1、山东农业大学结构力学课程组山东农业大学结构力学课程组 学习结构动力学应该较扎实地掌握结构静力分析、微积分学习结构动力学应该较扎实地掌握结构静力分析、微积分和常微分方程等相关知识，主要是如下相关内容：和常微分方程等相关知识，主要是如下相关内容：1 1）能熟练的分析计算并绘制结构的弯矩图或内力图（静定）能熟练的分析计算并绘制结构的弯矩图或内力图（静定结构利用平衡、区段叠加、微分关系等；超静定结构用力法、结构利用平衡、区段叠加、微分关系等；超静定结构用力法、位移法或力矩分配法等计算分析并作图）；位移法或力矩分配法等计算分析并作图）；2 2）能熟练地计算结构的指定位移）能熟练地计算结构的指定位移ij、
2、ip；3 3）能熟练地计算结构的指定反力）能熟练地计算结构的指定反力 rij、RiP；4 4）要能熟练掌握常用的微积分知识和常微分方程知识（由）要能熟练掌握常用的微积分知识和常微分方程知识（由 加惯性力等之后的动静法可知，动力学问题将是微分方程的加惯性力等之后的动静法可知，动力学问题将是微分方程的 求解问题，就本书内容属于常系数常微分方程）；求解问题，就本书内容属于常系数常微分方程）；5 5）要熟练的掌握线性代数（矩阵的表达、运算和矩阵方程的）要熟练的掌握线性代数（矩阵的表达、运算和矩阵方程的求解）。求解）。如果对上述内容掌握的不好或已经有所遗忘，必须进行适当的如果对上述内容掌握的不好或已经有
3、所遗忘，必须进行适当的复习（不一定系统复习，可以涉及什么问题时复习什么内容），复习（不一定系统复习，可以涉及什么问题时复习什么内容），要力争达到上述要求。要力争达到上述要求。“勤思、多练勤思、多练”，这是学习任何理工科课程共同的学习方法。，这是学习任何理工科课程共同的学习方法。勤思勤思要抓住基本思想、基本方法将书读薄；要抓住基本思想、基本方法将书读薄；多练多练由于涉及数学知识比静力分析稍难，多数内容不自由于涉及数学知识比静力分析稍难，多数内容不自行动手推一推，最多仅仅能达到牢记，而不能达到掌握。通行动手推一推，最多仅仅能达到牢记，而不能达到掌握。通过一定的习题练习，进一步理解和巩固理论知识，从
4、中总结过一定的习题练习，进一步理解和巩固理论知识，从中总结解决问题的技巧、经验，这是解决问题的技巧、经验，这是“熟能生巧熟能生巧”必不可少的。必不可少的。结构动力学与工程实际有着十分密切的关系，它在结构结构动力学与工程实际有着十分密切的关系，它在结构振动实验、结构健康检测和诊治、结构工程、地震工程、振动实验、结构健康检测和诊治、结构工程、地震工程、风工程、动力基础工程、海洋工程、船舶工程、航空工风工程、动力基础工程、海洋工程、船舶工程、航空工程和汽车工程等实际工程领域都得到十分广泛的应用。程和汽车工程等实际工程领域都得到十分广泛的应用。实际工程不同，动力分析的内容也可能有所不同，但最实际工程不
5、同，动力分析的内容也可能有所不同，但最基本的力学原理和方法（当然包括动力学原理、方法）基本的力学原理和方法（当然包括动力学原理、方法）是普遍适用的，因此学习中应该注意深刻理解和掌握原是普遍适用的，因此学习中应该注意深刻理解和掌握原理和方法，以便能用它解决各种工程问题。理和方法，以便能用它解决各种工程问题。本课内容包括：由直接平衡法建立有限自由度体系的运动本课内容包括：由直接平衡法建立有限自由度体系的运动方程，单自由度体系的振动分析，多自由度体系的振动分方程，单自由度体系的振动分析，多自由度体系的振动分析，频率和振型的实用计算方法，结构的地震响应分析等析，频率和振型的实用计算方法，结构的地震响应
6、分析等内容。内容。参考书目参考书目1.1.杨弗康等编，结构力学（下册），高教出版社杨弗康等编，结构力学（下册），高教出版社2.2.杨天祥编，结构力学（下册），高教出版社杨天祥编，结构力学（下册），高教出版社3.3.龙驭求等编，结构力学（下册），高教出版社龙驭求等编，结构力学（下册），高教出版社动力计算动力计算概述概述单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动单自由度体系的强迫振动单自由度体系的强迫振动多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动多自由度体系的强迫振动多自由度体系的强迫振动频率的近似频率的近似计算计算知识点知识点教学基本要求教学基本要求了解结构动力计算的特点，能够判断动力计算自
