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北京普通高中教科书数学必 修人民教育出版社 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著第一册普通高中教科书 数学 必修 第一册人民教育出版社 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心 编著出 版 （北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081）网 址 http:/重 印 出版社发 行 新华书店印 刷 印刷厂版 次 年月第 版 印 次 年 月第 次印刷开 本 890 毫米 1240 毫米 1/16印 张 插 页字 数 千字印 数 册书 号 ISBN978-7-107-定 价 元定价批号：号 审图号：GS（）号版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：如发现印、装质量问题，影响阅读，请与 联系调换。电话：-主 编：章建跃 李增沪副 主 编：李 勇 李海东 李龙才本册主编：李海东 郭玉峰编写人员：王 嵘 白 涛 刘长明 刘春艳 李柏青 宋莉莉 张劲松 周远方 赵 昕 胡永建 俞求是 郭玉峰 郭慧清 黄炳锋 章建跃 薛红霞责任编辑：王 嵘美术编辑：王俊宏书 书 书主编寄语亲爱的同学，欢迎使用这套教科书，希望它能成为你学习数学的好帮手在开始学习前，我们想就数学学习中的一些问题与你做点交流首先，你想过为什么要学那么多数学吗？高中生应该认真思考这个问题了其实道理很明显，就是因为数学有用数学不仅对社会发展和科技进步作用巨大，而且对你个人的发展也很重要努力学好数学对你的人生幸福意义重大，这个道理在你今后学习、工作和生活中会逐步体会到第二，要采用多样化学习方式高中数学内容的抽象程度提高了，要以更加积极主动的态度、刻苦钻研的精神，采取阅读自学、独立思考、实践探究、合作交流等多种学习方式，才能更好地掌握它内容越抽象，就越需要静下心来，持之以恒地思考，然后才能有所领悟、有所收获第三，注重基础，拾阶而上数学的特点是逻辑严谨，从概念到性质再到应用环环相扣，前面知识未理解，后续学习就必然会遇上实质性困难学数学，既没有捷径，也没有灵丹妙药，唯有按数学的方式，按部就班地学，循序渐进地想，在基础知识上下足功夫，才能取得好成效第四，按学习规律办事理解概念、熟练技能和准确表达是数学学习的“三要素”，做好这些的要诀是遵循学习规律，掌握学习节奏概念是数学的精要所在，必须深刻理解、牢固掌握，因此概念学习要“慢慢来”例如，函数是贯穿高中数学的一条主线，是重中之重的内容，因为其抽象程度高而成为许多同学的学习难点在起始阶段囫囵吞枣、贪多求快，就会给后续学习埋下隐患学好它的秘诀在于慢，慢下来，仔细阅读教科书，用心揣摩每句话，搞懂每个例题，在探究、质疑、反思中逐渐领悟函数的概念及其蕴含的数学思想和方法，并用简明扼要的语言概括出来，从而实现认识的升华这个过程，貌似慢而实为快，在反复推敲中悟出学习窍门，达到举一反三、触类旁通的效果，进而一通百通，由慢转快这样的快是真快，是无后顾之忧的快，是充满智慧的快第五，重视严格的数学训练，独立完成作业做作业的目的是：加深理解知识，熟练基本技能；学会思考，培养数学能力；查漏补缺，培养良好的学习习惯本套书中的习题是精心挑选的，看似不难但寓意深刻，要高度重视完成作业，独立思考最重要，遇到困难不能轻言放弃有含金量的数学题往往要绞尽脑汁，一时做不出很正常，如果浅尝辄止，急于“刷题”看答案，这是自欺欺人，受害的是你自己最后，学习贵在创新理解概念、学会证明、领会思想、掌握方法都是必备基础，还要善于发现和提出问题，“凡事问个为什么”，这样才能学会学习在这套教科书中，我们注重在提问方面做出示范，期望你能“看过问题三百个，不会解题也会问”学数学趁年轻高中阶段是接受数学训练、打好数学基础的最佳时期这个时期下功夫学数学，将使你终生受益期盼这套教科书能给你带来愉快，使你的数学素养得到大幅提升本书根据普通高中数学课程标准（年版编写，包括“集合与常用逻辑用语”“一元二次函数、方程和不等式”“函数的概念与性质”“指数函数与对数函数”“三角函数”五章内容集合是刻画一类事物的语言和工具，是现代数学的基础；常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具在“集合与常用逻辑用语”的学习中，同学们将学习集合的概念、基本关系和运算，学习用集合语言刻画一类事物的方法；并学习用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，为高中数学学习做准备相等关系和不等式关系是数学中最基本的数量关系在“一元二次函数、方程和不等式”的学习中，同学们将类比等式学习不等式通过梳理初中数学的相关内容，理解一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