1、1探索探索人教社义务教育课程标准实验教科书八年级下人教社义务教育课程标准实验教科书八年级下2教材的作用与地位 一、教材分析一、教材分析1.是几何中最重要的定理之一是几何中最重要的定理之一;2.是解直角三角形的主要依据之一；是解直角三角形的主要依据之一；3.是直角三角形的一条非常重要的性质，揭示了是直角三角形的一条非常重要的性质，揭示了直角三角形三条边之间的数量关系；直角三角形三条边之间的数量关系；4.将形与数密切联系起来，在数学的发展中起过将形与数密切联系起来，在数学的发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的作用；重要的作用，在现实世界中也有着广泛的作用；5.勾股定理的逆定理也是判定一个
2、三角形是直角勾股定理的逆定理也是判定一个三角形是直角三角形的重要依据。三角形的重要依据。3本章的知识结构 一、教材分析一、教材分析探索探索 实际问题实际问题（直角三角形边角计算）（直角三角形边角计算）勾股定理勾股定理 实际问题实际问题（判定直角三角形）（判定直角三角形）勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理互逆定理互逆定理4新课标对本章的要求 一、教材分析一、教材分析探索探索5教学目标 一、教材分析一、教材分析探索探索【知识与技能知识与技能】1.能说出勾股定理的内容能说出勾股定理的内容,并能进并能进行简单的计算和实际应用；行简单的计算和实际应用；2.会用勾股定理的逆定理判定直会用勾股定理的逆定理判定
3、直角三角形；角三角形；3.通过具体的例子，了解定理的通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。一定成立。6 一、教材分析一、教材分析探索探索教学目标【过程与方法过程与方法】经历经历”观察观察猜想猜想归纳归纳验证验证”的数学发现过程的数学发现过程,发展合情推理的能发展合情推理的能力力,体会数形结合和由特殊到一般的体会数形结合和由特殊到一般的数学思想数学思想.7 一、教材分析一、教材分析探索探索教学目标【情感与态度情感与态度】1.通过对勾股定理历史的了解和实通过对勾股定理历史的了解和实例应用，
4、体会勾股定理的文化价值例应用，体会勾股定理的文化价值,对学生进行爱国主义教育；对学生进行爱国主义教育；2.通过获得成功的经验和克服困难通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心的经历，增进数学学习的信心.8教学重点与难点 一、教材分析一、教材分析探索探索重点重点：勾股定理及其逆定理的探索：勾股定理及其逆定理的探索 勾股定理及其逆定理的简单应用勾股定理及其逆定理的简单应用难点难点：利用数形结合的方法验证勾股：利用数形结合的方法验证勾股定理定理9课时安排 一、教材分析一、教材分析181 勾股定理勾股定理 4课时课时 本章教学时间约需本章教学时间约需8 8课时，具体安课时，具体安排如下排
5、如下:182 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 3课时课时 探索探索数学活动数学活动小结小结 1课时课时10勾股定理 第一节 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索内容内容:了解勾股定理的发现过程，掌握勾股了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。定理的内容，会用面积法证明勾股定理。建议建议1.1.注重使学生经历探索勾股定理的过程注重使学生经历探索勾股定理的过程 2.2.要求学生认识一些简单、常用的勾股数要求学生认识一些简单、常用的勾股数和两个基本图形和两个基本图形11勾股定理 第二节 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索内容内容:会用勾
6、股定理进行简单的计算；树会用勾股定理进行简单的计算；树立数形结合的思想、分类讨论思想立数形结合的思想、分类讨论思想 重要的题目类型重要的题目类型1.“1.“知二求一型知二求一型”在教学注意变换在教学注意变换题目所给的条件题目所给的条件2.2.知一及两边关系型的知一及两边关系型的(但此处应避但此处应避免使用一元二次方程的题型免使用一元二次方程的题型)3.3.分类讨论的题型分类讨论的题型4.4.数形结合的题型数形结合的题型12勾股定理 第二节 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索1)知二求一型知二求一型建议建议:在教学中注意在教学中注意引导学生理解勾股定理的条引导学生理解勾股定理的
