知识预备知识8.28.2 多元函数的概念多元函数的概念8.3 8.3 偏导数与全微分偏导数与全微分8.5 8.5 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值8.6 8.6 二重积分二重积分8.4 8.4 复合函数与隐函数微分法复合函数与隐函数微分法 区域区域（1）邻域）邻域),(0 PU|0PPP .)()(|),(2020 yyxxyx 0P 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域（2 2）区域）区域8.1 8.1 预备知识预备知识平面方程平面方程AxByCzD0一般式：截距式：xyz1abc球面方程球面方程标准式
2、：一般式：2222000(xx)(yy)(zz)R222xyzAxByCzD0练练 习习 一一例例1 1：已知平面与已知平面与 轴、轴、轴、轴、轴的截距依次轴的截距依次为为3，4，5，则平面方程为，则平面方程为。xyz例例2:2:球心为（球心为（3 3，4 4，5 5）半径为）半径为6 6的球面方的球面方程为程为。8.2 多元函数的概念一、多元函数的定义二、二元函数的极限 三、二元函数的连续性一、多元函数的定义一、多元函数的定义定义定义当当2 n时，时，n元函数统称为多元函数元函数统称为多元函数.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数1.求下列函数的定义域练练 习习 二二
3、xyyxyxf2),(22 )3,2(f,则则2.设设_.二、二元函数的极限说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似定义定义.设二元函数设二元函数()f P定义在定义在 D 上上,00lim()()PPf Pf P 0()f PP在在点点如果函数在如果函数在 D 上上各点处各点处都连续都连续,则称此函数则称此函数在在 D 上上000(,),P xyD 如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连
4、续,0P此时此时称为称为间断点间断点.则称则称 二元函数二元函数连续连续.连续连续,三、二元函数的连续性 8.3 偏导数与全微分一、偏导数二、全微分一、偏导数一、偏导数（重点）（重点）1、00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 223zxxyy(1,2)例例1 求求 在点在点处的偏导数处的偏导数.yzx)1,0(xx例例2 2 求函数求函数的偏导数的偏导数.解解 xz,1 yyx yzln.yxx2 2、高阶偏导数、高阶偏导数),(22yxfxzxzxxx ),(
5、22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx xyz 2.19622 yyxyxz 2,19622 yyx13323 xyxyyxz22,zx 2,zy x 2,zx y 22yz 例例3 3设设求求例4.求函数2xyze 解解:zx 22zx zy 2 zx y 2xye
6、22xye 2xye 22xye 的二阶偏导数的二阶偏导数.2 zy x 22xye 22zy 24xye 二、全微分概念二、全微分概念例5.计算函数在点在点(2,1)处的全微分处的全微分.x yze 解解:zx 22,2(2,1)(2,1)zzeexy22(2,1)2dze d xe d y例例6.计算函数计算函数的全微分的全微分.sin2yzyuxezy ,x yyex yxe2(2)ed xd y解解:du 1(cos)d22yzyzey 1 dx dyzyez 练练 习习 三三,xyze,zy ,zx xyz 222,zx 求求1 1、设、设3ln()zxy 11(,).dz2 2、已
7、知、已知,zy ,zx 求求arctan,yzx 2,.zzxx y 3 3、求求设设22,zy 思考：多元函数连续、可导、可思考：多元函数连续、可导、可 微三者之间的关系？微三者之间的关系？多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导 8.4 复合函数与隐函数微分法一、链锁法则 二、隐函数求导法则一、复合函数求导法则（链式法则）（一、复合函数求导法则（链式法则）（重点重点）以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdzzvutt解解dzz duz dvdtu dtv dtsintveutcossintte
8、tet(cossin).tettzvuttzuvyxyx解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例9.设 sin,zuvt.dzdtztvuttdzdttv e(cossin)costetttz duu dt z dvvdt zt 求全导数求全导数,tue cos,vt 解解:sinut cost 练练 习习 四四练习四答案练习四答案0),()1(yxF隐函数的求导公式隐函数的求导公式二、隐函数的求导法则二、隐函数的求导法则（重点）（重点）解解令令则则,ar
9、ctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 0),()2(zyxF解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx,42 zFz,2zxFFxzzx .2yzFzyyFz 22arctanyxyx dydx1、设、设,求求练练 习习 四四,.zzxy 2、求由方程、求由方程 0zexyz确定的隐函数确定的隐函数的偏导数的偏导数 8.5 多元函数的极值与最值 一、多元函数的极值与最值 二、无条件极值（重点）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内的某邻域内有定义，对于该邻域内异于有定义
10、，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数，则称函数在在),(00yx有 极 大 值；若 满 足 不 等 式有 极 大 值；若 满 足 不 等 式),(),(00yxfyxf，则称函数在，则称函数在),(00yx有极有极小值；小值；1、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.一、多元函数的极值与最值一、多元函数的极值与最值(1)(2)(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0,0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数
11、函数)0,0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0,0(xyz 2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件例如例如,点点)0,0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：又又 0),(00 yxfx,0),(00 yxfy，令令 Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，练 习 五1、33(,)3
12、f x yxyxy求求的的极极值值。3、最值应用问题函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在,且只有一个只有一个极值点P 时,)(Pf为极小 值)(Pf为最小 值(大大)(大大)依据依据 二、条件极值极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值:对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制练 习 六例1、设某厂生产两产品，产量为 总利润为已知这两种产品每千件均消耗原料2000公斤，现有原料12000公斤，问两种产品各生产多少时，总利润达最大？（3.8，2.2）()xy和和千千件件 时时22(,)61642()L x yxxyy万万元元例2、设企业在雇用 名技术人员、名非技术人员时，产品的产量若企业只能雇佣230人，那么该雇佣多少技术人员、多少非技术人员才能使产量最大？（90，140）xy228123.Qxxyy