系，从函数观点认识方程与不等式，感悟数学知识之间的关联，完成初高中数学学习的过渡函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，它的思想方法贯穿了高中数学课程的始终在“函数的概念与性质”中，同学们将在初中的基础上，进一步学习运用集合与对应的语言刻画函数概念，学习函数的基本性质，并通过幂函数的学习感受如何研究一个函数，如研究的内容、思路和方法，进一步感受函数的思想方法和广泛应用“指数爆炸”“对数增长”是生活中常见的变化现象在“指数函数与对数函数”中，同学们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数与对数函数的概念、图象和性质通过对几类基本初等函数的变化差异的比较，体会如何根据变化差异选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律，解决简单的实际问题三角函数也是一类基本的、重要的函数，它是刻画现实世界中具有周期性变化现象的数学模型在“三角函数”的学习中，同学们将学习借助单位圆建立一般三角函数的概念，学习三角函数的图象和性质，探索和研究三角函数之间的一些恒等关系通过建立三角函数模型刻画周期变化现象，进一步体会函数的广泛应用祝愿同学们通过本册书的学习，不但学到更多的数学知识，而且在数学能力、数学核心素养等方面都有较大的提高，并培养起更高的数学学习兴趣，形成对数学的更加全面的认识第一章集合与常用逻辑用语 集合的概念 集合间的基本关系 集合的基本运算 阅读与思考集合中元素的个数 充分条件与必要条件 全称量词与存在量词 阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件 小结 复习参考题 第二章一元二次函数、方程和不等式 等式性质与不等式性质 基本不等式 二次函数与一元二次方程、不等式 小结 复习参考题 第三章函数的概念与性质 函数的概念及其表示 阅读与思考函数概念的发展历程 函数的基本性质 信息技术应用用计算机绘制函数图象 幂函数 探究与发现探究函数狔狓狓的图象与性质 函数的应用（一）文献阅读与数学写作函数的形成与发展 小结 复习参考题 第四章指数函数与对数函数 指数 指数函数 阅读与思考放射性物质的衰减 信息技术应用探究指数函数的性质 对数 阅读与思考对数的发明 对数函数 探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系 函数的应用（二）阅读与思考中外历史上的方程求解 文献阅读与数学写作对数概念的形成与发展 小结 复习参考题 数学建模建立函数模型解决实际问题 第五章三角函数 任意角和弧度制 三角函数的概念 阅读与思考三角学与天文学 诱导公式 三角函数的图象与性质 探究与发现函数狔犃 （狓）及函数狔犃 （狓）的周期 探究与发现利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质 三角恒等变换 信息技术应用利用信息技术制作三角函数表 函数狔犃 （狓）三角函数的应用 阅读与思考振幅、周期、频率、相位 小结 复习参考题 部分中英文词汇索引 书 书 书第一章集合与常用逻辑用语我们知道，方程狓在有理数范围内无解，但在实数范围内有解在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球面因此，明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工具事实上，集合的知识是现代数学的基础，也是高中数学的基础，在后面各章的学习中将越来越多地应用它在本章，我们将学习集合的概念、基本关系和运算，学习用集合语言刻画一类事物的方法逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具学习一些常用逻辑用语，可以使我们正确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容逻辑用语也是日常交往、学习和工作中必不可少的工具，正确使用逻辑用语是每一位公民应具备的基本素养本章我们将通过常用逻辑用语的学习，理解使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理的方法，体会逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，学会使用集合和逻辑语言表达和交流数学问题，提升交流的逻辑性和准确性第一章集合与常用逻辑用语 集合的概念在小学和初中，我们已经接触过一些集合例如，自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆）等为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识下面先从集合的含义开始看下面的例子：（）之间的所有偶数；（）立德中学今年入学的全体高一学生；（）所有的正方形；（）到直线犾的距离等于定长犱的所有点；（）方程狓狓的所有实数根；（）地球上的四大洋例（）中，我们把 之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，例（）中，把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一个集合上面的例（）到例（）也都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？