7、条件、结论及适用范围和作用件、结论及适用范围和作用,掌握公式变形的各种掌握公式变形的各种形式形式，.变换题目所给的条件变换题目所给的条件,可以是边的条件可以是边的条件,也也可以是角的条件可以是角的条件,使学生达到灵活运用的目的使学生达到灵活运用的目的.但应但应注意计算不要太复杂注意计算不要太复杂13勾股定理 第二节 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索2)知一边及另两边关系型知一边及另两边关系型建议建议:这个题型也是相当重要的这个题型也是相当重要的,应应注意引导学生利用方程思想解决问题注意引导学生利用方程思想解决问题,但此处应避免使用一元二次方程解决但此处应避免使用一元二次方程
8、解决问题的题型问题的题型14勾股定理 第二节 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索3)3)分类讨论的题型分类讨论的题型1.对三角形边的分类对三角形边的分类:已知一个直角三角形的两条边是已知一个直角三角形的两条边是3cm和和4cm，求第三条边的长，求第三条边的长2.对三角形高的分类对三角形高的分类:已知：在已知：在ABC中，中，AB15cm，AC13cm，高，高AD12cm，求，求SABC15勾股定理 第二节 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索4)数形结合的题型数形结合的题型BCDA建议建议:这个题型的教学这个题型的教学帮助学生认识基本图形帮助学生认识基本图形,
9、能说出基本图形的性质能说出基本图形的性质16勾股定理 第三节 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索内容内容:会用勾股定理解决简单的实际问题。会用勾股定理解决简单的实际问题。建议建议:注意引导学生把实际问题转化成数注意引导学生把实际问题转化成数学问题，即知道两直角边，求斜边，从学问题，即知道两直角边，求斜边，从而用勾股定理解决问题而用勾股定理解决问题17勾股定理 第三节 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索内容内容:会用勾股定理解决简单的实际问题。会用勾股定理解决简单的实际问题。分析及建议分析及建议:注意引导学生把实际问题转化成数学注意引导学生把实际问题转化成数学
10、问题，在变化过程中发现不变量问题，在变化过程中发现不变量,找出基本找出基本图形图形18勾股定理 第三节 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索内容内容:会用勾股定理解决简单的实际问题。会用勾股定理解决简单的实际问题。建议建议:引导学生构造基本图形引导学生构造基本图形,在数轴上找在数轴上找到相应的点到相应的点,是对实数学习的一个补充是对实数学习的一个补充,应重视应重视.19勾股定理 第四节 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索内容内容:会用勾股定理解决较综合的问题会用勾股定理解决较综合的问题。1）结合等腰三角形的知识）结合等腰三角形的知识已知：如图已知：如图AD是是
11、ABC的高，的高，AB=10，AD=8，BC=12 求证：求证：ABC是等腰三角形是等腰三角形.DBCA20勾股定理 第四节 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索内容内容:会用勾股定理解决较综合的问题会用勾股定理解决较综合的问题。2）结合折叠的问题）结合折叠的问题如图，有一块直角三角形纸如图，有一块直角三角形纸片，两直角边片，两直角边ACAC6 cm6 cm，BCBC8 cm8 cm，现将直角边现将直角边ACAC沿直线沿直线ADAD折叠折叠，使它落在斜边，使它落在斜边ABAB上，且与上，且与AEAE重合，则重合，则CDCD等于（等于（）21勾股定理 第四节 二、教学内容分析及建
12、议二、教学内容分析及建议探索探索内容内容:会用勾股定理解决较综合的问题会用勾股定理解决较综合的问题。3563 3）网格问题）网格问题 如图，每个小正方形的边长如图，每个小正方形的边长为为1 1，把阴影部分剪下来，用，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是方形，那么新正方形的边长是（）B.2 C.D.分析及建议分析及建议:注意引导学生发现面积是不变的注意引导学生发现面积是不变的,从而确从而确定新正方形的边长定新正方形的边长22勾股定理 第四节 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索内容内容:会用勾股定理解决较综合的问题会用
