1、2020 年高考第一次模拟测试试卷年高考第一次模拟测试试卷 数学数学（理科）（理科） 一、选择题一、选择题 1已知复数已知复数 z 满足（满足（1+i）z2i，则，则|z|（ ） A B1 C D 2已知集合已知集合 A0，1，2，3，Bx|xn21，nA，PAB，则，则 P 的子集共有（的子集共有（ ） ） A2 个个 B4 个个 C6 个个 D8 个个 3sin80cos50+cos140sin10（ ） A B C D 4已知命题已知命题 p：xR，x2x+10；命题；命题 q：xR，x2x3，则下列命题中为真命题的是，则下列命题中为真命题的是 （ ） Apq Bpq Cpq Dpq 5
2、已知函数已知函数 f（x）满足）满足 f（1x）f（1+x），当），当 x1 时，时，f（x）x，则，则x|f（x+2） 1（ ） Ax|x3 或或 x0 Bx|x0 或或 x2 Cx|x2 或或 x0 Dx|x2 或或 x4 6如图，圆如图，圆 O 的半径为的半径为 1，A，B 是圆上的定点，是圆上的定点，OBOA，P 是圆上的动点，点是圆上的动点，点 P 关于直关于直 线线 OB 的对称点为的对称点为 P，角，角 x 的始边为射线的始边为射线 OA，终边为射线，终边为射线 OP，将，将|表示为表示为 x 的函数的函数 f（x），则），则 yf（x）在）在0，上的图象大致为上的图象大致为（
3、） A B C D 7陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗如图，网格纸上小正方形的边长为陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗，粗 线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ） A（7+2） B（10+2） C（10+4） D（11+4） 8某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为 e，设地球，设地球 半径为半径为 R，该卫星近地点离地面的距离为，该卫星近地点离地面的距离为 r，则该卫星远地点离地面的距离为（
4、，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） Ar+R Br+R Cr+R Dr+R 9羽毛球混合羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成某班级从双打比赛每队由一男一女两名运动员组成某班级从 3 名男生名男生 A1，A2，A3 和和 3 名女生名女生 B1，B2，B3中各随机选出两名，把选出的中各随机选出两名，把选出的 4 人随机分成两队进行羽毛球混合人随机分成两队进行羽毛球混合 双打比赛，则双打比赛，则 A1和和 B1两人组成一队参加比赛的概率为（两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A B C D 10已知已知 F1，F2是双曲线是双曲线 C：y21（a0）的两个焦点，过点）的两个焦点，过点
5、F1且垂直于且垂直于 x 轴的直轴的直 线与线与 C 相交于相交于 A，B 两点，若两点，若|AB|，则，则ABF2的内切圆的半径为（的内切圆的半径为（ ） A B C D 11已知函数已知函数 f（x）的导函数为）的导函数为 f（x），记），记 f1（x）f（x），f2（x）f1（x），）， fn+1（x）fn（x）（）（nN*）若）若 f（x）xsinx，则，则 f2019（x）+f2021（x）（）（ ） A2cosx B2sinx C2cosx D2sinx 12已知正方体已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为 2，E，F，G 分别是棱分别是棱 AD，CC1，C1D1的中
6、点，的中点， 给出下列四个命题：给出下列四个命题： EFB1C； 直线直线 FG 与直线与直线 A1D 所成角为所成角为 60； 过过 E，F，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；三点的平面截该正方体所得的截面为六边形； 三棱锥三棱锥 BEFG 的体积为的体积为 其中，正确命题的个数为（其中，正确命题的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题二、填空题 13设向量设向量 （m，1），）， （2，1），且），且 （ 2+2），则 ），则 m 14某种产品的质量指标值某种产品的质量指标值 Z 服从正态分布服从正态分布 N（，2），且），且 P（3Z+3） 0.9974某用户购买了某
7、用户购买了 10000 件这种产品，则这件这种产品，则这 10000 件产品中质量指标值位于区间（件产品中质量指标值位于区间（ 3，+3）之外的产品件数为）之外的产品件数为 15（3x22x1）5的展开式中，的展开式中，x2的系数是的系数是 （用数字填写答案）（用数字填写答案） 16已知已知ABC 的三个内角为的三个内角为 A，B，C，且，且 sinA，sinB，sinC 成等差数列，则成等差数列，则 sin2B+2cosB 的最小值为的最小值为 ，最大值为，最大值为 三、解答题三、解答题 17记记 Sn为数列为数列an的前的前 n 项和，项和，2Snan（nN*） （1）求）求 an+an+