一般地，我们把研究对象统称为元素（），把一些元素组成的总体叫做集合（）（简称为集）给定的集合，它的元素必须是确定的也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了例如，“之间的所有偶数”构成一个集合，是这个集合的元素，不是它的元素；“较小的数”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的一个给定集合中的元素是互不相同的也就是说，集合中的元素是不重复出现的只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的我们通常用大写拉丁字母犃，犅，犆，表示集合，用小写拉丁字母犪，犫，犮，表示集合中的元素如果犪是集合犃的元素，就说犪属于（）集合犃，记作犪犃；如果犪不是集合犃中的元素，就说犪不属于（）集合犃，记作犪犃第一章集合与常用逻辑用语例如，若用犃表示前面例（）中“之间的所有偶数”组成的集合，则有犃，犃，等等数学中一些常用的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作犖；全体正整数组成的集合称为正整数集，记作犖或犖；全体整数组成的集合称为整数集，记作犣；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作犙；全体实数组成的集合称为实数集，记作犚 从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？列举法“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋；“方程狓狓的所有实数根”组成的集合可以表示为，像这样把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法例用列举法表示下列集合：（）小于 的所有自然数组成的集合；（）方程狓狓的所有实数根组成的集合解：（）设小于 的所有自然数组成的集合为犃，那么犃，（）设方程狓狓的所有实数根组成的集合为犅，那么犅，由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法例如，例（）的集合还可以写成犃，等（）你能用自然语言描述集合，吗？（）你能用列举法表示不等式狓的解集吗？第一章集合与常用逻辑用语描述法不等式狓的解是狓，因为满足狓 的实数有无数个，所以狓的解集无法用列举法表示但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即：狓是实数，且狓，把解集表示为狓犚狓 你能用这样的方法表示偶数集吗？又如，整数集犣可以分为奇数集和偶数集对于每一个狓犣，如果它能表示为狓犽（犽犣）的形式，那么狓除以的余数为，它是一个奇数；反之，如果狓是一个奇数，那么狓除以的余数为，它能表示为狓犽（犽犣）的形式所以，狓犽（犽犣）是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可以表示为狓犣 狓犽，犽犣有时也用冒号或分号代替竖线，写成狓犃：犘（狓）或狓犃；犘（狓）一般地，设犃是一个集合，我们把集合犃中所有具有共同特征犘（狓）的元素狓所组成的集合表示为狓犃犘（狓），这种表示集合的方法称为描述法例如，实数集犚中，有限小数和无限循环小数都具有狇狆（狆，狇犣，狆）的形式，这些数组成有理数集，我们将它表示为犙狓犚 狓狇狆，狆，狇犣，狆其中，狇狆（狆，狇犣，狆）就是所有有理数具有的共同特征显然，对于任何狔狓犃犘（狓），都有狔犃，且犘（狔）成立例试分别用描述法和列举法表示下列集合：（）方程狓的所有实数根组成的集合犃；（）由大于 且小于 的所有整数组成的集合犅解：（）设狓犃，则狓是一个实数，且狓因此，用描述法表示为犃狓犚狓方程狓有两个实数根槡，槡，因此，用列举法表示为犃槡，槡（）设狓犅，则狓是一个整数，即狓犣，且 狓 因此，用描述法表示为犅狓犣 狓 大于 且小于 的整数有，因此，用列举法表示为犅，第一章集合与常用逻辑用语我们约定，如果从上下文的关系看，狓犚，狓犣是明确的，那么狓犚，狓犣可以省略，只写其元素狓例如，集合犇狓犚狓 也可表示为犇狓狓 ；集合犈狓犣 