7、由度；了解结构动力计算的特点，能够判断动力计算自由度；掌握单体系振动微分方程的建立方法。掌握单体系振动微分方程的建立方法。掌握单自由度体系在不同的动荷载作用下强迫振动掌握单自由度体系在不同的动荷载作用下强迫振动的分析方法以及动力特性。掌握阻尼对单自由度体的分析方法以及动力特性。掌握阻尼对单自由度体系动力特性的影响。系动力特性的影响。理解柔度法和刚度法建立振动微分方程的思路。掌理解柔度法和刚度法建立振动微分方程的思路。掌握两个自由度体系的频率方程和自振频率的求解，握两个自由度体系的频率方程和自振频率的求解，理解主振型和主振型正交性，掌握振型分解法。理解主振型和主振型正交性，掌握振型分解法。了解计
8、算频率的几种近似法了解计算频率的几种近似法能够正确计算单自由度体系的固有频率和周期。能够正确计算单自由度体系的固有频率和周期。重重 点点简谐动荷载作用产生的最大动位移和最大动内力简谐动荷载作用产生的最大动位移和最大动内力的计算。的计算。小阻尼对体系动力特性的影响。小阻尼对体系动力特性的影响。求解体系的自振频率和主振型。求解体系的自振频率和主振型。振型分解法求多自由度体系在动荷载作用下的动振型分解法求多自由度体系在动荷载作用下的动力响应力响应难难 点点一般动荷载作用下单自由度体系产生的动力响应。一般动荷载作用下单自由度体系产生的动力响应。求解体系的自振频率和主振型求解体系的自振频率和主振型 振型
9、分解法求多自由度体系在动荷载作用下的动振型分解法求多自由度体系在动荷载作用下的动力响应力响应1 1、动力计算的特点、目的和内容、动力计算的特点、目的和内容1)1)特点：静力荷载与动力荷载的特点及其效应。特点：静力荷载与动力荷载的特点及其效应。静力荷载静力荷载是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类荷载类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都，由它所引起的内力和变形都是确定的。是确定的。动力荷载动力荷载是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类是指其大小、方向和作用位置随时间
10、而变化的荷载。这类荷载荷载对结构产生的惯性力不能忽略对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。与静力计算的对比：与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程平衡方程是微分方程。10.1-
11、10.2 动力计算概述动力计算概述2)2)目的和内容目的和内容 目的：目的：计算结构的动力反应计算结构的动力反应内力、位移、速度与加速度，使结构在动内力内力、位移、速度与加速度，使结构在动内力与静内力共同作用下满足强度和变形的要求。与静内力共同作用下满足强度和变形的要求。动力计算的内容动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。方法。涉及到内外两方面的因素：涉及到内外两方面的因素：(1(1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）；）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）；(2(2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、
12、振型）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和阻尼等等），类似静力学中的和阻尼等等），类似静力学中的I I、S S等；等；计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。FP(t)tFP(t)t简谐荷载（按正余弦规律变化）简谐荷载（按正余弦规律变化）一般周期荷载一般周期荷载2 2、动力荷载分类、动力荷载分类 按变化规律及其作用特点可分为：按变化规律及其作用特点可分为：1 1）周期荷载：随时间作周期性变化。）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）（转动电机的偏心力）2 2）冲击荷载：）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）短时内
13、剧增或剧减。（如爆炸荷载）FP(t)tFP(t)ttrFPtrFP3 3）随机荷载：）随机荷载：(非确定性荷载非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）（如地震荷载、风荷载）3 3、结构的动力特性、结构的动力特性 结构在动荷载下的响应规律，与结构质量、刚度分布和能量耗散等有关。结构在动荷载下的响应规律，与结构质量、刚度分布和能量耗散等有关。由结构自身上述物理量所确定的、表征结构动力响应特性的一些固有量，由结构自身上述物理量所确定的、表征结构动力响应特性的一些固有量，称为称为结构的动力特性。结构的动力特性。对于动力特性相同的不
