1、第八章第八章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分第八章 曲线积分与曲面积分 本章将积分的概念推广到积分区域为一段曲线或一块曲面的情形，从而得到曲线积分与曲面积分。与重积分类似，它们是定积分的某些特定和式的极限在另一范畴的深化和推广。第八章 曲线积分与曲面积分 曲线积分与曲面积分各分为两类。它们都有鲜明的物理意义，要掌握好曲线积分与曲面积分的概念，其关键在于掌握好它们的物理意义。学习本章须弄懂基本概念，掌握性质，熟练运算。熟知两类曲线积分与两类曲面积分之间的联系。特别要掌握第二类曲线积分及第二类曲面积分与重积分之间的关系，即格林公式、高斯公式、斯托克斯公式。理解两类曲线积分的概念，理解两类曲线
2、积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。会计算两类曲线积分。掌握格林（掌握格林（Green）公式，）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。掌握掌握两类曲面积分的概念及高斯（高斯（Gauss）公式）公式、斯托克斯托克斯（斯（Stockes）公式）公式并会计算两类曲面积分。了解散度、旋度的概念及其计算方法。会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等）。本章的具体要求实例实例:曲线形构件的质量曲线形构件的质量匀质之质量匀质之质量.sM oxyAB1M2M1 iMiM1 nML),(ii 分割分割,121insMMM ,),(ii
3、is 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 近似值近似值取极限取极限.),(lim10 niiiisM 精确值精确值 1.第一型曲线积分第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）（对弧长的曲线积分）问题的提出问题的提出 1.第一型曲线积分第一型曲线积分-概念和性质概念和性质。若极限。令一点段上任取在第段的弧长记作第段分成将上有定义。我们在分段光滑的曲线段定义：设函数max),().,.,2,1(,),()1(1iniiiiisinisinLLzyxf称为弧微分。称为积分曲线。称为被积函数，其中dsLzyxf),(),(lim10iniiiisf记作做对弧长的曲线积分，叫的第一型
4、曲线积分，也沿曲线则称此极限为函数的任意取法都存在，的任意分割法及中间点对于曲线LzyxfLiii),(),(Ldszyxf,),(第一型曲线积分的几何意义第一型曲线积分的几何意义-柱面的侧面积柱面的侧面积 以 xy 平面上曲线 L 为准线，母线平行于 z 轴的柱面被曲面 :z=z(x,y)所截，位于 与 xy 坐标面之间的部分的面积为syxzSLd),(在L上取ds,则syxzd),(dSLSdS故有Ls yx)d,z(对弧长曲线积分的几何意义对弧长曲线积分的几何意义zxy0L(x,y)dsz(x,y),),(,),(LLdszyxmdsyxm第一型曲线积分的物理意义第一型曲线积分的物理意义
5、-曲线曲线L的质量的质量.LdsSL的弧长曲线特别地上可积的充分条件：在Lzyxf),()2(上连续。在一条分段光滑的曲线Lzyxf),(平面第一型曲线积分：)3(.),(),(Ldsyxfyxf的第一型曲线积分二元函数：第一型曲线积分的性质)4(上可积，且有也在函数与任意两个常数上可积，则对在与设两函数LzyxgCzyxfCCCLzyxgzyxfi),(),(,),(),()(2121.),(),(),(),(2121LLLdszyxgCdszyxfCdszyxgCzyxfC：第一型曲线积分的性质)4(上可积，且有在上均可积，则在每一个且而它们彼此不重叠，并所组成，段由有限条分段光滑曲线若曲
6、线LzyxfmiLzyxfLLLLiiim),()1(),(,.,)(21.),(.),(),(),(21mLLLLdszyxfdszyxfdszyxfdszyxfd)(Xf=L R2,f(X)=f(x,y),(x,y)L,d =dsLsyxfd),(对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分因为ds0.所以对弧长的曲线积分与曲线的方向无关：BAABDyxLAB：第一型曲线积分的性质)4(的走向无关。即第一型曲线积分与曲线)(iii.),(),(BAABdszyxfdszyxf如果曲线段L在,上是光滑的，则tttsd)()(22说明：利用微元法，取典型小区间t,t+dt,设M=(t),(t),M=(t+