狓犽，犽犣也可表示为犈狓狓犽，犽犣举例说明，用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：（）与定点犃，犅等距离的点；（）高中学生中的游泳能手 用符号“”或“”填空：犖；犖；犣；槡 犣；犙；犚 用适当的方法表示下列集合：（）由方程狓的所有实数根组成的集合；（）一次函数狔狓与狔狓图象的交点组成的集合；（）不等式狓的解集习题 用符号“”或“”填空：（）设犃为所有亚洲国家组成的集合，则中国犃，美国犃，印度犃，英国犃；（）若犃狓狓狓，则犃；（）若犅狓狓狓，则犃；（）若犆狓犖 狓 ，则犆，犆 用列举法表示下列集合：（）大于且小于的整数；（）犃狓（狓）（狓）；（）犅狓犣 狓第一章集合与常用逻辑用语 把下列集合用另一种方法表示出来：（），；（）由，这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；（）狓犖 狓；（）中国古代四大发明 用适当的方法表示下列集合：（）二次函数狔狓的函数值组成的集合；（）反比例函数狔狓的自变量组成的集合；（）不等式狓狓的解集康托尔（，）集合论是德国数学家康托尔于 世纪末创立的当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识第一章集合与常用逻辑用语 集合间的基本关系我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如，等等两个集合之间是否也有类似的关系呢？观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？（）犃，犅，；（）犆为立德中学高一（）班全体女生组成的集合，犇为这个班全体学生组成的集合；（）犈狓狓是两条边相等的三角形，犉狓狓是等腰三角形可以发现，在（）中，集合犃的任何一个元素都是集合犅的元素这时我们说集合犃包含于集合犅，或集合犅包含集合犃（）中的集合犆与集合犇也有这种关系一般地，对于两个集合犃，犅，如果集合犃中任意一个元素都是集合犅中的元素，就称集合犃为集合犅的子集（），记作AB图 犃犅（或犅犃），读作“犃包含于犅”（或“犅包含犃”）请你举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为犞 犲 狀 狀图这样，上述集合犃与集合犅的包含关系，可以用图 表示在（）中，由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合犈，犉都是由所有等腰三角形组成的集合即集合犈中任何一个元素都是集合犉中的元素，同时，集与实数中的结论“若犪犫，且犫犪，则犪犫”相类比，你有什么体会？合犉中任何一个元素也都是集合犈中的元素这样，集合犈的元素与集合犉的元素是一样的一般地，如果集合犃的任何一个元素都是集合犅的元素，同时集合犅的任何一个元素都是集合犃的元素，那么集合犃与集合犅相等，记作犃犅也就是说，若犃犅，且犅犃，则犃犅第一章集合与常用逻辑用语你能举出几个空集的例子吗？如果集合犃犅，但存在元素狓犅，且狓犃，就称集合犃是集合犅的真子集（），记作犃犅（或犅犃）例如，在（）中，犃犅，但犅，且犃，所以集合犃是集合犅的真子集我们知道，方程狓没有实数根，所以方程狓的实数根组成的集合中没有元素一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集（），记为，并规定：空集是任何集合的子集包含关系犪犃与属于关系犪犃有什么区别？试结合实例作出解释由上述集合之间的基本关系，可以得到下列结论：（）任何一个集合是它本身的子集，即犃犃；（）对于集合犃，犅，犆，如果犃犅，且犅犆，那么犃犆例写出集合犪，犫的所有子集，并指出哪些是它的真子集解：集合犪，犫的所有子集为，犪，犫，犪，犫真子集为，犪，犫例判断下列各题中集合犃是否为集合犅的子集，并说明理由：（）犃，犅狓狓是的约数；（）犃狓狓是长方形，犅狓狓是两条对角线相等的平行四边形解：（）因为不是的约数，所以集合犃不是集合犅的子集（）因为若狓是长方形，则狓一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合犃是集合犅的子集 写出集合犪，犫，犮的所有子集 用适当的符号填空：（）犪犪，犫，犮；（）狓狓；（）狓犚 狓；（），犖；（）狓狓狓；（），狓狓狓第一章集合与常用逻辑用语 判断下列两个集合之间的关系：（）犃狓狓，犅狓狓；（）犃狓狓犽，犽犖，犅狓狓狕，狕犖；（）犃狓犖狓是与 的公倍数，犅狓狓 犿，犿犖习题 选用适当的符号填空：（）若集合犃狓 狓狓，犅狓狓，则犅，犃，犅，犅犃；（）若集合犃狓狓，则犃，犃，犃，犃；（）狓狓是菱形狓狓是平行四边形；狓狓是等腰三角形狓狓是等边三角形 指出下列各集合之间的关系，并用 图表示：犃狓狓是四边形，犅狓狓是平行四边形，犆狓狓是矩形，犇狓狓是正方形 举出下列各集合的一个子集：（）犃狓狓是立德中学的学生；（）犅狓狓是三角形；（）犆；（）犇狓犣 狓 在平面直角坐标系中，集合犆（狓，狔）狔狓表示直线狔狓，从这个角度看，集合犇（狓，狔）狓狔狓狔烅烄烆烅烄烆烍烌烎表示什么？