14、同结构，在相同的动荷载作用下，它们在质量处对于动力特性相同的不同结构，在相同的动荷载作用下，它们在质量处的动力响应（位移、速度和加速度等等）是一样的。因此，结构的动力的动力响应（位移、速度和加速度等等）是一样的。因此，结构的动力特性是结构动力分析的重要研究内容。特性是结构动力分析的重要研究内容。结构的动力特性包括以下三方面。结构的动力特性包括以下三方面。1 1）结构的自振频率）结构的自振频率 当结构受到某种外界干扰后会产生位移或速度，但外界干扰消失后结构将当结构受到某种外界干扰后会产生位移或速度，但外界干扰消失后结构将在平衡位置附近继续振动，这种振动称为结构的在平衡位置附近继续振动，这种振动称
15、为结构的自由振动。自由振动。自振频率自振频率结构自由振动时的频率称为结构的结构自由振动时的频率称为结构的自振频率或固有频率。自振频率或固有频率。自振频率个数自振频率个数：对多数工程结构来说，：对多数工程结构来说，自振频率的个数与结构的动自振频率的个数与结构的动力自由度数目相等。力自由度数目相等。频率谱频率谱：结构自振频率按从小到大顺序排列，称为结构的频率谱。结构自振频率按从小到大顺序排列，称为结构的频率谱。不同类型的结构，频率谱具有不同的特点。不同类型的结构，频率谱具有不同的特点。对于单跨梁、悬臂梁和不考虑扭转振动的房屋建筑等结构，频率谱中对于单跨梁、悬臂梁和不考虑扭转振动的房屋建筑等结构，频
16、率谱中频率的间隔较大，此类频率谱称为稀疏型的。对于连续梁、板、空间频率的间隔较大，此类频率谱称为稀疏型的。对于连续梁、板、空间结构、考虑扭转振动的房屋建筑等结构，频率谱存在密集区，此类频结构、考虑扭转振动的房屋建筑等结构，频率谱存在密集区，此类频率谱称为密集型的。率谱称为密集型的。基频：基频：频率谱中最小的频率称为结构的基本频率，简称为基频。其余频率谱中最小的频率称为结构的基本频率，简称为基频。其余依次称为第二频率、第三频率等依次称为第二频率、第三频率等 2 2）结构的振型）结构的振型 当结构按频率谱中某一自振频率作自由振动时当结构按频率谱中某一自振频率作自由振动时,其其变形形状保持不变变形形
17、状保持不变，这种变形形状称为这种变形形状称为结构的主振型，简称为振型结构的主振型，简称为振型。结构有多少个自振频率，就有多少个相应的振型。结构有多少个自振频率，就有多少个相应的振型。基本振型：基本振型：与结构基本频率对应的振型称为结构的基本振型，与结构基本频率对应的振型称为结构的基本振型，其余依次称为第二、第三振型等。其余依次称为第二、第三振型等。结构的位移响应结构的位移响应：对线性（线弹性）系统，结构的位移响应：对线性（线弹性）系统，结构的位移响应可用结构振型的线性组合来表示，可用结构振型的线性组合来表示，3 3）结构的阻尼）结构的阻尼结构的自由振动其实是势能与动能相互转化的过程。如果在这一
18、过程结构的自由振动其实是势能与动能相互转化的过程。如果在这一过程中没有能量的耗散，则根据能量守恒定律，自由振动将是无衰减的等中没有能量的耗散，则根据能量守恒定律，自由振动将是无衰减的等幅振动。但实际上，结构自由振动总是衰减的，直到最后恢复平衡幅振动。但实际上，结构自由振动总是衰减的，直到最后恢复平衡（静止）。这说明在结构的振动过程中存在着能量耗散，这种（静止）。这说明在结构的振动过程中存在着能量耗散，这种能量的能量的耗散作用通常称为阻尼。耗散作用通常称为阻尼。产生能量耗散的因素很多，例如产生能量耗散的因素很多，例如结构材料的内摩擦，各构件连接处的结构材料的内摩擦，各构件连接处的摩擦以及周围介质
19、的阻力等摩擦以及周围介质的阻力等。有关阻尼作用机理的研究，目前尚未完。有关阻尼作用机理的研究，目前尚未完全搞清楚。在动力分析中，为了便于数学处理，并尽可能符合实际，全搞清楚。在动力分析中，为了便于数学处理，并尽可能符合实际，目前通常采用目前通常采用等效粘滞阻尼理论等效粘滞阻尼理论（就目前来说，阻尼理论只是一种假（就目前来说，阻尼理论只是一种假设）。它假设能量耗散是由阻尼力引起，作用于质量的阻尼力与质量设）。它假设能量耗散是由阻尼力引起，作用于质量的阻尼力与质量的运动速度成比例，反映阻尼大小的参数由结构的动力试验确定。的运动速度成比例，反映阻尼大小的参数由结构的动力试验确定。4 4、动力计算中体