7、dt),(t+dt)A=(),()B=(),()M=(t+dt),(t+dt)(t),(t)=Moxy)()d()()d(222ttttttMM,d)d(d)d(2221tttttt).10(21，其中),d(d)(d)d(1tottttt),d(d)(d)d(2tottttt有上连续在由于.,A=(),()B=(),()M=(t+dt),(t+dt)(t),(t)=Moxy)d(d)(d)(222tottttMM),d()d()d(22toyx)d()d()d(22toyxMM).d()d()d(22toyx22)d()d(dyxs.d )()(22ttt.d )()(22ttts弧长微元d
8、s为022若曲线段曲线段L由直角坐标方程由直角坐标方程y=f(x),)(bxa给出，可视x为参数,得参数方程,bxax=x,y=f(x),从而,弧长增加方向和x增加方向一致时,有,d)(1d2xxfsxxfsbad)(12又若曲线段曲线段L由直角坐标方程由直角坐标方程dyygxc ),(,d)(1d2yygs.d)(12yygsdc给出,则当弧长增加方向与y增加方向一致时,有还若曲线段曲线段L由极坐标方程由极坐标方程 ,)(rr给出,则当弧长增加的方向与增加方向一致时,有22)d()d(dyxs22)dcosdsin()dsindcos(rrrr,d22rr.d)()(22rrs曲线段方程弧长
9、 s 计算公式参数方程直角坐标系直角坐标系极坐标系),(),(tytxtbxaxfy ),(dycygx ),(),(rrtttsd)()(22baxxfsd)(12dcyygsd)(12d)()(22rrs22)d()d(dyxs2.第一型曲线积分的计算第一型曲线积分的计算计算平面第一型曲线积分的)1(上连续，则有在定函数上有连续的导数。又假在其中所给出，是由函数：设曲线定理LyxfbaxyybxaxyyL),(,)()(1.)(1)(,(),(2dxxyxyxfdsyxfbaL曲线由参数方程给出时曲线由参数方程给出时的参数方程是：设曲线定理L2.)()()(),(),(22dtttttfd
10、syxfL则有上连续在若上有连续的一阶导数。在与其中函数,),(,)()(Lyxftt,),(),(ttytxxyzO曲线积分曲线积分定积分定积分(1)L：y=y(x),axb假设 y(x)C1(a,b).有xxyxyxfsyxfbaLd)(1)(,(d),(2(a b)xxysd)(1d2 计算：计算：(2)L：x=x(y),cyd假设 x(y)C1(c,d).有yyxyyxfsyxfdcLd)(1),(d),(2(c d)yyxsd)(1d2曲线积分曲线积分定积分定积分(3)L：假设 (t)，(t)C1(,).有tttttfsyxfLd)()()(),(d),(22()tttsd)()(d
11、22曲线积分曲线积分定积分定积分x=(t)y=(t),t(4)L：假设 r()C1(,).有d)()()sin()(,cos)(d),(22rrrrfsyxfLd)()(d22rrs曲线积分曲线积分定积分定积分 ,)(rr(0)内部的那部分面积.解解：A=4A1,:2xaxyL0 xaLsyxaAd2221zyxLxxaxaaxaad2202axxaa0d22a24aA xxyxyxaad)(1)(20222zyxLLsyxaAd2221例例1.计算计算 Lxyds其中其中L为为222ayx 在第二象限的部分在第二象限的部分解一解一将将L表示为表示为0,22 xaxaydxyds21 dxxa
12、a22 dxxaaxaxxydsLa22022 23a 解二解二将将L表示为表示为ayyax 0,22dyxds21 dyyaa22 dyyaayyaxydsLa22022)(23a 例例1.计算计算 Lxyds其中其中L为为222ayx 在第二象限的部分在第二象限的部分adtdttatads 22)cos()sin(Ladttataxyds 2sincos23a 解三解三将将L表示为参数方程表示为参数方程 taytaxsincos)2(t例例1.计算计算 Lxyds其中其中L为为222ayx 在第二象限的部分在第二象限的部分例例2).(,sin,cos:,象象限限第第椭椭圆圆求求 tbyta
