1、知识点一Venn图(1)定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的 代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法.(2)适用范围：元素个数较少的集合.(3)使用方法：把 写在封闭曲线的内部.元素内部知识点二子集的概念文字语言符号语言图形语言集合A中 元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有 ，称集合A是集合B的子集A B(或BA)包含关系任意一个思考符号“”与“”有什么区别？答(1)“”是表示元素与集合之间的关系，比如1N，1 N.(2)“”是表示集合与集合之间的关系，比如NR，1,2,33,2,1.(3)“”的左边是元素，右边是集合，而“”的两边均为集合.知识点三集合相等如果集合
2、A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作AB.思考(1)集合0,1与集合(0,1)相等吗？答不相等.前者是数集，有两个元素：0和1；后者是点集，只有一个元素：数对(0,1).(2)集合xR|1x2与集合yR|1y2相等吗？答相等.虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于1且小于2的所有实数，所以这两个集合相等.知识点四真子集的概念定义符号表示图形表示真子集如果集合AB，但存在元素，称集合A是集合B的真子集AB(或BA)xB，且x A知识点五空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集.(
3、2)用符号表示为：.(3)规定：空集是任何集合的子集.思考0，与 之间有什么区别与联系？答0是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合，因此有 0，而 是含有一个元素 的集合，因此有 .知识点六子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的 ，即.(2)对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么.AC子集AA题型一有限集合的子集确定问题例1(1)写出集合a，b，c的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；解子集为：，a，b，c，a，b，b，c，a，c，a，b，c.真子集为：，a，b，c，a，b，a，c，b，c.(2)已知集合A满足a，bAa，b，c，d，求满足条件的集合A.解由题意可知，A中一定有
4、a，b，对于c，d可能没有，也可能有1个，故满足a，bAa，b，c，d的A有：a，b，a，b，c，a，b，d.1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n1个，非空真子集有2n2个.反思与感悟已知集合M满足2,3M1,2,3,4,5，求集合M及其个数.解当M中含有两个元素时，M为2,3；当M中含有三个元素时，M为2,3,1，2,3,4，2,3,5；当M中含有四个元素时，M为2,3,1,4，2,3,1,5，2,3,4,5；当M
5、中含有五个元素时，M为2,3,1,4,5；所以满足条件的集合M为2,3，2,3,1，2,3,4，2,3,5，2,3,1,4，2,3,1,5，2,3,4,5，2,3,1,4,5，集合M的个数为8.题型二集合间关系的判定例2指出下列各对集合之间的关系：(1)A1,1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)；解集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.(2)Ax|x是等边三角形，Bx|x是等腰三角形；解等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(3)Ax|1x4，Bx|x50；解集合Bx|x5，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图
6、可知AB.(4)Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN*.解由列举法知M1,3,5,7，N3,5,7,9，故NM.A.AB B.BAC.AB D.AB由于4k2122k21，4k212(2k21)1，且2k2表示所有的偶数，2k21表示所有的奇数，4k21与2k1(kZ)一样，都表示所有奇数.x2A.BA.故AB.故选C.答案C反思与感悟判断集合与集合关系的常用方法：(1)一一列举观察.(2)集合元素特征法：首先确定“集合的元素是什么”，弄清元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.一般地，设Ax|p(x)，Bx|q(x).若p(x)推出q(x)，则AB；若q(x)推出p(x)，则BA；
7、若p(x)，q(x)互相推出，则AB；若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn图判断.若AB和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系.集合Mx|x3k2，kZ，Py|y3n1，nZ，Sz|z6m1，mZ，则M，P，S之间的关系为()A.SPM B.SPMC.SPM D.SPM解析对于M：x3k23(k1)1，kZ，对于P：y3n1，nZ，MP.而z6m13(2m)1，mZ，SPM，故选C.C题型三集合相等例4已知M2，a，b，N2a，2，b2，若MN，求a与b的值.又a0，b0时，M2,0,0与集合的互异性矛
8、盾，故舍去.反思与感悟由AB(或AB)求字母的值时，要注意检验所求出的值是否满足集合中元素的互异性.A.1 B.1C.2 D.2C故ba2.题型四由集合间的关系求参数范围问题例5已知集合Ax|3x4，Bx|2m1xm1，且BA，求实数m的取值范围.解BA，(1)当B 时，m12m1，解得m2.解得1m2，综上得m|m1.反思与感悟1.求解集合中参数问题，应先分析，简化每个集合，然后应用数形结合思想与分类讨论思想求解；2.利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，其中特别要注意端点值的检验；3.注意空集的特殊性，遇到“BA”时，若B为含字母参数的集合，一定要分“B”和“B”两种情形讨论.已知集
9、合Ax|1x2，集合Bx|1xa，a1.(1)若AB，求a的取值范围；解若AB，由图可知a2.(2)若BA，求a的取值范围.解若BA，由图可知1a2.忽略空集的特殊性致误易错点例6设Mx|x22x30，Nx|ax10，若NM，求所有满足条件的a的取值集合.错解由NM，Mx|x22x301,3，得N1或3.正解由NM，Mx|x22x301,3，得N 或N1或N3.当N 时，ax10无解，即a0.易错警示错误原因纠错心得错解忽略了N 这种情况.空集是任何集合的子集.解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则.设集合Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210，aR，若BA，求实数a的取值范围.解因为Ax|x24x00，4，BA，所以B可能为，0，4，0，4.当B 时，方程x22(a1)xa210无解.所以4(a1)24(a21)0，所以a1.当B0时，方程x22(a1)xa210有两个相等的实数根0，解得a1.当B4时，方程x22(a1)xa210有两个相等的实数根4，该方程组无解.当B0，4时，方程x22(a1)xa210有两个不相等的实数根0和4，解得a1.综上可得a1或a1.