20、系的自由度、动力计算中体系的自由度 与静力计算一样，在动力计算中，也需要事先选择一个合理的计算简图。与静力计算一样，在动力计算中，也需要事先选择一个合理的计算简图。二者选取的原则基本相同，但在动力计算中，由于要考虑惯性力的作用，因此，二者选取的原则基本相同，但在动力计算中，由于要考虑惯性力的作用，因此，还需要研究质量在运动中的自由度问题。还需要研究质量在运动中的自由度问题。实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：计算困难，常作简化如下：1)1)集中质量法集中质量法 把连续分布的质量集中为几个
21、质点，将一个无限自由度的问题简化成有把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。限自由度问题。确定体系运动过程中任意时刻全部质量位置所需确定的独立几何参数确定体系运动过程中任意时刻全部质量位置所需确定的独立几何参数的个数称为的个数称为体系的振动自由度体系的振动自由度。2 2个自由度个自由度y2y12 2个自由度个自由度自由度与质量数不一定相等自由度与质量数不一定相等mmm梁m+m梁II2Im+m柱厂房排架水平振厂房排架水平振时的计算简图时的计算简图单自由度体系单自由度体系单自由度体系单自由度体系水平振动时的计算体系水平振动时的计算体系多自由度体系多自由度体系构架
22、式基础顶板简化成刚性块构架式基础顶板简化成刚性块(t)v(t)u(t)m1m2m32 2个自由度个自由度1y2y1y1y2yEI1 1）与几何组成分析中的自由度不同。）与几何组成分析中的自由度不同。M=ml分布质量，有无限自由度分布质量，有无限自由度ml 有关自由度的几点说明：有关自由度的几点说明：2 2）一般采用）一般采用“集中质量法集中质量法”，将连续分布的质量集中为几个质点研究。，将连续分布的质量集中为几个质点研究。3 3）并非一个质量集中点一个自由度（分析下例）。）并非一个质量集中点一个自由度（分析下例）。4 4）结构的自由度与是否超静定无关。）结构的自由度与是否超静定无关。2 2个自
23、由度个自由度2 2个自由度个自由度4 4个自由度个自由度静定结构静定结构6 6次超静定结构次超静定结构3 3次超静定结构次超静定结构 5 5）可用加链杆的方法确定动力自由度数。）可用加链杆的方法确定动力自由度数。加入最少数量的链杆可以固定结构上所有质点的位置时，则该结加入最少数量的链杆可以固定结构上所有质点的位置时，则该结构的动力自由度数目即等于所加入链杆的数目。构的动力自由度数目即等于所加入链杆的数目。)(xmy(x,t)x无限自由度体系无限自由度体系2)2)广义座标法：广义座标法：如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示nkklxktatxy1sin)(),
24、(用几条函数曲线来描述体系的振动曲用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中线就称它是几个自由度体系，其中lxksin 是根据边界约束条件选取是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。的函数，称为形状函数。ak(t)称广义座标，为一组待定称广义座标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，用此法可将参数，其个数即为自由度数，用此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系。无限自由度体系简化为有限自由度体系。x yx)(.),.(),(21xxxna1，a2，.annkkkxatxy1)(),(y(x,t)5 5、动力计算的方法、动力计算的方法)()(PtymtF m0)()(P
25、tymtF.运动方程运动方程m设其中设其中)()(ItFtym FP(t)FI(t).平衡方程平衡方程F FI(t t)惯性力，与加速度成正比，方向相反惯性力，与加速度成正比，方向相反)()(PtymtF 改写成改写成虚功原理（拉格朗日方程）虚功原理（拉格朗日方程）哈米顿原理（变分方程）哈米顿原理（变分方程）都要用到抽象的虚位移概念都要用到抽象的虚位移概念)(tym 根据达朗伯尔原理和所采用的阻尼理论，将惯性力、阻尼力假想地作用根据达朗伯尔原理和所采用的阻尼理论，将惯性力、阻尼力假想地作用于质量上，再考虑作用于结构上的动荷载，结果使动力问题转化成任一时刻于质量上，再考虑作用于结构上的动荷载，结