13、勾股定理解决较综合的问题。2ABC4 4）简单的斜化直的问题）简单的斜化直的问题已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中，B=45B=45，C=60C=60，AB=3AB=3求（求（1 1）BCBC的长；（的长；（2 2）S SABCABC 23勾股定理的逆定理 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索第一节内容第一节内容:体会勾股定理的逆定理得出过程，体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理；掌握勾股定理的逆定理；教学建议教学建议:1)1)在教学中不但要使学生掌握勾股定理逆定理的在教学中不但要使学生掌握勾股定理逆定理的运用运用,还应掌握公式变形后的各种形式还应掌握
14、公式变形后的各种形式.例如例如:如如果三条线段长果三条线段长a,b,ca,b,c满足满足a2=b2-c2,这三条线段组这三条线段组成的三角形是不是直角三角形成的三角形是不是直角三角形2)2)注意它和勾股定理的条件和结论注意它和勾股定理的条件和结论,勾股定理是勾股定理是由形到数由形到数,而勾股定理的逆定理是由数到形而勾股定理的逆定理是由数到形,补充补充了直角三角形的判定方法了直角三角形的判定方法.3)3)注意及时总结注意及时总结.并归纳直角三角形的边角关系并归纳直角三角形的边角关系的有关定理的有关定理,纳入知识体系纳入知识体系24 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索第二节内容第
15、二节内容:理解原命题、逆命题、逆定理的理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。灵活应用勾股定理及逆概念及关系。灵活应用勾股定理及逆定理解决问题。定理解决问题。2关于原命题、逆命题、逆定理的概念及关系的教学建议关于原命题、逆命题、逆定理的概念及关系的教学建议 学生已经见过一些互逆命题，在前面感性认识的基学生已经见过一些互逆命题，在前面感性认识的基础上，结合本节课的两个定理提出逆命题和逆定理的概础上，结合本节课的两个定理提出逆命题和逆定理的概念，这些概念是第一次学习，要求不要过高。念，这些概念是第一次学习，要求不要过高。第三节内容第三节内容:灵活应用勾股定理及逆定理解综灵活应用勾股定理及逆定理解综
16、合题，进一步加深勾股定理与其逆定合题，进一步加深勾股定理与其逆定理之间关系的认识。理之间关系的认识。勾股定理的逆定理25 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索21 1）如图，在）如图，在ABCABC中，中，D D是是BCBC上一点，上一点，AB=10AB=10，BD=6BD=6，AD=8AD=8，AC=17AC=17。求求ABCABC的面积。的面积。分析及建议分析及建议 这是一道综合运用勾股定理及其逆定理这是一道综合运用勾股定理及其逆定理的题目的题目,要先应用勾股定理的逆定理判定要先应用勾股定理的逆定理判定ADC为直角，再利用勾股定理即可，用这为直角，再利用勾股定理即可，用这个
17、题型使学生更清楚地认识勾股定理和逆定个题型使学生更清楚地认识勾股定理和逆定理的区别，分清它们的条件和结论。理的区别，分清它们的条件和结论。勾股定理的逆定理题型分析题型分析26 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索22)2)如图，已知等腰如图，已知等腰ABCABC的底边的底边BCBC=20cm=20cm，D D是腰是腰ABAB上一点，且上一点，且CDCD=16cm=16cm，BDBD=12cm=12cm，求，求ABCABC的周长的周长.分析及建议分析及建议 本题仍是本题仍是综合运用勾股定理及其逆综合运用勾股定理及其逆定理的题目定理的题目,并并结合图形的特点结合图形的特点,要注意要