13、xLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 例例3.)2,1()2,1(,4:,2一一段段到到从从其其中中求求 xyLydsILxy42 解解dyyyI222)2(1 .0 例例4)20(.,sin,cos:,的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsI解解 dkaka222sincos 20I.21222kaka 实例实例:变力变力F沿曲线沿曲线L所作的功所作的功,:BALjyxQiyxPyxF
14、),(),(),(常力常力F沿直线沿直线AB所作的功所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1jyixMMiiii .ABFW 2.第二型曲线积分（对坐标轴的曲线积分）第二型曲线积分（对坐标轴的曲线积分）问题的提出问题的提出oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 求和求和.),(),(1 niiiiiiiyQxP 取极限取极限.),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精确值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即
15、即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 2.第二型曲线积分第二型曲线积分1.第二型曲线积分的概念第二型曲线积分的概念若极限上任取一点在并令的弧长记作个有向小线段分成将的方向顺序用分点上有定义。按在线，向量函数的一条有向分段光滑曲到点是从点定义：设).,(.max,).,.,2,1(),(),(),.,(),(),(),(),()1(1111111111000iiiiiniiiiiinnnnnnAAssAAniAAnLByxAyxAyxAyxAALLjyxQiyxPyxFBAL的曲线积分，记作叫做对坐标的第二型曲线积分，也到从沿曲线则称此极限为向量函数的
16、取法的分割法及中间点不依赖于对曲线存在其中BALyxFLyyyxxxiiiiiiii),(),),(),(11称为积分路径。有向线段其中BAdydxdr).,(,),(BABAdryxFQdyPdx或),(),(lim),(lim10110iiiiniiiiiniiiyQxPAAF.drFWBA特别地，(2)空间曲线空间曲线L的第二型曲线积分的第二型曲线积分),(),(),(),(),(dzdydxdrzyxRzyxQzyxPzyxFLLdzzyxRdyzyxQdxzyxPdrzyxF.),(),(),(),(对坐标轴的曲线积分对坐标轴的曲线积分(3)第二型曲线积分的性质第二型曲线积分的性质，
17、则有的第二型曲线积分存在沿曲线与设BAMGMF)()(在，且的第二型曲线积分也存沿曲线 BAMGkMFk)()()1(21,)()()()(2121BABABAdrMGkdrMFkdrMGkMFk为任意常数。，其中21kk一致，则的走向与与组成并及由若曲线ABCBACCBACAB)2(BCCABAdrMFdrMFdrMF.)()()(分值的符号相反，即积分路径方向相反则积)3(.)()(BAABdrMFdrMF2.第二型曲线积分的计算第二型曲线积分的计算-(1)平面曲线平面曲线L由参数方程给出由参数方程给出的参数方程为：设曲线定理L1.)()(),()()(),(),(),(dttttQttt
18、PdyyxQdxyxPBA，或)(),(),(tttytx上连续，则有计算公式在曲线函数。若变到上的点由时，曲线变到由或递减递增单调地有连续的一阶导数。当其中LyxQyxPBALttt),(),()()(),(对应起点对应起点A对应终点对应终点B(2)平面曲线平面曲线L由由y=g(x)给出给出.)()(,()(,(),(),(baBAdxxgxgxQxgxPdyyxQdxyxP(3)平面曲线平面曲线L由由x=h(y)给出给出.),()(),(),(),(dcBAdyyyhQyhyyhPdyyxQdxyxP曲线积分的基本算法是化为参数的定积分曲线积分的基本算法是化为参数的定积分(4)空间曲线空间
19、曲线L由参数方程给出由参数方程给出.)()(),(),()()(),(),()()(),(),(),(),(),(dtttttRttttQttttPdzzyxRdyzyxQdxzyxPBA).(),(),(),(tttztytx或，曲线积分的基本算法是化为参数的定积分曲线积分的基本算法是化为参数的定积分例例1计算计算Ldyxyxydx)(其中L分别为图中的路线:(i)AB(直线直线);(ii)ACB(抛物线抛物线(iii)ADBA(三角形三角形)A(1,1)D(2,1)B(2,3)c解解:(i)AB(直线)的方程为:y=2x-1ABx:12()Lxydxyx dy21(21)(21)2xxxx