26、果使动力问题转化成任一时刻都动平衡的静力问题，此即理论力学中的动静法。都动平衡的静力问题，此即理论力学中的动静法。动力平衡法动力平衡法(直接平衡法直接平衡法)（达朗伯尔原理）（达朗伯尔原理）自由振动自由振动（固有振动）：（固有振动）：静平衡位置静平衡位置m获得初位移获得初位移ym获得初速度获得初速度 y自由振动产生原因自由振动产生原因：体系在初始时刻（：体系在初始时刻（t=t=0 0）受到外界的干扰。）受到外界的干扰。研究单自由度体系的自由振动重要性在于：研究单自由度体系的自由振动重要性在于：1)1)它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。2
27、)2)它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。自由振动反映了体系的固有动力特性。自由振动反映了体系的固有动力特性。要解决的问题包括：要解决的问题包括：建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼.10.3 10.3 振动过程中仅受弹性恢复力而不受外界干扰力作用的振动。振动过程中仅受弹性恢复力而不受外界干扰力作用的振动。一、一、1 1、运动微分方程的建立、运动微分方程的建立方法：达朗伯尔原理方法：达朗伯尔原理应用条件：微幅振动（线性微分方程）应用条件：微幅振动（线性微分方程）1)1)刚度法：刚度法：研究作用于
28、被隔离的质量上的力，建立平衡方程。研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。m.yj.yd静平衡位置静平衡位置质量质量m在任一时刻的位移在任一时刻的位移 y(t)=yj+ydk11力学模型力学模型.ydmmWFe(t)FI(t)+重力重力 W=mg弹性力弹性力 )()()(1111edjyyktyktF恒与位移反向恒与位移反向惯性力惯性力)()()(IdjyymtymtF Wyykyymdjdj)()(11 (a)恒与加速度反向恒与加速度反向其中其中 k11yj=W 0jy 上式可以简化为上式可以简化为011ddykym 或或).(.011bykym 由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程
29、式，引用了刚度系数，称由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。刚度法。Wyykyymdjdj)()(11 (a)2)2)柔度法：柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。.m静平衡位置静平衡位置FI(t).(.)()()(1111IctymtFty 0)()(11tytym k1可得与可得与 (b b)相同的方程相同的方程刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。011 yym 2 2、自由振动微分方程的解、自由振动微分方程的解).(.011bykym 改写为改写为01
30、1ymky 02yy 其中其中mk112它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：).(.cossin)(21dtCtCty积分常数积分常数C1，C2由初始条件确定由初始条件确定设设 t=0 时时vyyy)0()0(vCyC12（d）式可以写成式可以写成).(.sincos)(etvtyty 由上式可知，位移是由初位移由上式可知，位移是由初位移y 引起的余弦运动和由初速度引起的余弦运动和由初速度v 引起的正引起的正弦运动的合成弦运动的合成.11111mmk 由上式可知，位移是由初位移由上式可知，位移是由初位移y 引起的余弦运动和由初速度引起的余弦运动和由初速度
31、v 引起的正弦引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动运动的合成，为了便于研究合成运动,令令cos,sinAvAy(e)式改写成式改写成).(.).sin()(ftAty它表示合成运动仍是一个它表示合成运动仍是一个简谐运动简谐运动。其中。其中A（表示质点（表示质点m的最大动位移）的最大动位移）和和 可由下式确定可由下式确定).(.arctan22gvyvyA振幅振幅初相角初相角).(.sincos)(etvtyty称为相位角)(t).(.sincos)(etvtyty).(.).sin()(ftAtyy0ty-yTTTvvyt0yt0 A-AtycostvsintAsin3 3、结构的自振周