18、注意引导学生利用方程思想解题引导学生利用方程思想解题题型分析题型分析勾股定理的逆定理27 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索2勾股定理的逆定理题型分析题型分析 已知：如图已知：如图,四边形四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且且ABBC.求求S四边形四边形ABCD.B A C D点评：本题要恰当的添加辅助线，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可。28 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索2勾股定理的逆定理题型分析题型分析3)如图，点如图，点P是正三角形是正三角形ABC内一点，且内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将，若将PAC绕
19、点绕点A逆逆时针旋转后，得到时针旋转后，得到P AB，则点，则点P与点与点P 之之间的距离为间的距离为 ，APB=.点评：本题要构造直角三角形，难度较大，可以选作。29 二、教学内容分析及建议二、教学内容分析及建议探索探索勾股定理的逆定理题型分析题型分析EABCD借用以上这样的题型，让学生进一步体会借用以上这样的题型，让学生进一步体会勾股定理及其逆定理之间的关系勾股定理及其逆定理之间的关系30错解错解在在RtABC中，因为中，因为C90，AB15cm，BC12cm，所以由勾股定，所以由勾股定理，得理，得AB2AC2+BC2，所以，所以AC2AB2BC2第一类三、勾股定理学习中常见错解探索探索忽
20、视利用勾股定理的解题格式忽视利用勾股定理的解题格式例1已知在RtABC中，C90，AB15cm，BC12cm，求AC的长221512819即即AC的长是的长是9cm31三、勾股定理学习中常见错解探索探索例例2已知在已知在ABC中，若中，若ABBCAC，且，且AB10，BC8试求偶数试求偶数AC的长的长错解错解在在ABC中，因为中，因为ABBCAC，所以，所以AB是斜边，由勾股定理，得是斜边，由勾股定理，得AB2AC2+BC2，即，即AC2AB2BC2，又因为又因为AB10，BC8，所以，所以AC22ABBC22108即偶数即偶数AC的长是的长是6剖析剖析勾股定理适用的范围必须是在直角勾股定理适
21、用的范围必须是在直角三角形中才能成立然而本题中并没有说明三角形中才能成立然而本题中并没有说明是直角三角形，所以不能利用勾股定理求解是直角三角形，所以不能利用勾股定理求解忽视勾股定理的存在条件忽视勾股定理的存在条件第二类32即第三条边的长是即第三条边的长是5cm例例3已知一个直角三角形的两条边是已知一个直角三角形的两条边是3cm和和4cm，求第三条边的长，求第三条边的长错解错解因为直角三角形的两条边是因为直角三角形的两条边是3cm和和4cm，所以由勾股定理，得第三条边，即斜边是，所以由勾股定理，得第三条边，即斜边是四、勾股定理学习中常见错解探索探索第三类忽视直角三角形边的分类讨论忽视直角三角形边
22、的分类讨论2234533剖析剖析受勾受勾3股股4的影响，误以为已知的的影响，误以为已知的3cm和和4cm就是两条直角边，求第三条边的长就是斜边，就是两条直角边，求第三条边的长就是斜边，当然是当然是5了事实上，这里也并没有指明已知的了事实上，这里也并没有指明已知的两条边就是直角边，所以两条边就是直角边，所以4cm可以是直角边，也可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论可以是斜边，即应分情况讨论例例3已知一个直角三角形的两条边是已知一个直角三角形的两条边是3cm和和4cm，求第三条边的长，求第三条边的长四、勾股定理学习中常见错解探索探索第三类忽视直角三角形边的分类讨论忽视直角三角形边的分类讨论3
23、4所以所以BCBD+CD9+514故故SABC错解错解如图如图1，在，在RtADB和和RtADC中，分别中，分别由勾股定理，得由勾股定理，得BD四、勾股定理学习中常见错解第四类忽视对图形中高的分类讨论忽视对图形中高的分类讨论例4已知：在ABC中，AB15cm，AC13cm，高AD12cm，求SABC22ABAD221512922ACAD221312512CD12BCA D141284（cm2）12探索探索35四、勾股定理学习中常见错解第四类忽视对图形中高的分类讨论忽视对图形中高的分类讨论例4已知：在ABC中，AB15cm，AC13cm，高A D12cm，求SABC图2CDBA剖析剖析由于给定的
24、条件中并没有给出图形，由于给定的条件中并没有给出图形，所以求解时除了要考虑如图所以求解时除了要考虑如图1的情况外，的情况外，还要考虑如图还要考虑如图2的情况即要画出所有可的情况即要画出所有可能的图形错解时正是漏掉了如图能的图形错解时正是漏掉了如图2的情的情形形探索探索36错解错解如图如图3，作，作BDAC于于D，则在，则在RtABD和和RtCBD中，分别由勾股定理，得中，分别由勾股定理，得BD2AB2AD2BC2CD2，即，即AB2AD2BC2(ACAD)2，所以，所以82AD262(8AD)2，即，即AD四、勾股定理学习中常见错解第五类例例5已知：等腰三角形中，一边长是已知：等腰三角形中，一
25、边长是6cm，另一边是，另一边是8cm，求一腰上的高，求一腰上的高忽视对等腰三角形底和腰的分类讨论忽视对等腰三角形底和腰的分类讨论234222223385544ABAD所以BD=37四、勾股定理学习中常见错解探索探索第五类例例5已知：等腰三角形中，一边长是已知：等腰三角形中，一边长是6cm，另一边是，另一边是8cm，求一腰上的高，求一腰上的高忽视对等腰三角形底和腰的分类讨论忽视对等腰三角形底和腰的分类讨论剖析剖析对于已知等腰三角形的两边应分类对于已知等腰三角形的两边应分类讨论，漏解的原因可能是只对图讨论，漏解的原因可能是只对图3中的一中的一种情况计算，而忽视了如图种情况计算，而忽视了如图4的情
26、形的情形38附1:勾股定理的历史探索探索课外拓展 人们对勾股定理的认识经历了从特殊到一般的过程，这在人们对勾股定理的认识经历了从特殊到一般的过程，这在世界许多地区的数学原始文献中都有反映最早发现世界许多地区的数学原始文献中都有反映最早发现“勾三股四勾三股四弦五弦五”这一特殊关系的是古埃及人，这一事实可以追溯到公元前这一特殊关系的是古埃及人，这一事实可以追溯到公元前25世纪，中国古代数学家也较早独立发现并证明过勾股定理，而世纪，中国古代数学家也较早独立发现并证明过勾股定理，而对它的应用更有许多独到之处。勾股定理一般情况的发现和证明，对它的应用更有许多独到之处。勾股定理一般情况的发现和证明，那要归
27、功于古希腊的毕达哥拉斯。那要归功于古希腊的毕达哥拉斯。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比年左右的西周时期
28、，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股股4弦弦5，正是勾股定，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。在稍后一点的非常恰当的。在稍后一点的九章算术九章算术一书中，勾股定理得到一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的了更加规范的一般性表达。书中的勾股章勾股章说；说；“勾股各自乘，勾股各自乘，并，而开方除之，即弦。并，而开方除之，即弦。”39附1:勾股定理的历史探索探索课外拓展 古埃及人曾利用古埃及人曾利用“勾三股四弦五勾三股四弦五”的法则来确定直角
29、。的法则来确定直角。从古巴比伦的泥版书中，一块泥版从古巴比伦的泥版书中，一块泥版上，刻的一个奇特数表（勾股数表）来上，刻的一个奇特数表（勾股数表）来看，古巴比伦人已认识了一般直角三角看，古巴比伦人已认识了一般直角三角形的勾股定理。形的勾股定理。40附1:勾股定理的历史探索探索 我国古代称直角三角形中短的一条直我国古代称直角三角形中短的一条直角边为勾，长的一条直角边为股，斜角边为勾，长的一条直角边为股，斜边为弦，所以之一定理通常称为勾股边为弦，所以之一定理通常称为勾股弦定理，简称弦定理，简称勾股定理勾股定理。在在周髀算经周髀算经中叙述了西周开国时中叙述了西周开国时期（约公元前一千一百多年）周公和
30、期（约公元前一千一百多年）周公和商高的对话，商高说：商高的对话，商高说：“股折矩以勾股折矩以勾广三，股修四，经隅五。广三，股修四，经隅五。”说明已认说明已认识到这一定理的特例，所以又叫识到这一定理的特例，所以又叫商高商高定理定理。课外拓展41附1:勾股定理的历史探索探索课外拓展 我国有记载的最早勾股定理的证明，是我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古代数学家赵爽在他所著三国时，我国古代数学家赵爽在他所著的的勾股方圆图注勾股方圆图注中，用四个全等的中，用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来证直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的。明的。每个直角三角形的面积叫每个直角三角形的面积叫