集合犆，犇之间有什么关系？（）设犪，犫犚，犘，犪，犙，犫，若犘犙，求犪犫的值；（）已知集合犃狓狓犪，犅狓狓，若犅犃，求实数犪的取值范围第一章集合与常用逻辑用语 集合的基本运算我们知道，实数有加、减、乘、除等运算集合是否也有类似的运算呢？并集观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合犆与集合犃，犅之间的关系吗？（）犃，犅，犆，；（）犃狓狓是有理数，犅狓狓是无理数，犆狓狓是实数ABA B图 在上述两个问题中，集合犃，犅与集合犆之间都具有这样一种关系：集合犆是由所有属于集合犃或属于集合犅的元素组成的一般地，由所有属于集合犃或属于集合犅的元素组成的集合，称为集合犃与犅的并集（），记作犃犅（读作“犃并犅”），即犃犅狓狓犃，或狓犅，可用 图（图）表示这样，在问题（）（）中，集合犃与犅的并集是犆，即犃犅犆在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次如元素，例设犃，犅，求犃犅解：犃犅，例设集合犃狓狓，集合犅狓 狓，求犃犅解：犃犅狓狓狓狓狓狓如图，还可以利用数轴直观表示例中求并集 第一章集合与常用逻辑用语犃犅的过程123x0-1图 下列关系式成立吗？（）犃犃犃；（）犃犃交集观察下面的集合，集合犃，犅与集合犆之间有什么关系？（）犃，犅，犆；（）犃狓狓是立德中学今年在校的女同学，犅狓狓是立德中学今年在校的高一年级同学，犆狓狓是立德中学今年在校的高一年级女同学在上述两个问题中，集合犆是由所有既属于集合犃又属于集合犅的元素组成的ABA B图 一般地，由所有属于集合犃且属于集合犅的元素组成的集合，称为集合犃与犅的交集（），记作犃犅（读作“犃交犅”），即犃犅狓狓犃，且狓犅，可用 图（图）表示这样，在上述问题（）（）中，犃犅犆例立德中学开运动会，设犃狓狓是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学，犅狓狓是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学，求犃犅解：犃犅就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合所以，犃犅狓狓是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学 第一章集合与常用逻辑用语例设平面内直线犾上点的集合为犔，直线犾上点的集合为犔，试用集合的运算表示犾，犾的位置关系解：平面内直线犾，犾可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合（）直线犾，犾相交于一点犘可表示为犔犔点犘；（）直线犾，犾平行可表示为犔犔；（）直线犾，犾重合可表示为犔犔犔犔下列关系式成立吗？（）犃犃犃；（）犃 设犃，犅，求犃犅，犃犅 设犃狓狓狓，犅狓狓，求犃犅，犃犅 设犃狓狓是等腰三角形，犅狓狓是直角三角形，求犃犅，犃犅 设犃狓狓是幸福农场的汽车，犅狓狓是幸福农场的拖拉机，求犃犅通常也把给定的集合作为全集补集在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到正分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到实数在高中阶段，数的研究范围将进一步扩充在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果例如方程（狓）（狓）的解集，在有理数范围内只有一个解，即狓犙（狓）（狓）；在实数范围内有三个解：，槡，槡，即狓犚（狓）（狓），槡，槡 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（），通常记作犝 第一章集合与常用逻辑用语AUA图 对于一个集合犃，由全集犝中不属于集合犃的所有元素组成的集合称为集合犃相对于全集犝的补集（），简称为集合犃的补集，记作瓓犝犃，即瓓犝犃狓狓犝，且狓犃，可用 图（图）表示例设犝狓狓是小于的正整数，犃，犅，求瓓犝犃，瓓犝犅解：根据题意可知，犝，所以瓓犝犃，瓓犝犅，例设全集犝狓狓是三角形，犃狓狓是锐角三角形，犅狓狓是钝角三角形，求犃犅，瓓犝（犃犅）解：根据三角形的分类可知犃犅，犃犅狓狓是锐角三角形或钝角三角形，瓓犝（犃犅）狓狓是直角三角形 已知犝，犃，犅，求犃（瓓犝犅），（瓓犝犃）（瓓犝犅）设犛狓狓是平行四边形或梯形，犃狓狓是平行四边形，犅狓狓是菱形，犆狓狓是矩形，求犅犆，瓓犛犅，瓓犛犃 图中犝是全集，犃，犅是犝的两个子集，用阴影表示：（）（瓓犝犃）（瓓犝犅）；（）（瓓犝犃）（瓓犝犅）AB8AB8（）（）（第题）第一章集合与常用逻辑用语习题 集合犃狓 狓，犅狓 狓狓，求犃犅，犃犅 设犃狓狓是小于的正整数，犅，犆，求犃犅，犃犆，犃（犅犆），犃（犅犆）学校开运动会，设犃狓狓是参加 