20、dx.6251)1(22xy例例1计算计算Ldyxyxydx)(其中L分别为图中的路线:(i)AB(直线直线);(ii)ACB(抛物线抛物线(iii)ADBA(三角形三角形)A(1,1)D(2,1)B(2,3)c解解:(ii)ACB的方程为的方程为:22(1)yxABx:122221 2(1)1 2(1)1)4(1)xxxxxdx 103原式原式1)1(22xy例例1计算计算Ldyxyxydx)(其中L分别为图中的路线:(i)AB(直线直线);(ii)ACB(抛物线抛物线(iii)ADBA(三角形三角形)A(1,1)D(2,1)B(2,3)c解解:(iii)()Lxydxyx dy()ADxy
21、dxyx dy()DBxydxyx dy()BAxydxyx dy()ADxydxyx dy32()DBxydxyx dy0()BAxydxyx dy256 32580263 1)1(22xy例例2计算计算,Lxdyydx其中：其中：(i)沿抛物线沿抛物线 y=2x2,从从O到到B的一段；的一段；(ii)沿直线沿直线 y=2x 从从O到到B的一段；的一段；(iii)沿封闭线路沿封闭线路OABO。xyOAB解解:(i)Lxdyydx120(4)2xxx dx12062x dx(ii)Lxdyydx10(22)xx dx 2(ii)LxdyydxOAxdyydxABxdyydxBOxdyydxOA
22、xdyydx10000 xdx ABxdyydx20102dyyBOxdyydxOBxdyydx 2 0Lxdyydx例例3 计算计算22,Lxdyydxxy 其中其中L为圆心在原点半径为为圆心在原点半径为r 的圆周的圆周,取逆时针方向取逆时针方向.解解:L的参数方程为的参数方程为02cos,sin,xrttyrt 22Lxdyydxxy 220coscossin(sin)rt rtrt rtdtr 2012.dt 例例3计算计算2(),LIxydxxy dyx dz 其中其中L是螺旋线是螺旋线从从0t 到到t 一段一段.xyz解解:2()LIxydxxy dyx dz 0 cossin(si
23、n)at atat (cossin)cosatat at22cosat b dt2112().ab,)(,sin)(,cos)(bttztatytatx例例2解解).1,1(),0,1(),0,0(,)3()1,1()0,0()2()1,1()0,0()1(,2222依次是点这里有向折线的一段；到上从抛物线的一段；到上从抛物线为其中计算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxLB(1,1)A(1,0)y=x2x=y2oyx.15 )22(2.10,:)2(.14 )22(2.10,:)1(104104222103102222dxydyyyyydyxxydxyyxLdxxdxxxxxdyxx
24、ydxxxyLLL所以变到从所以变到从例例1解解).1,1(),0,1(),0,0(,)3()1,1()0,0()2()1,1()0,0()1(,2222依次是点这里有向折线的一段；到上从抛物线的一段；到上从抛物线为其中计算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxLB(1,1)A(1,0)y=x2x=y2oyx1)102()002(222.10,1:;10,0:)3(10102222dyydxxxdyxxydxdyxxydxdyxxydxyxABxyOALABOAL变到从变到从例例4解解为顶点的正方形围线。为以其中计算)1,0(),0,1(),1,0(),0,1(,|DCBAABCDAyx
25、dydxABCDA.101:01-1:1-01:01,1:变到从，；变到从，；变到从，；变到从四线段的方程依次为xxyDAxxyCDxxyBCxxyABA(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1).02020 1111|101010011001dxdxxxdxdxxxdxdxxxdxdxxxdxdxyxdydxyxdydxyxdydxyxdydxyxdydxDACDBCABABCDA3.第一型曲线积分与第二型曲线积分的联系第一型曲线积分与第二型曲线积分的联系当空间曲线当空间曲线L由参数方程给出由参数方程给出.),(),(),(ttzztyytxx，则dttztytxdzdydxdr)(