31、朱实朱实，中，中间的正方形面积叫间的正方形面积叫黄实黄实，大正方形，大正方形面积叫面积叫弦实弦实，这个图也叫，这个图也叫弦图弦图。也。也是是2002年年8月月20日日28日日 在我国首在我国首都北京举办的第都北京举办的第24届国际数学家大届国际数学家大会会会标会标.这是在发展中国家举行的这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会第一次国际数学家大会 42附1:勾股定理的历史探索探索课外拓展 在西方，这个定理叫在西方，这个定理叫“毕达哥拉斯定毕达哥拉斯定理理”，一般认为是古希腊数学家毕达哥，一般认为是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前五百五十年左右发现并证拉斯于公元前五百五十年左右发现并证明的。相传
32、，毕达哥拉斯发现这一定理明的。相传，毕达哥拉斯发现这一定理时，曾宰牛百千，广设盛宴，表示庆贺，时，曾宰牛百千，广设盛宴，表示庆贺，对这个定理的重视可想而知。对这个定理的重视可想而知。43附2:有关勾股定理的资料探索探索毕达哥拉斯无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学!最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯(公元前572前497)。毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印
33、度文明甚至中国文明的丰富营养，大约在公元前530年又返回萨摩斯岛。后来又迁居意大利南部的克罗通，创建了自己的学派，一边从事教育，一边从事数学研究。毕达哥拉斯和他的学派在数学上有很多创造，尤其对整数的变化规律感兴趣。例如，把(除其本身以外)全部因数之和等于本身的数称为完全数(如6，28，496等)，而将本身大于其因数之和的数称为盈数；将小于其因数之和的数称为亏数。他们还发现了“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”，西方人称之为毕达哥拉斯定理，我国称为勾股定理。当今数学上又有“毕达哥拉斯三元数组”的概念，指的是可作为直角三角形三条边的三数组的集合。44附2:有关勾股定理的资料探索探索周髀算经 周
34、髀算经是解释“盖天说”的天文学著作，大约成书于公元前一世纪。书中有矩（一种量直角、画矩形的工具）的用途，勾股定理及其在测量上的应用，相似直角三角形对应边成比例定理等数学内容。周髀算经周髀算经是解释是解释“盖天说盖天说”的的天文学著作，大约成书于公元前一世天文学著作，大约成书于公元前一世纪。纪。书中有矩（一种量直角、画矩形书中有矩（一种量直角、画矩形的工具）的用途，勾股定理及其在测的工具）的用途，勾股定理及其在测量上的应用，相似直角三角形对应边量上的应用，相似直角三角形对应边成比例定理等数学内容。成比例定理等数学内容。45附2:有关勾股定理的资料探索探索赵 爽 周髀算经是解释“盖天说”的天文学著
35、作，大约成书于公元前一世纪。书中有矩（一种量直角、画矩形的工具）的用途，勾股定理及其在测量上的应用，相似直角三角形对应边成比例定理等数学内容。赵爽是三国时期东吴的数学家（公赵爽是三国时期东吴的数学家（公元三世纪初），曾注元三世纪初），曾注周髀算经周髀算经。他所作的他所作的周髀算经注周髀算经注中有一篇中有一篇勾股方圆图注勾股方圆图注全文五百余字，并附全文五百余字，并附有六幅插图，这篇注文简洁的总结了东有六幅插图，这篇注文简洁的总结了东汉时期勾股算术的重要成果，最早给出汉时期勾股算术的重要成果，最早给出并证明了有关勾股弦三边及其和、差关并证明了有关勾股弦三边及其和、差关系的二十多个命题，它的证明主
36、要是依系的二十多个命题，它的证明主要是依据几何图形面积的换算关系。据几何图形面积的换算关系。46附3:勾股定理的证明探索探索课外拓展 勾股定理是几何中一个非常重要的勾股定理是几何中一个非常重要的定理，自古以来人们进行了大量的定理，自古以来人们进行了大量的长期的研究，目前世界上长期的研究，目前世界上可查到的可查到的证明方法有几百种证明方法有几百种。47附3:勾股定理的证明探索探索证明方法一 火柴盒的倒下火柴盒的倒下abba48附3:勾股定理的证明探索探索证明方法二赵爽赵爽勾股方圆图注勾股方圆图注中的中的证明方法证明方法49附3:勾股定理的证明探索探索证明方法三课本课本P80中的证明方法中的证明方法50附3:勾股定理的证明a a2 2+b+b2 2=c=c2 2b2c2a2探索探索证明方法四51(a+b)(b+a)=c2+2ab a2+2ab+b2=c2+2 ab a2+b2=c2aabbcc附3:勾股定理的证明探索探索证明方法五