跑的同学，犅狓狓是参加 跑的同学，犆狓狓是参加 跑的同学，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（）犃犅；（）犃犆 已知集合犃狓 狓，犅狓 狓 ，求瓓犚（犃犅），瓓犚（犃犅），（瓓犚犃）犅，犃（瓓犚犅）设集合犃狓（狓）（狓犪），犪犚，犅狓（狓）（狓），求犃犅，犃犅 已知全集犝犃犅狓犖 狓 ，犃（瓓犝犅），试求集合犅 第一章集合与常用逻辑用语集合中元素的个数 是英文 （基数）的缩写在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题我们把含有限个元素的集合犃叫做有限集，用 （犃）来表示有限集合犃中元素的个数例如，犃犪，犫，犮，则 （犃）看一个问题某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共种，两次一共进了几种货？回答两次一共进了（）种，显然是不对的让我们试着从集合的角度考虑这个问题用集合犃表示第一次进货的品种，用集合犅表示第二次进货的品种，就有犃圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水，犅圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面这里 （犃），（犅）求两次一共进了几种货，这个问题指的是求 （犃犅）这个例子中，两次进的货里有相同的品种，相同的品种数实际就是 （犃犅）（犃），（犅），（犃犅），（犃犅）之间有什么关系呢？可以算出 （犃犅），（犃犅）一般地，对任意两个有限集合犃，犅，有 （犃犅）（犃）（犅）（犃犅）再来看一个问题学校先举办了一次田径运动会，某班有名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有 名同学参赛，两次运动会都参赛的有人两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？用集合犃表示田径运动会参赛的学生，用集合犅表示球类运动会参赛的学生，就有犃狓狓是田径运动会参赛的学生，犅狓狓是球类运动会参赛的学生，那么犃犅狓狓是两次运动会都参赛的学生，犃犅狓狓是所有参赛的学生，第一章集合与常用逻辑用语 （犃犅）（犃）（犅）（犃犅）所以，在两次运动会中，这个班共有 名同学参赛我们也可以用 图来求解ABA B(3)(9)(5)?这里的是表示元素的个数，而不是元素图中我们特别加上括号，另外两个数，也一样在上图中相应于犃犅的区域里先填上?（犃犅），再在犃中不包括犃犅的区域里填上（犃）（犃犅），在犅中不包括犃犅的区域里填上（犅）（犃犅）最后把这三个数加起来得，这就是 （犃犅）这种图解法对于解比较复杂的问题（例如涉及三个以上集合的并、交的问题）更能显示出它的优越性对于有限集合犃，犅，犆，你能发现 （犃犅犆），（犃），（犅），（犆），（犃犅），（犅犆），（犃犆），（犃犅犆）之间的关系吗？通过一个具体的例子，算一算有限集合中元素的个数，我们可以一一数出来而对于元素个数无限的集合，如犃，狀，犅，狀，我们无法数出集合中元素的个数，但可以比较这两个集合中元素个数的多少你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？第一章集合与常用逻辑用语 充分条件与必要条件在初中，我们已经对命题有了初步的认识一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题中学数学中的许多命题可以写成“若狆，则狇”“如果狆，那么狇”等形式其中狆称为命题的条件，狇称为命题的结论本节主要讨论这种形式的命题下面我们将进一步考察“若狆，则狇”形式的命题中狆和狇的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语 充分条件、必要条件和充要条件?下列“若狆，则狇”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（）若狓狓，则狓；（）若平面内两条直线犪和犫均垂直于直线犾，则犪犫?此时，如果狇不成立，则狆一定不成立所以，狇对于狆成立而言是必要的请举例说明在命题（）（）中，由条件狆通过推理可以得出结论狇，所以它们是真命题在命题（）（）中，由条件狆不能得出结论狇，所以它们是假命题一般地，“若狆，则狇”为真命题，是指由狆通过推理可以得出狇这时，我们就说，由狆可以推出狇，记作狆狇，并且说，狆是狇的充分条件（），狇是狆的必要条件?（）如果“若狆，则狇”为假命题，那么由条件狆不能推出结论狇，记作狆狇此时，我们就说狆不是狇的充分条件，狇不是狆的必要条件上述命题（）（）中的狆是狇的充分条件，狇是狆的必 第一章集合与常用逻辑用语要条件，而命题（）（）中的狆不是狇的充分条件，狇不是狆的必要条件例下列“若狆，则狇”形式的命题中，哪些命题中的狆是狇的充分条件？