1、确定确定，使直线使直线 12111 zyx和直线和直线11111zyx 相交。相交。1211 因为因为所以两直线不平行所以两直线不平行 两个点构成向量两个点构成向量 s=2,-2,1,与第二条直线在与第二条直线在 同一面同一面,法向取法向取45 ,只要共面即相交只要共面即相交2ssn它与第一条线方向向量垂直，所以它与第一条线方向向量垂直，所以01sn1,1,12scbaabc)(直线过点直线过点 A(-3,5,-9)且和两直线且和两直线 3253:1xzxyl 10574:2xzxyl相交，相交，求此直线方程。求此直线方程。过点过点 A 及直线及直线 l1 作平面作平面、1 过点过点 A 及直
2、线及直线 l2 作平面作平面2 则则2 的交线即为所求直线。的交线即为所求直线。故作过直线故作过直线 l1 的平面束的平面束0)53(32 yxzx 将将 A 点坐标代入点坐标代入，,0 得得所以所以1 032:1 zx 同理可求得同理可求得053634:2 zyx 所以所求直线为所以所求直线为 053634032zyxzx 一直线一直线 L 绕一相交的定直线在空间转动绕一相交的定直线在空间转动，转动时始终与定直线保持定角转动时始终与定直线保持定角),20(则这直线形成则这直线形成动直线与定直线的交点动直线与定直线的交点，定角定角 称为称为求圆锥面的方程。求圆锥面的方程。xyz L的曲面的曲面
3、，称为称为。称为称为，在在yoz坐标面上坐标面上，L的方程为的方程为：,tanzy 即即0cot yz现绕现绕 z 轴旋转轴旋转，则所得旋转面则所得旋转面（即圆锥面）即圆锥面）0cot)(22 yxz即即 cot a其中其中xyz L方程为方程为：与平面解析几何中规定的二次与平面解析几何中规定的二次曲线相类似，我们把三元二次方程曲线相类似，我们把三元二次方程F(x,y,z)=0 所表示的曲面称为所表示的曲面称为。1 222222 czbyax截痕法截痕法abcyx zoxzy0 zqypx22222 xzy0zqypx 2222 双曲抛物面双曲抛物面 bx bx 双曲抛物面双曲抛物面 xzy0
4、zqypx 2222 双曲抛物面双曲抛物面 xzy0zqypx 22221222222 czbyax旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面122222 czayx单叶双曲面单叶双曲面122222 czyax旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面1222222 czbyax双叶双曲面双叶双曲面负号负号单单为为单叶单叶，负号负号双双为为双叶双叶。椭圆锥面椭圆锥面22222zbyax zxyoxyz表示两直线表示两直线内容小结内容小结1.空间曲面空间曲面三元方程三元方程0),(zyxF 球面球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面旋转曲面如如,曲线曲线00),(xzyf绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面:
5、0),(22zyxf 柱面柱面如如,曲面曲面0),(yxF表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.又如又如,椭圆柱面椭圆柱面,双曲柱面双曲柱面,抛物柱面等抛物柱面等.2.二次曲面三元二次方程三元二次方程),(同号qp 椭球面椭球面1222222czbyax 抛物面抛物面:椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面双曲面:单叶双曲面单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面椭圆锥面:22222zbyax一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程三、空间
6、曲面的参数表示三、空间曲面的参数表示 四、空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影第六节第六节空间曲线及其方程空间曲线及其方程 空间曲线空间曲线 C 可看成两张空间曲面的交线：可看成两张空间曲面的交线：xyz0C(1)曲线上的点必须同时曲线上的点必须同时满足两个方程满足两个方程,(1)称为空间曲线称为空间曲线 C 的一般方程的一般方程。即满足方程组即满足方程组(1),1yxzo。的交线的交线及及画出曲面画出曲面Lyxzyxz 2 2222 21yxzoL。的交线的交线及及画出曲面画出曲面Lyxzyxz 2 2222 2222azyx zxyo.)0(22222Laaxyxyxaz的
7、交线的交线及及画出曲面画出曲面 a 2222azyx 22axyx xyoz.)0(22222Laaxyxyxaz的交线的交线及及画出曲面画出曲面 axyzo.)0(22222Laaxyxyxaz的交线的交线及及画出曲面画出曲面 L 设空间曲线设空间曲线 C 上任一点为上任一点为 M(x,y,z),如果其坐标如果其坐标 x,y,z 可表示为参数可表示为参数 t 的函数的函数：且随着且随着 t 在某一范围内变化在某一范围内变化，点点 M 描出了描出了曲线曲线 C 上的全部点上的全部点。)()()(tzztyytxx(2)则称则称(2)为空间曲线的为空间曲线的。P同时又沿平行于同时又沿平行于z轴的