8、1； （2）令）令 bnan+2an，证明数列，证明数列bn是等比数列，并求其前是等比数列，并求其前 n 项和项和 Tn 18如图，三棱锥如图，三棱锥 PABC 中，中，PAPC，ABBC，APC120，ABC90，AC PB （1）求证：）求证：ACPB； （2）求直线）求直线 AC 与平面与平面 PAB 所成角的正弦值所成角的正弦值 19某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了情况，从生产线上随机抽取了 80 个零个零 件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如图的频率
9、分布直方图：），得到如图的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求这）根据频率分布直方图，求这 80 个零件尺寸的中位数（结果精确到个零件尺寸的中位数（结果精确到 0.01）；）； （2）若从这）若从这 80 个零件中尺寸位于个零件中尺寸位于62.5，64.5）之外的零件中随机抽取）之外的零件中随机抽取 4 个，设个，设 X 表示表示 尺寸在尺寸在64.5，65上的零件个数，求上的零件个数，求 X 的分布列及数学期望的分布列及数学期望 EX； （3）已知尺寸在）已知尺寸在63.0，64.5）上的零件为一等品，否则为二等品，将这）上的零件为一等品，否则为二等品，将这 80 个零件尺寸个零件
10、尺寸 的样本频率视为概率现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱的样本频率视为概率现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱 100 个企个企业业 在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为 99 元若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家元若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家 手中，企业要向买家对每个二等品支付手中，企业要向买家对每个二等品支付 500 元的赔偿费用现对一箱零件随机抽检了元的赔偿费用现对一箱零件随机
11、抽检了 11 个，结果有个，结果有 1 个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企 业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由 20已知函数已知函数 f（x）alnx，曲线，曲线 yf（x）在点（）在点（1，f（1）处的切线方程为）处的切线方程为 2x y2e0 （1）求）求 a，b 的值；的值； （2）证明函数）证明函数 f（x）存在唯一的极大值点）存在唯一的极大值点 x0，且，且 f（x0）2ln22 21已知点已知点 P 是抛物线是抛物线 C：y3 的顶
12、点，的顶点，A，B 是是 C 上的两个动点，且上的两个动点，且 4 （1）判断点）判断点 D（0，1）是否在直线）是否在直线 AB 上？说明理由；上？说明理由； （2）设点）设点 M 是是PAB 的外接圆的圆心，点的外接圆的圆心，点 M 到到 x 轴的距离为轴的距离为 d，点，点 N（1，0），求），求|MN| d 的最大值的最大值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22已知曲线已知曲线 C1的参数
13、方程为的参数方程为（t 为参数），曲线为参数），曲线 C2的参数方程为的参数方程为 （ 为参数）为参数） （1）求）求 C1与与 C2的普通方程；的普通方程； （2）若）若 C1与与 C2相交于相交于 A，B 两点，且两点，且|AB|，求，求 sin 的值的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知已知 a0，b0，且，且 a+b1 （1）求）求+的最小值；的最小值； （2）证明：）证明： 参考答案参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要
14、求的一项是符合题目要求的 1已知复数已知复数 z 满足（满足（1+i）z2i，则，则|z|（ ） A B1 C D 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的计算公式 得答得答案案 解：（解：（1+i）z2i， ， 故选：故选：A 2已知集合已知集合 A0，1，2，3，Bx|xn21，nA，PAB，则，则 P 的子集共有（的子集共有（ ） ） A2 个个 B4 个个 C6 个个 D8 个个 【分析】求出集合【分析】求出集合 A，B，从而求出，从而求出 PAB，由此能求出，由此能求出 P 的子集
