1、18一位饱经沧桑的老人,经过一辈子的辛勤劳动,到晚年的时候,终于拥有了一块平行四边形的土地,由于年迈体弱,他决定把这块土地分给他的四个孩子,他是这样分的:(如图所示)当四个孩子看到时,争论不休,都认为自己的地少,同学们,你认为老人这样分合理吗?为什么?思考思考如图所示,在 ABCD中,连接对角线AC,BD,相交于点O,OB与OD有什么关系?OA与OC呢?学学 习习 新新 知知平行四边形的对角线互相平分AC与BD互相平分,指AC平分BD,即OB=OD,BD平分AC,即OA=OC.已知 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,图中有哪些三角形全等?哪些线段相等?AOB COD,BOC DOA,AB
2、C CDA,ABD CDB.相等的线段有:OA=OC,OB=OD,AB=CD,AD=CB.平行四边形的对角线互相平分.平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.例：(补充)如图所示,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O与AB,CD分别相交于点E,F.求证OE=OF,AE=CF,BE=DF.证明:在 ABCD中,ABCD,1=2,3=4.又 OA=OC(平行四边形的对角线互相平分),AOE COF(AAS).OE=OF,AE=CF(全等三角形对应边相等).四边形ABCD是平行四边形,AB=CD(平行四边形对边相等).AB-AE=CD-CF,即 BE=FD
3、.引申提问:若例1中的条件都不变,将EF转动到如图所示的位置,那么例1中的结论是否成立?若将EF向两方延长,与平行四边形的两对边的延长线分别相交(如图和图所示),例1中的结论是否成立?说明你的理由.例：例：(教材例2)如图所示,在 ABCD中,AB=10,AD=8,ACBC,求BC,CD,AC,OA的长,以及 ABCD的面积.解:四边形ABCD是平行四边形,BC=AD=8,CD=AB=10.ACBC,ABC是直角三角形.根据勾股定理,AC又OA=OC,OA=AC=3,SABCD=BCAC=86=48.22221086.ABBC12知识拓展知识拓展 (1)利用平行四边形的对角线互相平分可以解决对
4、角线或边的取值范围问题,在解答时应联系“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”来解决.(2)若一条直线过平行四边形的两条对角线的交点,则这条直线被一组对边所截线段以对角线的交点为中点,且这条直线平分该平行四边形的面积.(3)在平行四边形中,被对角线所分成的四个小三角形,相邻两个小三角形的周长之差等于邻边长之差.课课堂堂小小结结名称平行四边形图形定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形性质边角对角线 平行四边形的对 边平行;对边相等 对角相等;邻角互补 对角线互 相平分 检测检测反馈反馈 1.判断对错.(1)在 ABCD中,AC交BD于O,则 AO=OB=OC=OD.()解析解析:(1)
5、在 ABCD中,AC交BD于O,AC和BD不一定相等,故 AO=OB=OC=OD是错误的.(2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.()解析解析:(2)由全等三角形的性质可以证明平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.(3)平行四边形的两组对边分别平行且相等.()解析解析:由平行四边形的性质,可知平行四边形 的两组对边分别平行且相等.(4)平行四边形是轴对称图形.()解析解析:平行四边形只是中心对称图形,不是轴对 称图形.2.如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且AB=5,OCD的周长为23,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是()A.18B.28C.36D.46解
6、析解析:四边形ABCD是平行四边形,AB=CD=5,OCD的周长为23,OD+OC=23-5=18,BD=2DO,AC=2OC,平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(DO+OC)=36.故选C.C3.如图所示,在平行四边形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,则与AOD全等的是.COB 解析解析:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,DAO=BCO,ADO=CBO,OA=OC,AOD COB.故填COB.4.如图所示,ABCD的两条对角线相交于O,OA,OB,AB的长度分别为3 cm,4 cm,5 cm,求其他各边以及两条对角线的长度.解:四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,AD=BC,OA=OC,OB=OD,又OA=3 cm,OB=4 cm,AB=5 cm,AC=6 cm,BD=8 cm,CD=5 cm,AOB中,32+42=52,即AO2+BO2=AB2,AOB=90,ACBD,在RtAOD中,OA2+OD2=AD2,AD=5 cm,BC=5 cm.答:这个平行四边形的其他各边都是5 cm,两条对角线长分别为6 cm和8 cm.
