1、大学数学基础教程第7章 常微分方程主要内容:一、微分方程的基本概念 二、一阶微分方程 三、可降阶的微分方程 四、二阶常系数线性微分方程一、微分方程的基本概念解：解：定义2定义1由上两例，得如下相关定义：定义4定义3定义5注意：通解不一定包含所有特解，因为有奇解定义6定义7定义8解:ktkCktkCdtdxcossin21ktCkktCkdtxdsincos221222ktCktCksincos212ktCktCksincos212212cossinkCktCkt0例1AC 102CktAxcos即：二、一阶微分方程22xyy 1、可分离变量的微分方程先看一个实例：形式：解法：两边积分 g y
2、dyf x dx特点：解：xydxdy2xdxydy2xdxydy221Cxe e 2xCe21xCye 例2解：xxdxyydy22111221ln211ln21Cyx12211ln21CyxxyC2211yx|01C12xy221112即：故所求特解为：例3解：CtMlnlntCeM例4如：0222dyxyxdxyxyxyxyxydxdy222xyxyxy212可化为：2、齐次方程dxduxudxdy udxduxu xdxuudu,得其解法为：xydxdy由齐次方程的形式：思路：解：12xyxyCxyyln例5解：21yyxx例6定义3、一阶线性微分方程 1lnlnCdxxPy dxxP
3、Cey其解法为：dxxPdxxPexPxuexu dxxPexuxP xQ dxxPexuxQ CdxexQxudxxP dxxPexuy解:333233xxxxu eueuee例7解:ydxxe12251x21dxxedxCdxxe1ln2251xdxex 1ln2C21 x251xdxx211C21 xCx23132例8三、可降阶的微分方程1、右端仅含x的方程对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为n-1阶方程：1)1()(Cdxxfyn21)2()(CdxCdxxfyn同理可得：依此法继续进行，接连积分n次，便得方程的含有n个任意常数的通解.)()(xfyn微分方程Cxeyx sin21
4、222cos41CCxxeyx32212sin81CxCxCxeyx21CC解:例92、右端不显含y的方程其特点：解法：),(yxfy 微分方程解:dxxxpdp212plnCxln1ln221lnxC例10211xCpCC12333Cxxy3、右端不显含x的方程yyfy,微分方程其特点：dxdpy dxdydydpdydpp解法：这是一阶微分方程，可解解:dydpp02 pdydpypydypdpCyplnlnlnyCp1CC1例1121lnCxCy四、二阶常系数线性微分方程1、二阶线性微分方程解的结构定理7.1 0)(111 yxQyxPy 0)(,222 yxQyxPy0)()()(22
5、1122112211 yCyCxQyCyCxPyCyC证明即：理解如：1Cy问题：线性相关性：如：0sincos23221xkxkk定理7.2 如：定理7.3如：0)(2rxeqprr2、二阶常系数线性齐次微分方程分三种情形讨论：1)2422,1qpprxrreyy2112xqpe4222)221prr如何求得第二个特解呢？由于)(11urueyxr)2(,2111ururueyxr 0)()2(12111 qurupururuexr0)()2(1211 uqprrupru0 u)0,02(1211qprrprCxu xrCxey1xrxrxeCeCy1121xrexCC1213)ir2,1x
6、iey1xixexsincosxiey2xixexsincos21121yyyxexcos21221yyyxexsinxeCxeCyxxsincos21xCxCexsincos21综上所述 即：rxexCCy21xCxCeyxsincos21xrxreCeCy2121解:0322 rrxeCy1xeC32012 rr2312,1irxey21xCxC23sin23cos21例13解:例12例14解:0122 rr1,21rrtetCCs21*41CteCs2tetC24*22Ctets243、二阶常系数线性非齐次微分方程 xQxQeyx*xQxQxQeyx 22*，则：xPexfmx情形1：x
7、QxQm设mmmmmbxbxbxbxb122110 xxQxQmmmmmmbxbxbxbxbx122110 xQxxQm2mmmmmbxbxbxbxbx1221102综上，xmkexQxy例15解:032 yyy0322 rr11r3,2r*01,yb xb*0,yb*0y00132331b xbbx13233100bbb31110bb例16解:065 yyy0652 rr3,221rrxxeCeCY3221xebxbxy210*00122b xbbx0212100bbb12110bbxexxy2*121*yYyxxxexxeCeC23221121 xPxPexfnlxsincosieePee
8、Pexixinxixilx22xinlxinleiPPeiPP2222 ximximexPexP其中：iPPxPnlm22iPPnl22 iPPxPnlm22iPPnl22 qyypy ximexP*2*1*yyy又 ximximexQexQ ximximxkexQexQexxixQxixQexmmxksincossincosxixQxixQexmmxksincossincos其中例170 yy012rir解:xdcxxbaxy2sin2cos*334cos2334sin2cos2axbcxcxdaxxx0430304313adccba940031dcbaxxxy2sin942cos31*例18解:
