1、线性规划应用题线性规划应用题1叙述线性规划的图解法步骤：画画出线性约束条件所表示的可行域；移在目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵（横）截距最大、最小的直线；求通过解方程组求出最优解；答作出答案第1页/共35页还原说明应用数学模型法解决实际问题的基本步骤：实际问题抽象概括数学模型实际问题的解数学模型的解推理演算第2页/共35页第3页/共35页例1：投资生产A产品时，每生产100t需要资金200万元，需场地200m2,可获利300万元；投资生产B产品时，每生产100m需要资金300万元，需场地100m2,可获利200万元.现某单位可使用资金1400万元，场地900
2、m2,问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成表格，以方便理解题意：然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解第4页/共35页解：设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，利润为s百万元23142900 xyxyxy则约束条件为32Sxy目标函数为作出可行域（如图），322Syx 将目标函数变形为32y2S，它表示斜率为，在轴上截距为的直线，平移直 线322Syx 13 5(,)422S29xy2314xy当它经过直线和的交点 时，最大，即s最大1353214.7542S 此时因此，生产A产品325吨，生产B产品250米
3、时，利润最大为1475万元第5页/共35页第6页/共35页第7页/共35页 甲产品（1t）乙产品（1t）资源限额（t）A种矿石（t）104300B种矿石（t）54200煤（t）49360利润（元）6001000 资源消耗品产品第8页/共35页求,取何值时，目标函数已知变量,满足约束条件xy非负约束变量非负约束变量煤资源约束种矿石资源约束种矿石资源约束yyxxyxByxAyx.0,0,36094,20045,300410 xyytZ1000600 取得最大值第9页/共35页采用上节课所讲的图解法求出最大值4.1229360 x4.34291000y，第10页/共35页第二类问题第二类问题 即给定
4、一项任务，如何合理安排和规划，即给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务任务第11页/共35页食物kg碳水化合物kg蛋白质/kg脂肪kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07第12页/共35页0.1050.1050.0750.070.140.060.140.070.0600 xyxyxyxy目标函数为：目标函数为：z28x21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域域7757146147600 xyxyxyxy第13页/共35页xyo5/75/
5、76/73/73/76/74321zyx 它表示斜率为它表示斜率为随随z变化的一组平行直变化的一组平行直线系线系34 是直线在是直线在y轴上的轴上的截距，当截距最小截距，当截距最小时，时，z的值最小。的值最小。21zM 如图可见，当直线如图可见，当直线z28x21y 经过可经过可行域上的点行域上的点M时，截距时，截距最小，即最小，即z最小。最小。第14页/共35页6714577yxyx得得M点的坐标为：点的坐标为：7471yx所以所以zmin28x21y16 由此可知，每天食用食物由此可知，每天食用食物A143g，食物，食物B约约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，能够满足日常饮食要
6、求，又使花费最低，最低成本为最低成本为16元。元。第15页/共35页解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤：（2 2）移移：在线性目标函数所表示的一组平行：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；点且纵截距最大或最小的直线；（3 3）求求：通过解方程组求出最优解；：通过解方程组求出最优解；（4 4）答答：作出答案。：作出答案。（1 1）画画：画出线性约束条件所表示的：画出线性约束条件所表示的可行域可行域；第16页/共35页A配件配件（个）（个）B配件配件（个）（个）耗时（耗时（h)甲产品甲产品乙产
7、品乙产品限限 制制414216812一、实际问题一、实际问题第17页/共35页设设甲、乙甲、乙两种产品分别生产两种产品分别生产x、y件件，由已知条件可，由已知条件可得二元一次不等式组得二元一次不等式组2y84x164y12x0y0 x284300 xyxyxy第18页/共35页将不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中将不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的的整点整点（坐标为整数坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。）就代表所有可能的日生产安排。yx4843ox+2y=8x=4y=3284300 xyxyxy第19页/共35页提出新问题：提出新问题：若生产一件若生产一件甲甲产品获
8、利产品获利2万元万元，生产，生产一件一件乙乙产品获利产品获利3万元万元，采用那种生产安排，采用那种生产安排利润最大利润最大？A配件配件（个）（个）B配件配件（个）（个）耗时（耗时（h)利润（万元）利润（万元）甲产品甲产品41乙产品乙产品42限限 制制161282万元万元3万元万元第20页/共35页yx4843oM设工厂获得的利润为设工厂获得的利润为z，则，则z2x3y 把把z2x3y变形为变形为 233zyx 23它表示斜率为它表示斜率为 在在y轴上的截距为轴上的截距为 的的直线。直线。3z当当z变化时，可以得变化时，可以得到到一族互相平行一族互相平行的的直线。直线。2x+3y=0令令z=0,
9、作直线作直线2x+3y=0第21页/共35页由上图可以看出，当经过直线由上图可以看出，当经过直线x=4x=4与直线与直线x+2y-8=0 x+2y-8=0的交点的交点M M（4 4，2 2）时，截距时，截距 的值最大，最大值的值最大，最大值为为 ，3z143这时这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品所以，每天生产甲产品4件，乙产品件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润件时，工厂可获得最大利润14万元万元。yx4843oM（4,2）(Zmax=2x+3y=24+32=14)第22页/共35页试求满足上述约束条件的，且使目标函数取得最小值（其中、均为正整数）设需截第一种钢板张，第二种钢板张，由题
10、xy.0,0,273,182,152yxyxyxyxyx,yxZxy中表格得第23页/共35页 例3 要将两种大小不同的钢板截成A，B，C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的决数如下表所示：A 规格B 规格C 规格第 一 种 钢板211第 二 种 钢板123规格类型钢板类型今需要A，B，C 三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少 第24页/共35页演示课件演示课件 直线，此直线经过直线和直线（为参数）经过可行域内的点且和原点距离最近的作出一组与直线平行的直线中ltyxt152 yx273yx)539,518(A557
11、 yx的交点，直线方程为第25页/共35页点）且与原点距离最近的直线是，由于和都不是整数，而最优解中，518539),(yxyx、12 yx)9,3(B)8,4(C)539,518(必须都是整数，所以，可行域内的点不是最优解经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的经过的整点是和，它们是最优解第26页/共35页第27页/共35页目标函数为.获利润为 千元，则设每天生产型桌子张，型桌子张，每天所AxByZ.0,0,93,82yxyxyxyxZ32 解：解：第28页/共35页且与原点距离最大，此时取得最大值上方平移至的位置时，直线经过可行域上的点，l032 yxlMyxZ32 如图，作出可行域，
12、把直线：向右第29页/共35页答：每天应生产型桌子2张，型桌子3张才能解方程组 得.,93,82yxyx3,2MAB获最大利润第30页/共35页第31页/共35页 1课本作业 ，习题7.4，第3、4题 65P第32页/共35页 某工厂生产和两种产品，按计划每天生产 产品各不得小于，已知生产产品需用煤，电4度，劳动力3个（按工作日计算）；生产产品需用煤，电5度，劳动力10个如果产品每吨价值7万元，产品每吨价值12万元，而且每天用煤不超过300，用电不超过200度，劳动力最多只有300个每天应安排生产两种 产品各多少，才能既保证完成生产计划，又能为国家创造最多的产值？2思考题：ABBA,t10At 1t 9Bt 1t 4ABtBA,第33页/共35页600 两种毛坯，且这两种毛坯数量比按大于 配套，mmmmmm313研究性题：有一批钢管，长度都是4000 ，要截成500 和问怎样截最合理？第34页/共35页
