1、2.2.1等差数列 一般地，如果一个数列一般地，如果一个数列从第从第2项项起，每一项与起，每一项与它的前一项的它的前一项的差差等于等于同一个常数同一个常数，那么这个数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差公差，通常用字母，通常用字母d表示。表示。1.1.等差数列的定义等差数列的定义anan-1=d,由定义得由定义得或或an+1an=d,2.2.等差中项等差中项 如果如果a,A,b成等差数列，那么成等差数列，那么A叫做叫做a与与b的等差中项的等差中项.即：即：a,A,b成等差数列成等差数列2abA 已知等差数列已知等差数列an的首项是的首
2、项是a1，公差是公差是da2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d，a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3dan=a1+(n-1)d由此得到通项公式为：，an-an-1=d不完全归纳法不完全归纳法an=an-1+d=a1+(n-1)d3.3.等差数列通项公式的推导等差数列通项公式的推导证证:因为因为an为等差数列为等差数列,a2a1=d,a3a2=d,anan-1=d,将上面将上面n-1个等式的两边分别相加个等式的两边分别相加,当当n=1时时,上面的等式显然成立上面的等式显然成立.得得ana1=(n-1)d,所以所以,an=a1+(n-1)d,a4a3=d,1n
3、个累加法累加法如果等差数列如果等差数列an的首项为的首项为a1，公差为，公差为d，那么它的通项公式是那么它的通项公式是 4.4.等差数列的通项公式等差数列的通项公式(1)确定确定a1和和d是确定通项的一般方法是确定通项的一般方法(2)由方程思想，根据由方程思想，根据an，a1，n，d中任何中任何三个量可求解另一个量，即知三求一三个量可求解另一个量，即知三求一 ana1(n1)d.例例1 在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a511，a85，求，求an.变式训练变式训练1在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a511，an1，d2，求，求n.等差数列通项的性质等差数列通项的性质(1)在等差
4、数列中，在等差数列中，p，q，m，nN*若若mnpq，则有，则有amanapaq；若若mn2p，则有，则有aman2ap(2)an am(nm)d，即，即dnmaanm(1)如果等差数列如果等差数列an中，中，a3a4a512，那，那么么a1a2a7()A14 B21 C28 D35(2)等差数列等差数列an中，中，a3与与a7是方程是方程289 0 xx 的两根，则的两根，则a5_.等差数列的判定和证明等差数列的判定和证明已知数列已知数列an，满足，满足a12，an1 ，(1)令令 ，证明：数列，证明：数列bn为等差数列；为等差数列；(2)求求bn和和an.22nnaa 1nnba等差数列的
5、判定和证明等差数列的判定和证明(1)定义法：an1and(常数)(nN*)an是等差数列；(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列；(3)通项公式法：anknb(k，b是常数)(nN*)an是等差数列；已知数列已知数列an中，中，a12，(n2)设设bn 。(1)求证：数列求证：数列bn是等差数列；是等差数列；(2)求求bn和和an.112nnaa11na 已知三个数成等差数列，其和为已知三个数成等差数列，其和为9，前后两，前后两项之积为后一项的项之积为后一项的6倍，求这三个数。倍，求这三个数。三个数、三个数、四个数四个数成等差数列成等差数列变式训练：已知四个数成等差数列，
6、中间两数变式训练：已知四个数成等差数列，中间两数和为和为2，首末两项的积为，首末两项的积为8，求这四个数。，求这四个数。三个数、三个数、四个数四个数成等差数列成等差数列等差数列的设法技巧：对称性等差数列的设法技巧：对称性(1)三个数成等差数列，可设为三个数成等差数列，可设为ad，a，ad；(2)四个数成等差数列，可设为四个数成等差数列，可设为a3d，ad，ad，a3d；如果有更多的项，按照上面的方法如果有更多的项，按照上面的方法规律规律即可。即可。此时公差为此时公差为2d累加法求通项公式累加法求通项公式在数列在数列an中，已知中，已知a11，an+1=an+求求an；1(1)n n累加法求通项公式累加法求通项公式在数列在数列an中，已知中，已知a12，an+1=an+求求an；21log(1)n