8、正轴的正方向方向等线速度等线速度v上升。上升。其轨迹就是圆柱螺线其轨迹就是圆柱螺线。圆柱面圆柱面222ayx yz0 xa x=y=z=设时刻设时刻 t 动点在动点在M(x,y,z)M螺线从点螺线从点 P QbPQ 2叫螺距叫螺距NQ点点P在圆柱面上以等角速度在圆柱面上以等角速度 绕绕z轴旋转轴旋转；t ta costa sinvt vb 其中其中22yxz 当当 从从 0 2，例例 将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示:6321)1(22zxyx 0)2(22222xayxyxaz解解:根据第一方程引入参数根据第一方程引入参数,txcos tysin)cos26(31tz 得
9、所求为得所求为)20(t(1)例例 将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示:6321)1(22zxyx 0)2(22222xayxyxaz(2),4)2(222ayax 故所求为故所求为taaxcos22 taysin2 tazcos2121 )20(t将第二方程变形为将第二方程变形为例例2.2.求空间曲线求空间曲线 :)(tx )(ty )(tz )(t绕绕 z 轴轴 旋转时的旋转曲面方程旋转时的旋转曲面方程.解解:,)(,)(,)(1 tttM 任取点任取点点点 M1 绕绕 z 轴轴 旋转旋转,转过角度转过角度 后到点后到点 ,),(zyxM则则 cos)()(22ttx s
10、in)()(22tty )(tz 20t这就是旋转曲面满足的参数方程这就是旋转曲面满足的参数方程.例如例如,直线直线1 xty tz2 绕绕 z 轴旋转所得旋转曲面轴旋转所得旋转曲面 cos12tx sin12ty tz2 20t消去消去 t 和和 ,得得旋转曲面方程为旋转曲面方程为4)(4222 zyxxzoy方程为方程为空间曲线空间曲线 0),(0),(:zyxGzyxFC求求C 在在 xoy 平面上的投影曲线方程平面上的投影曲线方程。(1)作投影作投影：过过 C 上每一点作上每一点作 xoy 平面平面的垂线，的垂线，即相当于作了一个即相当于作了一个母线母线/z 轴轴，准线为曲线准线为曲线
11、 C的柱面的柱面 称为曲线称为曲线 C关于关于 xoy 平面的平面的。zyxCC 投影柱面投影柱面 与与 xoy 平面平面的交线的交线C 即为曲线即为曲线 C在在xoy平面上的投影曲线平面上的投影曲线。(2)求投影柱面方程求投影柱面方程：投影柱面投影柱面/z 轴轴，方程中应无变量方程中应无变量 z。只要在曲线只要在曲线 C 的方程组中消去变量的方程组中消去变量 z,方程变为方程变为 H(x,y)=0 则则方程为：方程为：H(x,y)=0z=0zyxCC 求曲线求曲线 C 在在 yoz 平面上的投影曲线平面上的投影曲线：只要在曲线只要在曲线 C 的方程组中消去变量的方程组中消去变量 x,R(y,
12、z)=0 则投影曲线方程为：则投影曲线方程为：得投影柱面方程：得投影柱面方程：求曲线求曲线 C 在在 xoz 平面上的投影曲线平面上的投影曲线：只要在曲线只要在曲线 C 的方程组中消去变量的方程组中消去变量 y,得投影柱面方程：得投影柱面方程：T(x,z)=0 则投影曲线方程为：则投影曲线方程为：同理同理，R(y,z)=0 x=0 T(x,z)=0 y=0 平面的投影。平面的投影。在在的交线的交线及及求曲面求曲面 2 2222xoyLyxzyxz 22222 yxzyxz1 1yxzo oL：例例z=021yxzoL 所求投影曲线为所求投影曲线为122 yx 01 22zyx投影柱面投影柱面
13、22222 yxzyxzL：例例平面的投影。平面的投影。在在的交线的交线及及求曲面求曲面 2 2222xoyLyxzyxz 例例：1)1()1(1:222222zyxzyxC求求在在 xoy 平面上的投影曲线方程平面上的投影曲线方程，并说明是什么并说明是什么曲线。曲线。解解:01221:222222zyzyxzyxC消去消去 z，(1)(2)01 zy,1yz 代入代入(2)：1)()1(222 yyx02222 yyx为投影柱面方程。为投影柱面方程。(1)-(2):02222 yyx为投影柱面方程。为投影柱面方程。02222 yyxC 在在 xoy 平面上的投影曲线方程平面上的投影曲线方程：
14、z=0 是什么曲线是什么曲线?21)21(222 yx曲线为曲线为 1)5.0(22yx5.025.00 z为为 xoy 平面上的一条椭圆曲线平面上的一条椭圆曲线。zyxC1o.(0,1,1)例：例：)(2:2222yxzyxzC求求在三坐标面上的投影曲线方程，并说明是什么曲线。在三坐标面上的投影曲线方程，并说明是什么曲线。解解:方程组中消去方程组中消去 z，投影在投影在 xoy 平面平面：(1)-(2):(1)(2)122 yx为投影柱面方程。为投影柱面方程。投影曲线方程：投影曲线方程：.0122 zyx为为 xoy 平面上的一个圆平面上的一个圆。xyz.21 )(2:2222yxzyxzC(1)(2)投影在投影在 yoz 平面平面：方程组中消去方程组中消去 x，(1)+(2)得得：为投影柱面方程。为投影柱面方程。投影曲线投影曲线(直线直线)方程方程：1 z 01xz同理，投影在同理，投影在 xoz 平面平面：消去消去 y1 z投影曲线投影曲线(直线直线)方程方程：.1101 xyz且且.11 y且且xyz.2-111求曲线求曲线 211222zzyx在在 xoy，xoz 面面上的投影曲线的方程。上的投影曲线的方程。(1)xoy 面面,消去消去z，得得4322 yx所以投影曲线的方程为所以投影曲线的方程为 04322zyx(2)xoz 面面)23(021 xyz