26、),(),(),(dsdttztytxdzdydxdr222222)()()()()()(|dsdzdydxoyzx则有的方向余弦为设,cos,cos,cosdr).,(|)cos,cos,(cosdsdzdsdydsdxdrdr.coscoscosdsdzdsdydsdx，即.)coscoscos(dsRQPRdzQdydxPABBA因此.)coscos(dsQPQdydxPABBA对于平面曲线有),(dzdydxdr dsdr|dsdzdydxoyzx.)coscoscos(dsRQPRdzQdydxPABBA的切向量的方向余弦。是与曲线方向保持一致)cos,cos,(cos 3.格林公式
27、格林公式平面第二型曲线积分与路径无关的条件平面第二型曲线积分与路径无关的条件其他处不自交的曲线）（即起点与终点重合，上是一一映射，且连续，在在的像，其中是一个映射如果).()(,:2 RL无界。有界（内部），另一个个区域分成两个区域，其中一注：简单闭曲线将平面1.1.简单闭曲线简单闭曲线L界集合。有界集合，另一个为无开集组成，其中一个为由两个连通的则中的一条简单闭曲线，是如果lRRL22无界。有界（内部），另一个个区域分成两个区域，其中一注：简单闭曲线将平面2.2.若尔当定理若尔当定理作多连通区域。为单连通区域，否则称之中，则称线的内部都包含于中的任意一条简单闭曲若平面区域DDD3.3.单连通
28、区域单连通区域/多连通区域多连通区域区域）是单连通区域；的部（简单闭曲线所围成：一条简单闭曲线的内注1(单连通区域单连通区域)作多连通区域。为单连通区域，否则称之中，则称线的内部都包含于中的任意一条简单闭曲若平面区域DDD3.3.单连通区域单连通区域/多连通区域多连通区域。集合不再是单连通区域或若干个闭区域，所剩或若干个点挖去一个点：在一个单连通区域中注A2(多连通区域多连通区域)总落在左侧。指沿这方向前进时区域的正向是所组成，边界曲线一条或几条简单闭曲线是由的边界为。设区域规定了正向的边界曲线LLLDL,之正向是逆时针方向。曲线成的有界区域，其边界由一条简单闭曲线所围.a4.L4.L+当观察
29、者沿区域当观察者沿区域D的边界曲线的边界曲线L行走时行走时 如如果左手在区域果左手在区域D内内 则则行走方向是行走方向是L的正向的正向 单连通区域总落在左侧。指沿这方向前进时区域的正向是所组成，边界曲线一条或几条简单闭曲线是由的边界为。设区域规定了正向的边界曲线LLLDL,4.L4.L+向。曲线的正向是顺时针方边界针方向，而内层的几条边界曲线的正向是逆时的成的有界区域，最外层由几条简单闭曲线所围.b多连通区域 当观察者沿区域当观察者沿区域D的边界的边界曲线曲线L行走时行走时 如果左手在区域如果左手在区域D内内 则行走方向是则行走方向是L的正向的正向 则有格林是逐段光滑的，的边界有连续的一偏阶导
30、数，上在有界闭区域，：设函数定理LDDyxQyxP),(),(1,)(dxdyyPxQQdyPdxDL5.5.格林公式格林公式的正向边界。为区域其中DL是多连通区域。个。轴的直线的交点多于一平行于与的边界且是单连通区域围成。由区域是多连通区域。个。轴的直线的交点多于一平行于与的边界且是单连通区域围成。由区域要证DxLDDdycyyxxyxxDdxdyxQQdyDyLDDbxaxxyyxyyDdxdyyPPdxDLDL)3(,)2(,),(),()1()3(,)2(,),(),()1(2121格林公式的证明：格林公式的证明：围成。由区域bxaxxyyxyyD,),(),()1(21格林公式的证明
31、：格林公式的证明：多于一个。轴的直线的交点于与平行的边界且是单连通区域yLDD,)2(是多连通区域。D)3(a)(1xyy b)(2xyy 围成。由区域bxaxxyyxyyD,),(),()1(21格林公式的证明：格林公式的证明：.)(,()(,(0)(,(0)(,(2121babaabbaAABABBBALdxxyxPdxxyxPdxxyxPdxxyxPPdxPdxPdxPdxPdx有由二重积分的计算法，另一方面,.)(,()(,(12)()(21bababaxyxyDdxxyxPdxxyxPdyyPdxdxdyyP式，有则由曲线积分的计算公dxdyyPPdxDLa)(1xyy b)(2xy
32、y ABBA格林公式的证明：格林公式的证明：都成立。整个区域上消。因此要证的公式在积分正好抵所以在辅助线上的曲线分方向相反，要证的公式，而曲线积次使用了对于所引的辅助线，两成立的。的公式是在每个小区域上，要证的曲线围成。所示情况使得每个小区域都是由分成有限个小区域，引辅助线将)()()1()(cbDadxdyyPPdxDL个。轴的直线的交点多于一平行于与的边界且是单连通区域yLDD,)2(格林公式的证明：格林公式的证明：都成立。整个区域上消。因此要证的公式在积分正好抵所以在辅助线上的曲线分方向相反，要证的公式，而曲线积次使用了对于所引的辅助线，两成立的。的公式是在每个小区域上，要证的曲线围成。
