1、2一二一、直线与平面的位置关系1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系?提示:三种位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交;(3)直线与平面平行.一二2.如何用图形语言表示直线与平面的位置关系?这种位置关系如何用符号语言表示?提示:图形表示如下图所示:符号语言为:a,a=A,a.一二3.关于直线与平面的位置关系,请填写下表:一二二、平面与平面的位置关系1.观察前面问题中的长方体,平面A1C1与长方体的其余各个面,两两之间有几种位置关系?提示:两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行.2.平面与平面平行的符号语言和
2、图形语言分别怎样表达?提示:平面与平面平行的符号语言是:;图形语言是:一二3.关于平面与平面的位置关系,请填写下表:一二4.做一做:(1)正方体的六个面中互相平行的平面有()A.1对 B.2对 C.3对 D.4对解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABB1A1平面CDD1C1,平面ADD1A1平面BCC1B1,故六个面中互相平行的平面有3对.答案:C(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系是.答案:平行或相交探究一探究二思想方法直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系例1 给出下列四个命题:若直线l平
3、行于平面内的无数条直线,则l;若直线a在平面外,则a;若直线ab,直线b,则a;若ab,b,则直线a就平行于平面内的无数条直线,其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4思路分析:判断直线与平面位置关系,除了定义法外,还可以借助几何体模型(如长方体等)和举反例进行逐项判断.解析:对于,直线l虽与平面内无数条直线平行,但l有可能在平面内,l不一定平行于.故错.对于,直线a在平面外包括两种情形:a,a与相交,故错.对于,由直线ab,b,只能说明a和b无公共点,但a可能在平面内,故错.对于,ab,b,在平面内与b平行的直线都与a平行,故正确.答案:A探究一探究二思想方法反思感悟反思感悟直线与平面
4、位置关系的判断方法(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据公理1知直线在平面内.(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点.(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点,也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直线与平面平行.探究一探究二思想方法延伸探究若直线a不平行于平面,则下列结论成立的是()A.平面内的所有直线均与a异面B.平面内不存在与a平行的直线C.平面内直线均与a相交D.直线a与平面有公共点解析:由于直线a不平行于平面,则a或a与相交,故A错;当a时,在平面内存在与a平行的直线,故B错;因为内的直线也可能与a平
5、行或异面,故C错;由线面平行的定义知D正确.答案:D探究一探究二思想方法平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系例2 给出的下列四个命题中,其中正确命题的个数是()平面内有两条直线和平面平行,则这两个平面平行;平面内有无数条直线和平面平行,则与平行;平面内ABC的三个顶点到平面的距离相等,则与平行;若两个不重合的平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交.A.0B.1C.3D.4探究一探究二思想方法思路分析:由两个平面间的位置关系逐一判断.解析:如图甲,平面内有无数条直线与平行,但与相交;如图乙,ABC的三个顶点到的距离相等,但与相交.故均错.不重合的两个平面,若它们有公共点,则它们有无
6、数个公共点,都在它们的交线上,故正确.答案:B探究一探究二思想方法反思感悟反思感悟平面与平面的位置关系的判断方法(1)判定两个平面相交,只需找到两个平面的一个公共点,就可根据公理3知,两个不重合的平面是相交的.(2)判定两个平面平行,可根据定义判定两个平面没有公共点,也可以排除两个平面相交,从而判定两平面平行.探究一探究二思想方法变式训练 若夹在两个平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系是()A.平行B.相交C.重合D.平行或相交解析:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱BC、A1D1的中点,则A1BMND1C,且A1B=MN=D1C,故夹在两相交平面ADD1
7、A1和平面ABCD间的三条平行线段相等.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为A1B1、AB的中点,AA1EFBB1,且AA1=EF=BB1.故夹在两平行平面ABCD和平面A1B1C1D1间的三条平行线段相等.答案:D探究一探究二思想方法定义法与模型法判断空间中的位置关系典例下列说法正确的是()A.如果a,b是两条直线,ab,那么a平行于经过b的任何一个平面B.如果直线a和平面满足a,那么a平行于平面内的任何一条直线C.如果直线a,b满足a,b,则abD.如果直线a,b和平面满足ab,a,b,那么b思路分析:解答本题要牢牢地抓住直线和平面三种位置关系的特征,结合相关图形,依据
8、位置关系的定义作出判断.探究一探究二思想方法解析:如图,在长方体ABCD-ABCD中,AABB,AA在过BB的平面AB内,故选项A不正确;AA平面BC,BC平面BC,但AA不平行于BC,故选项B不正确;AA平面BC,AD平面BC,但AA与AD相交,所以选项C不正确;选项D中,假设直线b与平面相交,因为ab,所以直线a与平面相交,这与a矛盾,故b,即选项D正确.故选D.答案:D探究一探究二思想方法方法总结(1)空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.(2)在判断直线与平面的位置关系时,这三种情形都要考虑到,避免疏忽或遗漏.另外,我们可以借助空间几何图形,把
9、要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断.探究一探究二思想方法变式训练 如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是()A.平行B.相交C.平行或相交D.不能确定解析:如图所示,由图可知C正确.答案:C12341.若一直线上有两点在已知平面外,则下列命题正确的是()A.直线上所有的点都在平面外B.直线上有无数多个点都在平面外C.直线上有无数多个点都在平面内D.直线上至少有一个点在平面内解析:直线上有两点在已知平面外,则直线与平面平行或相交.相交时有且只有一个点在平面内,故A、C不对;直线与平面平行时,直线上没有一个点在平面内,故D不对.答案:B12342.若a是平面外的一条直线,则直线a与平面内的直线的位置关系是()A.平行 B.相交C.异面 D.以上都可能解析:若a,则a与内的直线平行或异面;若a与相交,则a与内的直线相交或异面.答案:D12343.已知直线a,b与平面满足a,b,则a与b的位置关系是.答案:平行、相交或异面12344.过平面外两点,可作个平面与已知平面平行.解析:若过两点的直线与已知平面相交,则作不出平面与已知平面平行;若过两点的直线与已知平面平行,则可作一个平面与已知平面平行.答案:0或1