32、期和频率、结构的自振周期和频率由式由式)sin()(tAty及图可见位移方程是一个及图可见位移方程是一个周期函数。周期函数。Tyt0 A-A周期周期,2T工程频率工程频率),(21HzTf园频率园频率(角频率、简称为频率）角频率、简称为频率）Tf22计算频率和周期的几种形式计算频率和周期的几种形式jygWgmmk1111111gkmTjy2211其中11是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k1111使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿
33、振动方向施加使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力的力。yj=W 11在质点上沿振动方向施加数值为在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向的荷载时质点沿振动方向所产生的位移所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视计算时可根据体系的具体情况，视11、k11、yj 三参数中哪一个最便于三参数中哪一个最便于计算来选用。计算来选用。一些重要性质一些重要性质：（1 1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅素无关。干扰力只影响振幅。（2 2）自振周期与质量的平方根
34、成正比，质量越大，周期越大（频率越）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。（3 3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动
35、力性能基本一致载作用下的动力性能基本一致,是结构动力特性的重要数量标志。是结构动力特性的重要数量标志。例例1.1.计算图示结构的频率和周期。计算图示结构的频率和周期。mEI l/2 l/21EIl48311348mlEIEImlT4823例例2.2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。计算图示结构的水平和竖向振动频率。mlA,E,IH11E,I1HHm111E,A1V11VVm11111IIEI1=mh1k1126hEI26hEI26hEI26hEI例例3.3.计算图示刚架的频率和周期。计算图示刚架的频率和周期。312hEI312hEI由截面平衡由截面平衡31124hEIk31124mhEImk
36、EImhT223例例4 4、图示三根单跨梁，、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量为常数，在梁中点有集中质量m，不，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。解：解：1 1）求）求EIl4831P=15l/32P=1l/2EIlllllEIl7687)325216322(61321EIl768732EIl19233311481mlEIm32277681mlEIm3331921mlEIm据此可得据此可得：1?2?3=1?1.512?2 结构约束越强结构约束越强,其刚度越大其刚度越大;刚度越大刚度越大,其自振动频率也越大。其自振动频率也越大。l/2l/2l
37、/2l/2l/2l/2mmm1例例5 5、求图示结构的自振圆频率。、求图示结构的自振圆频率。解法解法2 2：求：求 k11=1/hMBA=k11h=MBCk11lhmIEIBAClhEIlEI33lmhEImk21132113lhEIk1h解法解法1 1：求：求 11EIlhhlhEI3322121121131mlhEIm例例6 6、求图示结构的自振频率。、求图示结构的自振频率。lEImk1k11k11k33lEI解：求解：求 k113113lEIkkmkmklEI3311对于静定结构一般计算柔度系数方便。对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点如果
38、让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为都不能发生转动（如横梁刚度为刚架刚架)计算刚度系数方便。计算刚度系数方便。312lEI一端铰结的杆的侧移刚度为一端铰结的杆的侧移刚度为：33lEI两端刚结的杆的侧移刚度为两端刚结的杆的侧移刚度为：4 4、简谐自由振动的特性、简谐自由振动的特性由式由式)sin()(tAty可得，可得，加速度为：加速度为：)sin()(2tAty )sin()()(2ItmAtymtF 在无阻尼自由振动中，在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且都按正弦规律变化，且作作相位相同的同步运动相位相同的同步