15、的个数的子集的个数 解：集合解：集合 A0，1，2，3，Bx|xn21，nA1，0，3，8， PAB0，3， P 的子集共有的子集共有 224 个个 故选：故选：B 3sin80cos50+cos140sin10（ ） A B C D 【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用求出结果【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用求出结果 解：解：sin80cos50+cos140sin10cos10cos50sin50sin10cos（50 +10）cos60 故选：故选：D 4已知命题已知命题 p：xR，x2x+10；命题；命题 q：xR，x2x3，则下列命题中为真命题的是，则下列命题中为真命
16、题的是 （ ） Apq Bpq Cpq Dpq 【分析】根据条件判断命题【分析】根据条件判断命题 p，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可 解：解：x2x+1（x）2+0 恒成立，故命题恒成立，故命题 p：xR，x2x+10 为假命题，为假命题， 当当 x1 时，时，x2x3，成立，即命题，成立，即命题 q：xR，x2x3，为真命题，为真命题， 则则pq 为真，其余为假命题，为真，其余为假命题， 故选：故选：B 5已知函数已知函数 f（x）满足）满足 f（1x）f（1+x），当），当 x1 时，时，f（x）x，则，则x|f（x+2） 1（ ） A
17、x|x3 或或 x0 Bx|x0 或或 x2 Cx|x2 或或 x 0 Dx|x2 或或 x4 【分析】根据条件判断函数的对称性和单调性，结合不等式先求出【分析】根据条件判断函数的对称性和单调性，结合不等式先求出 f（x）1 的解，然的解，然 后求后求出出 f（x+2）1 的解即可的解即可 解：由解：由 f（1x）f（1+x），得函数关于），得函数关于 x1 对称，对称， 当当 x1 时，时，f（x）x，则，则 f（x）为增函数，且）为增函数，且 f（2）211， 由由 f（x）1 得得 x2， 由对称性知当由对称性知当 x1 时，由时，由 f（x）1 得得 x0， 综上综上 f（x）1 得得
18、 x2 或或 x0， 由由 f（x+2）1 得得 x+22 或或 x+20，得，得 x0 或或 x2， 即不等式的解集为即不等式的解集为x|x2 或或 x0， 故选：故选：C 6如图，圆如图，圆 O 的半径为的半径为 1，A，B 是圆上的定点，是圆上的定点，OBOA，P 是圆上的动点，点是圆上的动点，点 P 关于直关于直 线线 OB 的对称点为的对称点为 P，角，角 x 的始边的始边为射线为射线 OA，终边为射线，终边为射线 OP，将，将|表示为表示为 x 的函数的函数 f（x），则），则 yf（x）在）在0，上的图象大致为（上的图象大致为（ ） A B C D 【分析】设【分析】设 PP的中
19、点为的中点为 M，则，则|，当，当 x0，时，在时，在 RtOMP 中，利用三角函数可知，中，利用三角函数可知，|PM|cosx，所以 ，所以 f（x）2cosx，从而得解，从而得解 解：设解：设 PP的中点为的中点为 M，则，则|， 当当 x0，时，在时，在 RtOMP 中，中，|OP|1，OPMPOAx，所以，所以 cosx， 所以所以|PM|cosx，|2cosx，即，即 f（x）2cosx，x0， 从四个选项可知，只有选项从四个选项可知，只有选项 A 正确，正确， 故选：故选：A 7陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗如图，网格纸上小正方形的边长为陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀
20、罗如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗，粗 线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ） A（7+2） B（10+2） C（10+4） D（11+4） 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可 解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥，解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥， 几何体的表面积为：几何体的表面积为：（10+4） 故选：故选：C 8某人造地球卫星的运某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其
21、轨道的离心率为行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为 e，设地球，设地球 半径为半径为 R，该卫星近地点离地面的距离为，该卫星近地点离地面的距离为 r，则该卫星远地点离地面的距离为（，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） Ar+R Br+R Cr+R Dr+R 【分析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴【分析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴 a， 半焦距半焦距 c，即可确定该卫星远地点离地面的距离，即可确定该卫星远地点离地面的距离 解：椭圆的离心率：解：椭圆的离心率：e（0，1），（），（c 为半焦距；为半焦距；a 为