（）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；（）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；（）若狓，则狓；（）若犪犫，则犪 犮犫 犮；（）若狓，狔为无理数，则狓 狔为无理数举反例是判断一个命题是假命题的重要方法解：（）这是一条平行四边形的判定定理，狆狇，所以狆是狇的充分条件（）这是一条相似三角形的判定定理，狆狇，所以狆是狇的充分条件（）这是一条菱形的性质定理，狆狇，所以狆是狇的充分条件（）由于（），但，狆狇，所以狆不是狇的充分条件（）由等式的性质知，狆狇，所以狆是狇的充分条件（）槡 为无理数，但槡 槡 为有理数，狆狇，所以狆不是狇的充分条件例中命题（）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？我们说狆是狇的充分条件，是指由条件狆可以推出结论狇，但这并不意味着只能由这个条件狆才能推出结论狇一般来说，对给定结论狇，使得狇成立的条件狆是不唯一的例如，我们知道，下列命题均为真命题：若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形所以，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件事实上，例中命题（）及上述命题均是平行四边形的判定定理所以，平 第一章集合与常用逻辑用语行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即这个条件能充分保证四边形是平行四边形类似地，平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件，例如“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行”一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件例下列“若狆，则狇”形式的命题中，哪些命题中的狇是狆的必要条件？（）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；（）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（）若狓，则狓；（）若犪 犮犫 犮，则犪犫；（）若狓 狔为无理数，则狓，狔为无理数解：（）这是平行四边形的一条性质定理，狆狇，所以，狇是狆的必要条件（）这是三角形相似的一条性质定理，狆狇，所以，狇是狆的必要条件ABCD图（）如图，四边形犃犅犆犇的对角线互相垂直，但它不是菱形，狆狇，所以，狇不是狆的必要条件（）显然，狆狇，所以，狇是狆的必要条件（）由于（），但，狆狇，所以，狇不是狆的必要条件（）由于槡 槡 为无理数，但，槡 不全是无理数，狆狇，所以，狇不是狆的必要条件一般地，要判断“若狆，则狇”形式的命题中狇是否为狆的必要条件，只需判断是否有“狆狇”，即“若狆，则狇”是否为真命题例中命题（）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？我们说狇是狆的必要条件，是指以狆为条件可以推出结论狇，但这并不意味着由条件狆只能推出结论狇一般来说，给定条件狆，由狆可以推出的结论狇是不唯一的例如，下列命题都是真命题：若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；第一章集合与常用逻辑用语若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分这表明，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件我们知道，例中命题（）及上述命题均为平行四边形的性质定理所以，平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件类似地，平行线的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件，例如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件，也就是说，如果同位角不相等，那么就不可能有“两直线平行”一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 下列“若狆，则狇”形式的命题中，哪些命题中的狆是狇的充分条件？（）若平面内点犘在线段犃犅的垂直平分线上，则犘犃犘犅；（）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；a2134bl（第题）（）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方 下列“若狆，则狇”形式的命题中，哪些命题中的狇是狆的必要条件？