39、运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。移的方向一致。它们的幅值产生于它们的幅值产生于1)sin(t时，其值分别为：时，其值分别为：Ay 2Ay 2ImAF 既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可于是可在幅值处建立运动方程在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间，此时方程中将不含时间t t，结果把，结果把微分方程微分方程转化为代数方程转化为代数方程了，使计算得以简化。了，使计算得以简化。惯性力为：惯性力为：例例7.7.计算图示体
40、系的自振频率计算图示体系的自振频率(不考虑重力不考虑重力)。ABCDEI=l/2 l/2lmm 1mm312kBCk1m2m.A1.A2lk1IF2IF 解：单自由度体系，以解：单自由度体系，以 表示位移表示位移参数的幅值参数的幅值,各质点上所受的力各质点上所受的力为：为：221211IlmAmFlmlmAmF222222I212331建立力矩平衡方程建立力矩平衡方程0BM02322I1IllklFlF0232122122llkllmllm化简后得化简后得km2mkm 受迫振动（强迫振动）：受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。结构在动力荷载作用下的振动。k11y(t)ymk11y
41、ym FP(t)mFP(t)FP(t)弹性力弹性力ky、惯性力、惯性力ym 和荷载和荷载F FP P(t t)之间的平衡方程为之间的平衡方程为:)()(P11atFykym mtFyy)(P2 1 1、简谐荷载：、简谐荷载：mtFPyysin2 单自由度体系受迫单自由度体系受迫振动的微分方程振动的微分方程二、二、受迫受迫 tmFtAsinsin)(P22tmFPtAtAsinsinsin22mtFPyysin2)(22PmFA11P2PFmFyst设特解设特解：)()()(*tytyty通解通解其中其中tctctycossin)(21tAysintytmFPystsin)1(1sin)1(22
42、222y最大静位移最大静位移yst：是把荷载最大值当作静荷载作用时结构所产生的位移。：是把荷载最大值当作静荷载作用时结构所产生的位移。tyystsin1122特解可写为特解可写为：styA 11P2PFmFyst22/11211通解可写为：通解可写为：tytCtCystsin11cossin2221设设t=0时的初始位移和初始速度均为零，在求出时的初始位移和初始速度均为零，在求出y的一阶导数后联合上式的一阶导数后联合上式：0,12221CyCst)sin(sin1122ttyyst过渡阶段过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段平稳阶段：后来只按荷载
43、频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）按自振频率振动按自振频率振动按荷载频率振动按荷载频率振动平稳阶段任意时刻位移：平稳阶段任意时刻位移：tytyyststsinsin1122最大动位移（振幅）为最大动位移（振幅）为：ststyyy22max1122max11styy动力系数动力系数为为：1023123重要的特性：重要的特性：f当当/00时时,11，荷载变化得很，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。慢，可当作静荷载处理。f当当0 0/11，并且随，并且随/的增大而增大。的增大而增大。f当当/1 1时时,。即当荷载。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无
44、限频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为增大。称为“共振共振”。通常把。通常把0.75 0.75/1.25 1 1时时,的绝对值随的绝对值随/的增大而减小。当的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。mk112101例例8 8 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知5.0动位移、动内力幅值计算动位移、动内力幅值计算tAtysin)(styA 22/11tFsinP1EIEIEIPFFPl/4解解.31124lEIkEIlFkFyst243P11P34/1122EIlFyAst3P181FPl/3动弯矩幅值图动弯