22、长半轴）为长半轴） 只要求出椭圆的只要求出椭圆的 c 和和 a，设卫星近地点，远地点离地面距离分别为，设卫星近地点，远地点离地面距离分别为 m，n， 由题意，结合图形可知，由题意，结合图形可知，acr+R，远地点离地面的，远地点离地面的距离为：距离为：na+cR，mac R， ， a， ， c， ， 所以远地点离地面的距离为：所以远地点离地面的距离为：na+cR 故选：故选：A 9羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成某班级从羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成某班级从 3 名男生名男生 A1，A2，A3 和和 3 名女生名女生 B1，B2，B3中各随机选出两名，把选出的中各
23、随机选出两名，把选出的 4 人随机分成两队进行羽毛球混合人随机分成两队进行羽毛球混合 双打比赛，则双打比赛，则 A1和和 B1两人组成一队参加比赛的概率为（两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A B C D 【分析】分别计算出选出的【分析】分别计算出选出的 4 人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛的基本事件总数人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛的基本事件总数 和满足和满足 A1和和 B1两人组成一队的基本事件个数，代入两人组成一队的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案古典概型概率计算公式，可得答案 解：从解：从 3 名男生名男生 A1，A2，A3和和 3 名女生名女生 B1，B2
24、，B3中各随机选出两名，共有中各随机选出两名，共有 C32C329， 选出的选出的 4 人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛有人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛有 C21C214， 故总的事件个数为故总的事件个数为 9436 种，种， 其中其中 A1和和 B1两人组成一队有两人组成一队有 C21C214 种，种， 故则故则 A1和和 B1两人组成一队参加比赛的概率为两人组成一队参加比赛的概率为， 故选：故选：A 10已知已知 F1，F2是双曲线是双曲线 C：y21（a0）的两个焦点，过点）的两个焦点，过点 F1且垂直于且垂直于 x 轴的直轴的直 线与线与 C 相交于相交于 A，B 两点，若两
25、点，若|AB|，则，则ABF2的内切圆的半径为（的内切圆的半径为（ ） A B C D 【分析】设左焦点【分析】设左焦点 F1的坐标，由过的坐标，由过 F1垂直于垂直于 x 轴的直线与椭圆联立可得弦长轴的直线与椭圆联立可得弦长 AB，再由，再由 椭圆可得椭圆可得 a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形 ABF2 的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割 3 个三角形的面积之和可得内切圆的半径个三角形的面积之和可得内切圆的半径 解：由双曲线的方程可设左焦点解：由双曲线的方程可设左
26、焦点 F1（c，0），由题意可得），由题意可得 AB，再由，再由 b 1，可得，可得 a，所以双曲线的方程为：，所以双曲线的方程为：y21， 所以所以 F1（，0），），F2（，0），所以），所以 S F1F2， 三角形三角形 ABF2的周长为的周长为 CAB+AF2+BF2AB+（2a+AF1）+（2a+BF1）4a+2AB 4+26， 设内切圆的半径为设内切圆的半径为 r，所以三角形的面积，所以三角形的面积 S3， 所以所以 3，解得：，解得：r， 故选：故选：B 11已知函数已知函数 f（x）的导函数为）的导函数为 f（x），记），记 f1（x）f（x），），f2（x）f1（x），），
27、fn+1（x）fn（x）（）（nN*）若）若 f（x）xsinx，则，则 f2019（x）+f2021（x）（）（ ） A2cosx B2sinx C2cosx D2sinx 【分析】求出函数的导数，结合函数的导数寻找规律进行计【分析】求出函数的导数，结合函数的导数寻找规律进行计算即可算即可 解：解：f（x）xsinx， 则则 f1（x）f（x）sinx+xcosx， f2（x）f1（x）cosx+cosxxsinx2cosxxsinx， f3（x）f2（x）2sinxsinxxcosx3sinxxcosx f4（x）f3（x）3cosxcosx+xsinx4cosx+xsinx f5（x）f