33、所示情况使得每个小区域都是由分成有限个小区域，引辅助线将)()()1()(cbDadxdyyPPdxDL是多连通区域。D)3(格林公式的证明：格林公式的证明：dxdyxQQdyDL类似可证是多连通区域。直线的交点多于一个。轴的与平行于的边界且是单连通区域围成。由区域DxLDDdycyxxxxxxD)3(,)2(,),(),()1(21戴。必须校对，不能张冠李意其正方向；必须是“闭”的，且注曲线是否有间断点；，注意)(),(3.2.1x,yQx,yPLyPxQ应用格林公式的注意事项应用格林公式的注意事项,)(dxdyyPxQQdyPdxDLLDQdyPdxdxdyyPxQ)(设闭区域D由分段光滑
34、的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有 其中L是D的取正向的边界曲线格林公式 应注意的问题应注意的问题:对多连通区域对多连通区域D 格林公式右端应包括格林公式右端应包括沿区域沿区域D的全部边界的曲线积分的全部边界的曲线积分 且边界的且边界的方向对区域方向对区域D来说都是正向来说都是正向 Green 公式主要用于通过化曲线积分公式主要用于通过化曲线积分为二重积分来计算曲线积分为二重积分来计算曲线积分的面积。所围区域曲线时，当DLQdyPdxyPxQL1.21,21),(,21),()3(.,),(,0),()2(.,0),(,),()1(DDDydxxdyDx
35、yxQyyxPxdyDxyxQyxPydxDyxQyyxP的面积的面积的面积格林公式的特殊情况格林公式的特殊情况-计算平面区域的面积计算平面区域的面积在少数特殊清况下在少数特殊清况下,可用可用Green 公式化二重积分为曲线积分公式化二重积分为曲线积分,)(dxdyyPxQQdyPdxDL1.1.简化曲线积分简化曲线积分例例 1 1 计算计算 ABxdy,其中曲其中曲线线AB是半径为是半径为r的圆在的圆在第一象限部分第一象限部分.解解 引引入入辅辅助助曲曲线线L,BOABOAL xyoLAB应应用用格格林林公公式式,xQP ,0 有有 LDxdydxdy,BOABOAxdyxdyxdy,0,0
36、 BOOAxdyxdy由于由于.412rdxdyxdyDAB ,)(dxdyyPxQQdyPdxDL 解 yPyxxyxQ22222)(022Lyxydxxdy 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 当当(0 0)D时时 由格林公式得 记L所围成的闭区域为D 这里22yxyP 22yxxQ 例 计算Lyxydxxdy22 其中L 为一条无重点、分段光滑且 ,)(dxdyyPxQQdyPdxDL在D内取一圆周l:x2y2r2(r0)当当(0 0)D时时 记L及l所围成的多连通区域为D1 应用格林公式得0)(122 dxdyyPxQyxydxxdyDlL 其中l的方向取顺时针方向 于是 l
37、Lyxydxxdyyxydxxdy22222022222sincosdrrrlLyxydxxdyyxydxxdy22222022222sincosdrrr2 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 例 计算Lyxydxxdy22 其中L 为一条无重点、分段光滑且 ,)(dxdyyPxQQdyPdxDL.),(,),(42222yuxuuLyxunuuddsnuDLDyxuDL数，的外法线方向的方向导沿表示函数其中：边界且逐段光滑，证明的为，上有连续的二阶偏导数在有界闭区域：设函数例则量，设的外法线方向的单位向为余弦为的单位切向量，其方向为设).,(),cos,(cos000banLnLt
38、证明：证明：,00000ktntn.)coscos(0coscos00coscos0000kkbabakjitnbatn即DLyxon0n0t0t0cos,cosba.),(,),(42222yuxuuLyxunuuddsnuDLDyxuDL数，的外法线方向的方向导沿表示函数其中：边界且逐段光滑，证明的为，上有连续的二阶偏导数在有界闭区域：设函数例),cos,(cos0n证明：证明：.)()()coscos()cos,(cos),(DDLLLLudxdydxdyyuyxuxdxyudyxudsyuxudsyuxudsnu格林公式2.2.简化二重积分简化二重积分例例 2 2 计计算算 Dydxd