45、矩幅值图例例9 9 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知已知:./500,10,35,210,108.8,4P45分转nkNFkNQGPaEmIml解解.S/13.62/111Qgmm10722.0311PFyst4.3/1122tFsinPQ/2/2重力引起的弯矩重力引起的弯矩kN3541QlMQ重力引起的位移重力引起的位移m1053.2311QQ111/4m/N10722.0487311EIlkN.m1041PlFMstS/13.5260/2n解解.S/13.62/111Qgmm10722.0311PFyst4.3/1122m1045.23styAtF
46、sinPQ/2/2重力引起的弯矩重力引起的弯矩kN3541QlMQ重力引起的位移重力引起的位移m1053.2311QQ111/4m/N10722.0487311EIlkN.m1041PlFMstS/13.5260/2n动振幅幅值动振幅幅值动弯矩幅值动弯矩幅值kN.m34stDMM跨中最大弯矩跨中最大弯矩kN.m69maxDQMMM跨中最大位移跨中最大位移m1098.43maxAfQ当动荷载作用在单自由度体系的质当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各截面的内力、点上时，由于体系上各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移各
47、截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，可采用统一的动力系数，只需将干只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可来计算即可。例例10 10 已知已知m=300kg，EI=90105N.m2,k=48EI/l3 ,FP=20kN,=80s-1 求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。2mEImkFPsint2m解：解：1)1)求求kEIl2121483111111 EIlEIlEIl19251924833311131116.13451921smlEIm2)2)求求552.11122mEIlFFy35333P11Pmax
48、1075.51090192451020552.119253)3)求求ymaxmax，MmaxaxkN.m04.31420552.141)(41PmaxlFM如何求最大如何求最大位移和最大位移和最大弯矩？弯矩？动荷载不作用于质点时的计算动荷载不作用于质点时的计算P1112*PFFtFsinP)(ty)(sin)(11P12ymtFty)(tym tFsinP12=111=1tFtytymsin)(1)(P111211 令令tFtytymsin)(1)(*P11 tAtysin)(styA 11P111211PFFAP12FstystyFP仍是位移动力系数仍是位移动力系数是内力动力系数吗是内力动力
49、系数吗?运动方程运动方程稳态解稳态解振幅振幅不是！不是！列幅值方程求内力幅值列幅值方程求内力幅值 tAtysin)(EIlFlllFEIyst3PP4856522211解解:5.0例例11 11 求图示体系振幅、动弯矩幅值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图.tAtysin)(2 tmAtFsin)(2ItFtFsin)(PP同频同步变化同频同步变化tFsinPEIl/2l/2)(ty34/1122EIlFyAst3P365sty=1112/PlFl1122I441AmAmAFP485FFPP485FlFP965lFP4829动弯矩幅值图动弯矩幅值图解解:例例12 12 求图示体系右端的质点振幅求图
50、示体系右端的质点振幅 0oMkmFA41032PtFsinPlkEIllAFP2mA231mAAk32oAm2A2 2、一般荷载、一般荷载 由于运动微分方程是线性的，叠加原理可以应用。体系在随时间任意变化由于运动微分方程是线性的，叠加原理可以应用。体系在随时间任意变化的动力荷载作用下的响应，可视作在一系列独立瞬时冲量连续作用下响应的总的动力荷载作用下的响应，可视作在一系列独立瞬时冲量连续作用下响应的总和。因此只需对瞬时冲量作用所引起的微分响应进行积分，便可得到体系在一和。因此只需对瞬时冲量作用所引起的微分响应进行积分，便可得到体系在一般动力荷载作用下的响应。般动力荷载作用下的响应。一般荷载作用