28、4（x）4sinx+sinx+xcosx5sinx+xcosx f6（x）f5（x）5cos+cosxxsinx6cosxxsinx， f7（x）f6（x）6sinxsinxxcosx7sinxxcosx ， 则则 f1（x）+f3（x）sinx+xcosx3sinxxcosx2sinx， f3（x）+f5（x）3sinxxcosx+5sinx+xcosx2sinx， f5（x）+f7（x）5sinx+xcosx7sinxxcosx2sinx， 即即 f4n+1（x）+f4n+3（x）2sinx， f4n+3（x）+f4n+5（x）2sinx 则则 f2019（x）+f2021（x）2sinx
29、， 故选：故选：D 12已知正方体已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为 2，E，F，G 分别是棱分别是棱 AD，CC1，C1D1的中点，的中点， 给出下列四个命题：给出下列四个命题： EFB1C； 直线直线 FG 与直线与直线 A1D 所成角为所成角为 60； 过过 E，F，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；三点的平面截该正方体所得的截面为六边形； 三棱锥三棱锥 BEFG 的体积为的体积为 其中，正确命题的个数为（其中，正确命题的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可【分析】画出几何体的图形，然后转化判断四个命题
30、的真假即可 解：如图；连接相关点的线段，解：如图；连接相关点的线段，O 为为 BC 的中点，连接的中点，连接 EFO，因为，因为 F 是中点，可知是中点，可知 B1C OF，EOB1C，可知，可知 B1C平面平面 EFO，即可证明，即可证明 B1CEF，所以，所以正确；正确； 直线直线 FG 与直线与直线 A1D 所成角就是直线所成角就是直线 A1B 与直线与直线 A1D 所成角为所成角为 60；正确；正确； 过过 E，F，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形 ENFGI所所 以以不正确；不正确； 三棱锥三棱锥 BEF
31、G 的体积为：的体积为：VGEBM VF EBM 所以三棱锥 所以三棱锥 BEFG 的体积的体积 为为 正确；正确； 故选：故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13设向量设向量 （m，1），）， （2，1），且），且 （ 2+2），则 ），则 m 2 【分析】根据分析】根据 （ 2+2），整理得 ），整理得0；进而求得结论；进而求得结论 解：因为向量解：因为向量 （m，1），）， （2，1），且），且 （ 2+2）， ）， 2 +00； ； m2； 故答案为：故答案为：2 14某种产品的质量指标值某种产品的质量指标值 Z
32、服从正态分布服从正态分布 N（，2），且），且 P（3Z+3） 0.9974某用户购买了某用户购买了 10000 件这种产品，则这件这种产品，则这 10000 件产品中质量指标值位于区间（件产品中质量指标值位于区间（ 3，+3）之外的产品件数为）之外的产品件数为 26 【分析】直接利用【分析】直接利用 P（3Z+3）0.9974 以及其对立面即以及其对立面即可求解可求解 解：因为某种产品的质量指标值解：因为某种产品的质量指标值 Z 服从正态分布服从正态分布 N（，2），且），且 P（3Z+3 ）0.9974 所以所以 10000 件产品中质量指标值位于区间（件产品中质量指标值位于区间（3，+3
33、）之外的产品件数为：）之外的产品件数为：10000 （10.9974）26； 故答案为：故答案为：26 15（3x22x1）5的展开式中，的展开式中，x2的系数是的系数是 25 （用数字填写答案）（用数字填写答案） 【分析】把原式化简成二项式结构，利用通项公式可得答案【分析】把原式化简成二项式结构，利用通项公式可得答案 解：因为：（解：因为：（3x22x1）53x2（2x+1）5； 其展开式的通项公式为：其展开式的通项公式为：Tr+1（3x2）5 r （2x+1）r； 要求要求 x2的系数；的系数； 所以：当所以：当 5r0，即，即 r5 时，需求时，需求（2x+1）5的展开式的的展开式的 x
34、2项，故此时项，故此时 x2的系数的系数 是：是：（1）2221340； 当当 5r1，即，即 r4 时，需求时，需求（2x+1）5的展开式的常数项，故此时的展开式的常数项，故此时 x2的系数是：的系数是： 3（1）51515； 综上可得：综上可得：x2的系数是：的系数是：401525 故答案为：故答案为：25 16已知已知ABC 的三个内角为的三个内角为 A，B，C，且，且 sinA，sinB，sinC 成等差数列，则成等差数列，则 sin2B+2cosB 的最小值为的最小值为 ，最大值为，最大值为 【分析【分析】利用等差中项以及正弦定理得到】利用等差中项以及正弦定理得到 2ba+c，再结合
