1、第四章第四章 基本初等函数基本初等函数()4.1 4.1 幂函数幂函数幂函数的概念幂函数的概念幂函数：幂函数：一般地，函数一般地，函数 叫做幂函数，其中叫做幂函数，其中x x是自变量是自变量，y y是函是函数值，数值，是常数是常数.(2)底数是底数是 ；(1)指数是指数是 ；(3)函数式前的系数都是函数式前的系数都是 ；特征：特征：常数常数自变量自变量x常数常数1函数函数形式形式自变量自变量常数常数(a a或或)指数函数指数函数幂 函 数幂 函 数幂函数与指数函数的区别问题问题1 1：幂函数与指数函数有什么区别？幂函数与指数函数有什么区别？提示：提示：x x在指数位置在指数位置x x在底数位置
2、在底数位置底数底数指数指数【例例1 1】下列函数中幂函数下列函数中幂函数的个数有的个数有().().A.3 B.4 C.5 A.3 B.4 C.5 D.6D.6 思路分析思路分析 抓住幂函数的结构特征解题：抓住幂函数的结构特征解题：自变量在底数位置自变量在底数位置.、是指数函数，、是幂函数、是指数函数，、是幂函数.答案：答案：A A解析解析 思路分析思路分析 待定系数法求出函数的解析式，然后再求待定系数法求出函数的解析式，然后再求f f(4).(4).解析解析五个常用幂函数的图象和性质五个常用幂函数的图象和性质问题问题2 2：观察下面观察下面5 5个幂函数的图象，归纳出它们的性质个幂函数的图象
3、，归纳出它们的性质.xy32112343211234OA A五个常用幂函数的图象和性质五个常用幂函数的图象和性质1.1.五个常用幂函数的图象与性质：五个常用幂函数的图象与性质：定义域定义域值域值域奇偶性奇偶性单调性单调性公共点公共点(1,1)(1,1)R RR RR RR RR R奇奇偶偶奇奇奇奇非奇非偶非奇非偶0，)(，0)0)(0(0，)0，)0，)(，0)0)(0(0，)2.2.如果如果，则幂函数图象过原点，并且在区间，则幂函数图象过原点，并且在区间0,+)0,+)上是增函数；上是增函数；3.3.如果如果，则幂函数图象在区间，则幂函数图象在区间(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数;4
4、.4.当当为奇数时，幂函数为奇函数；为奇数时，幂函数为奇函数；当当为偶数时，幂函数为偶函数为偶数时，幂函数为偶函数发现：发现：1.1.所有所有的幂函数在的幂函数在(0,+)(0,+)都有定义，并且图象都通过点都有定义，并且图象都通过点(1,1);(1,1);五个常用幂函数的图象和性质五个常用幂函数的图象和性质2.2.幂函数在第一象限内的指数变化规律：幂函数在第一象限内的指数变化规律：xy32112343211234OA A在第一象限内直线在第一象限内直线x x1 1的右侧，的右侧，图象从下到上，相应的指数由小图象从下到上，相应的指数由小变大，即指数大的在上边变大，即指数大的在上边指数逆时针变大
5、指数逆时针变大3.3.幂函数在第一象限内的凹凸性：幂函数在第一象限内的凹凸性：若若00，在第一象限内，图象下在第一象限内，图象下凹凹.若若00111，在第一象限内，图象在第一象限内，图象下下凹凹.【例例3】幂函数幂函数y yx xm m，y yx xn n，y yx xp p，y yx xq q的图象如图，则将的图象如图，则将m m、n n、p p、q q的大小关系用的大小关系用“11时，逆时针方向时，逆时针方向依次增依次增大，故大，故n n q q m m p p.xy123123Oy yx xp py yx xm my yx xq qy yx xn n 答案答案 n n q q m m p
6、 p 思路点拨思路点拨 用定义法证明，可用作差法也可用作比法用定义法证明，可用作差法也可用作比法.【证明证明】技巧：分子有技巧：分子有理化理化.【例例5】比较下列各组数的大小：比较下列各组数的大小：思路点拨思路点拨 (1)(1)、(2)(2)、(3)(3)指数相同，可构造幂函数比较大小，指数相同，可构造幂函数比较大小，(4)(4)底数相同，构造指数函数比较大小，底数相同，构造指数函数比较大小，(5)(5)可以利用可以利用“中间量中间量”比较大小比较大小.【解析解析】(1)(1)因为函数因为函数f f(x x)x x0.80.8在在 (0(0，)上为上为增增函数函数，又，又5.25.35.25.
7、3，所以，所以5.25.20.8 0.8 5.35.30.80.8.(2)(2)因为函数因为函数f f(x x)x x3.13.1在在 (0(0，)上为上为增增函数函数，又，又0.20.30.20.3，所以，所以0.20.23.1 3.1 33.53 所所以以1.71.73.53.51.71.73 3.(5)(5)因为因为1.31.30.50.5 1.31.30 0=1=1，0.50.51.31.30.50.50.51.31.3.(3)(3)当不能直接进行比较时，可在两个数中间当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入插入一个一个中间数中间数,间接比较上述两个数的大小间接比较上述两个数的大小.(
8、2)(2)若能化为若能化为同底数同底数，则用，则用指数函数指数函数的单调性；的单调性；(1)(1)若能化为若能化为同指数同指数，则用，则用幂函数幂函数的单调性；的单调性；规律总结：比较大小的方法规律总结：比较大小的方法1.1.所有所有的幂函数在的幂函数在(0,+)(0,+)都有定义，并且图象都通过点都有定义，并且图象都通过点(1,1);(1,1);2.2.如果如果，则幂函数图象过原点，并且在区间，则幂函数图象过原点，并且在区间0,+)0,+)上是增函数；上是增函数；3.3.如果如果，则幂函数图象在区间，则幂函数图象在区间(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数;4.4.当当为奇数时，幂函数为奇函数；为奇数时，幂函数为奇函数；当当为偶数时，幂函数为偶函数为偶数时，幂函数为偶函数