39、ye2,其其中中D是是以以)1,0(),1,1(),0,0(BAO为为顶顶点点的的三三角角形形闭闭区区域域.xyo11AD解解 令令2,0yxeQP ,则则 2yeyPxQ ,应应用用格格林林公公式式,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e B,)(dxdyyPxQQdyPdxDL 例 求椭圆xacos ybsin 所围成图形的面积A 解 LydxxdyA212022)cossin(21dabababdab2021若用二重积分计算则较繁琐:22222204baaaabDaaxbAdxdydxdydxaaxax2204cosabtdta
40、babsinxat令2022)sincos(21dabab,)(dxdyyPxQQdyPdxDL例例 4 4 计计算算抛抛物物线线)0()(2 aaxyx与与x轴轴所所围围成成的的面面积积.解解)0,(aANMONA为为直直线线0 y.曲线曲线AMO由函数由函数,0,axxaxy 表示表示,LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121 AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa ,)(dxdyyPxQQdyPdxDLxaxy由对称性，只需计算第一象限部分的面积由对称性，只需计算第一象限部分的面积14SS aydx04)sin
41、,cos(33taytax 令令 0223)sin(cos3sin4 dtttata 20242)sin1(sin12 dttta)221436522143(122 a283a 例例5计算星形线计算星形线 所围图形的面积所围图形的面积 323232ayx 解一解一用定积分用定积分解二解二用曲线积分用曲线积分 LydxxdyS21 202323)sin(cos3sincossin3cos21dtttatattata 20222cossin23tdtta 2022)2cos1(4123dtta 202)4cos1(21183dtta283a 例例5计算星形线计算星形线 所围图形的面积所围图形的面积
42、 323232ayx ,)(dxdyyPxQQdyPdxDL)sin,cos(33taytax 令令充要条件：曲线积分与路径无关的2.2.平面第二型曲线积分与路径无关的条件平面第二型曲线积分与路径无关的条件线积分为零，即的曲沿滑闭曲线内任意一条简单逐段光对于件是：内与路径无关的充要条在区域曲线积分内任意取定两点命题：在区域CCDDQdyPdxBADAB,.,.0CQdyPdx证明：必要性证明：必要性两段。则有与被分成设曲线上两点及闭曲线内任意取一条逐段光滑在AmBAnBCBACCD.,.0CQdyPdx.0CQdyPdx曲线积分与路径无关0AnBAmBQdyPdxQdyPdxAmBAnBQdy
43、PdxQdyPdx0BnAAmBQdyPdxQdyPdxAnDBm2.2.平面第二型曲线积分与路径无关的条件平面第二型曲线积分与路径无关的条件曲线积分，与内任意取定的两点对有一阶连续偏导数，则内在与是单连通区域，函数：设定理BADDyxQyxPD),(),(2xQyPABdyyxQdxyxP),(),(是等式与路径无关的充要条件内处处成立。在D证明：充分性证明：充分性和格林公式可知有界，由是单连通的定义，所围区域记为单闭曲线内处处成立，可任取简在由111),(,DDDDDCDCDxQyP曲线积分与路径无关。xQyP出再根据前面的命题可推0)(),(),(1DCdxdyyPxQdyyxQdxyx
44、P与路径无关。ABdyyxQdxyxP),(),(CD1D证明：必要性证明：必要性)(.2).,()(.0|)(,0000000极限不等式的推论上有在边界为为半径为圆心以存在义可知内连续，再由连续的定在根据已知条件使得反证法。设ayPxQDCrMDMUDyPxQayPxQDMrM。曲线积分与路径无关xQyPC0D0DM0r证明：必要性证明：必要性上应用格林公式在0D。曲线积分与路径无关xQyP命题，可知是简单闭曲线及前面的再由假设DC 0.022 )(),(),(2000radxdyadxdyyPxQdyyxQdxyxPDDC矛盾。.0),(),(0CdyyxQdxyxP.20ayPxQD上有