35、余弦定理及基本不等式，余，再结合余弦定理及基本不等式，余 弦函数的性质可得弦函数的性质可得，构造函数，构造函数，利，利 用导数得到函数用导数得到函数 f（B）的单调性情况，进而求得最值）的单调性情况，进而求得最值 解：解：sinA，sinB，sinC 成等差数列，成等差数列， 2sinBsinA+sinC， 由正弦定理可得，由正弦定理可得，2ba+c， 由余弦定理有，由余弦定理有，（当且（当且 仅当仅当 abc 时取等号），时取等号）， 又又 B 为三角形为三角形 ABC 内角，故内角，故， 设设，则，则 f（B）2cos2B2sinB4sin2B 2sinB+2， 令令 f（B）0，解得，解
36、得，令，令 f（B）0，解得，解得， 故函数故函数 f（B）在）在单调递增，在单调递增，在单调递减，单调递减， ， 故答案为：故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题： 共共 60 分分 17记记 Sn为数列为数列an的前的前 n 项和，项和，2Snan（nN*） （1）求）求 an+an+1； （2）令）令 bnan+
37、2an，证明数列，证明数列bn是等比数列，并求其前是等比数列，并求其前 n 项和项和 Tn 【分析】（【分析】（1）运用数列的递推式：）运用数列的递推式：n1 时，时，a1S1，n2 时，时，anSnSn1，化简变形，化简变形 可得可得 an+an1，进而得到所求；，进而得到所求； （2）由（）由（1）的结论，将）的结论，将 n 换为换为 n+1，两式相减，结合等比数列的定义和求和公式，即，两式相减，结合等比数列的定义和求和公式，即 可得到所求可得到所求 解：（解：（1）由）由 2Snan，可得，可得 n1 时，时，a1S1，又，又 2S1a11，即，即 a11； n2 时，时，anSnSn1
38、， ， 2Sn 1an1，又，又 2Snan， 两式相减可得两式相减可得 an+an1， 即有即有 an+an+1； （2）证明：由（）证明：由（1）可得）可得 an+an+1， 即有即有 an+1+an+2， 两式相减可得两式相减可得 bnan+2an， 则则，可得数列，可得数列bn是首项为是首项为，公比为，公比为的等比数列，的等比数列， 前前 n 项和项和 Tn 18如图，三棱锥如图，三棱锥 PABC 中，中，PAPC，ABBC，APC120，ABC90，AC PB （1）求证：）求证：ACPB； （2）求直线）求直线 AC 与平面与平面 PAB 所成角的正弦值所成角的正弦值 【分析】（【
39、分析】（1）取）取 AC 中点中点 O，连结，连结 PO，BO，推导出，推导出 POAC，BOAC，从而，从而 AC平平 面面 PBO，由此能证明，由此能证明 ACPB （2）推导出）推导出 POBO，以，以 O 为原点，为原点，OB 为为 x 轴，轴，OC 为为 y 轴，轴，OP 为为 z 轴，建立空间直轴，建立空间直 角坐标系，利用向量法能求出直线角坐标系，利用向量法能求出直线 AC 与平面与平面 PAB 所成角的正弦值所成角的正弦值 解：（解：（1）证明：取）证明：取 AC 中点中点 O，连结，连结 PO，BO， PAPC，ABBC，POAC，BOAC， POBOO，AC平面平面 PBO
40、， PB平面平面 PBO，ACPB （2）解：设）解：设 AC2，则，则 PO1，PAPCPB2，BO， PO2+BO2PB2，POBO， 以以 O 为原点，为原点，OB 为为 x 轴，轴，OC 为为 y 轴，轴，OP 为为 z 轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系， 则则 A（0，0），），C（0，0），），P（0，0，1），），B（，0，0），）， （0，2，0），），（0，1），），（，0，1），）， 设平面设平面 PAB 的法向量的法向量 （x，y，z），）， 则则，取，取 x1，得，得 （1，1，），）， 设直线设直线 AC 与平面与平面 PAB 所成角为所成角为 ， 则直
41、线则直线 AC 与平面与平面 PAB 所成角的正弦值为：所成角的正弦值为： sin 19某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了 80 个零个零 件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如图的频率分布直方图：），得到如图的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求这）根据频率分布直方图，求这 80 个零件尺寸的中位数（结果精确到个零件尺寸的中位数（结果精确到 0.01）；）； （2）若从这）若从这 80 个零件中尺寸位于个零件中尺寸位于62.5，64.5）之外的零件中随机抽取）之外的零件中随机抽取 4 个，设个，设 X 表示表示 尺寸在尺寸在64.5，65上的零件个数，求上的零件个数，求 X 的分布列及数学期望的分布列及数学期望 EX； （3）已知尺寸在）已知尺寸在63.0，64.5）上的零件为一等品，否则为二等品，将这）上的零件为一等品，否则为二等品，将这 80 个零件尺寸个零件尺寸 的样本频率视为概率现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱的样本频率视为概率现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱 100 个企业个企业 在交