（）若直线犾与犗有且仅有一个交点，则犾为犗的一条切线；（）若狓是无理数，则狓也是无理数 如图，直线犪与犫被直线犾所截，分别得到了，和 请根据这些信息，写出几个“犪犫”的充分条件和必要条件?下列“若狆，则狇”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？（）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（）若一元二次方程犪 狓犫 狓犮有两个不相等的实数根，则犪 犮；（）若犃犅是空集，则犃与犅均是空集将命题“若狆，则狇”中的条件狆和结论狇互换，就得到一个新的命题“若狇，则狆”，称这个命题为原命题的逆命题不难发现，上述命题中的命题（）（）和它们的逆命题都是真命题；命题（）是真命题，但它的逆命题是假命题；命题（）是假命题，但它的逆命题是真命题如果“若狆，则狇”和它的逆命题“若狇，则狆”均是真命题，即既有狆狇，又有狇狆，就记作狆狇 第一章集合与常用逻辑用语此时，狆既是狇的充分条件，也是狇的必要条件，我们说狆是狇的充分必要条件，简称为充要条件（）显然，如果狆是狇的充要条件，那么狇也是狆的充要条件概括地说，如果狆狇，那么狆与狇互为充要条件上述命题（）（）中的狆与狇互为充要条件例下列各题中，哪些狆是狇的充要条件？（）狆：四边形是正方形，狇：四边形的对角线互相垂直且平分；（）狆：两个三角形相似，狇：两个三角形三边成比例；（）狆：狓 狔，狇：狓，狔；（）狆：狓是一元二次方程犪 狓犫 狓犮的一个根，狇：犪犫犮（犪）解：（）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以狇狆，所以狆不是狇的充要条件（）因为“若狆，则狇”是相似三角形的性质定理，“若狇，则狆”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即狆狇，所以狆是狇的充要条件（）因为狓 狔时，狓，狔不一定成立（为什么），所以狆狇，所以狆不是狇的充要条件（）因为“若狆，则狇”与“若狇，则狆”均为真命题，即狆狇，所以狆是狇的充要条件通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？可以发现，“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件另外，我们再看平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，它表明“四边形的两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要条件上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平行四边形的其他定义形式例如：两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形；对角线互相平分的四边形叫做平行四边形类似地，利用“两个三角形全等”的充要条件，可以给出“三角形全等”的其他定义形式，而且这些定义是相互等价的；同样，利用“两个三角形相似”的充要条件，可以给出“相似三角形”其他定义形式，这些定义也是相互等价的；等等 第一章集合与常用逻辑用语例已知：犗的半径为狉，圆心犗到直线犾的距离为犱求证：犱狉是直线犾与犗相切的充要条件分析：设狆：犱狉，狇：直线犾与犗相切要证狆是狇的充要条件，只需分别证明充分性（狆狇）和必要性（狇狆）即可OPl图 证明：设狆：犱狉，狇：直线犾与犗相切（）充分性（狆狇）：如图，作犗犘犾于点犘，则犗犘犱若犱狉，则点犘在犗上在直线犾上任取一点犙（异于点犘），连接犗犙在 犗犘犙中，犗犙犗犘狉所以，除点犘外直线犾上的点都在犗的外部，即直线犾与犗仅有一个公共点犘所以直线犾与犗相切（）必要性（狇狆）：若直线犾与犗相切，不妨设切点为犘，则犗犘犾因此，犱犗犘狉由（）（）可得，犱狉是直线犾与犗相切的充要条件 下列各题中，哪些狆是狇的充要条件？ABCD（第题）（）狆：三角形为等腰三角形，狇：三角形存在两角相等；（）狆：犗内两条弦相等，狇：犗内两条弦所对的圆周角相等；（）狆：犃犅为空集，狇：犃与犅之一为空集 分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件 证明：如图，梯形犃犅犆犇为等腰梯形的充要条件为犃犆犅犇习题 举例说明：（）狆是狇的充分不必要条件；（）狆是狇的必要不充分条件；（）狆是狇的充要条件 在下列各题中，判断狆是狇的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答）：（）狆：三角形是等腰三角形，狇：三角形是等边三角形；（）狆：一元二次方程犪 狓犫 狓犮有实数根，狇：犫犪 犮；（）狆：犪犘犙，狇：犪犘；（）狆：犪犘犙，狇：犪犘；（）狆：狓狔，狇：狓狔 第一章