45、在C0D0DM0r 解 yPyxxyxQ22222)(022Lyxydxxdy 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 当当(0 0)D时时 由格林公式得 记L所围成的闭区域为D 这里22yxyP 22yxxQ 例 计算Lyxydxxdy22 其中L 为一条无重点、分段光滑且 在D内取一圆周l:x2y2r2(r0)当当(0 0)D时时 记L及l所围成的多连通区域为D1 应用格林公式得0)(122 dxdyyPxQyxydxxdyDlL 其中l的方向取顺时针方向 于是 lLyxydxxdyyxydxxdy22222022222sincosdrrrlLyxydxxdyyxydxxdy2222
46、2022222sincosdrrr2 不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 例 计算Lyxydxxdy22 其中L 为一条无重点、分段光滑且 v应用定理应用定理2应注意的问题应注意的问题 (1)区域D是单连通区域 2函数P(x y)及Q(x y)在D内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立.0 xQyPQdyPdxQdyPdxLL与路径无关讨论讨论:设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 问 是否一定成立？022Lyxydxxdy提示提示:在上例中已看到,当L所围成的区域含有原点时,上面的闭路积分不等于0,其原因在于
47、区域内含有破坏函数P,Q,及,QPxy连续性条件的点(0,0).yPyxxyxQ22222)(则 ABOALdyxxydxdyxxydxdyxxydx222222.0 xQyPQdyPdxQdyPdxLL与路径无关 解 这里P2xy Qx2 选择从O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线 11102dy 因为xxQyP2 所以积分 Ldyxxydx22与路径无关 物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 例 计算Ldyxxydx22 其中L 为抛 例例 1 1 计计算算 Ldyyxdxxyx)()2(422.其其中中L为为由由点点)0,0(O到到点点)1,1(B的的
48、曲曲线线弧弧2sinxy .解解xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 xQyP ，原积分与路径无关原积分与路径无关 故故原原式式 101042)1(dyydxx.1523 例例 2 2 设设曲曲线线积积分分 Ldyxydxxy)(2与与路路径径无无关关,其其中中 具具有有连连续续的的导导数数,且且0)0(,计计算算 )1,1()0,0(2)(dyxydxxy.解解,),(2xyyxP),(),(xyyxQ ,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ 积积分分与与路路径径无无关关xQyP ，由由xyxy2)(cxx 2)(由由0)0(，知知0 c 2)(xx .故故 )1,1
49、()0,0(2)(dyxydxxy 10100ydydx.21,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ 积积分分与与路路径径无无关关xQyP ，2.2.平面第二型曲线积分与路径无关的条件平面第二型曲线积分与路径无关的条件式一阶连续偏导数，则等上有在单连通区域与：设函数定理DyxQyxP),(),(3yPxQ.),(QdyPdxyxdu的全微分，即有恰是某个函数内恒成立的充要条件是在),(yxuQdyPdxD证明：充分性证明：充分性.)(2xyuxyuxQ所以.),(yPxQQdyPdxyxdu.,),(QyuPxuQdyPdxyxdu由.,2222xQyPxyuyxuxyuyxuDQ
50、P而混合偏导数连续连续，可知上的一阶偏导数连续，在由.)(2yxuyxuyP证明：必要性证明：必要性.),(QdyPdxyxduyPxQ的条件，则有可知，满足定理由2xQyP与路径无关。ABQdyPdxOyx),(00yxA),(yxxB),(yxBxx令且取任取.,)(,),(,),(00DBBDxxBDABDyxBDyxA.),(),(),(00AByxyxQdyPdxQdyPdxyxu证明：必要性证明：必要性.),(QdyPdxyxduyPxQBBABABQdyPdxQdyPdxQdyPdxOyx),(00yxA),(yxxB),(yxBxx).,(),(),(),(),(),(),()
