1、习题课导数的应用1.研究函数的性态研究函数的性态:增减增减,极值极值,凹凸凹凸,拐点拐点,渐近线渐近线,曲率曲率2.解决最值问题解决最值问题 目标函数的建立与简化目标函数的建立与简化 最值的判别问题最值的判别问题3.其他应用其他应用:求不定式极限求不定式极限;几何应用几何应用;相关变化率相关变化率;证明不等式证明不等式(单调、凹凸、泰勒单调、凹凸、泰勒);研究方程实根等研究方程实根等.4.补充定理补充定理(见下页见下页)一、主要内容：一、主要内容：设函数设函数)(,)(xgxf在在上具有上具有n 阶导数阶导数,),(a且且)1,2,1,0()()()1()()(nkagafkk)()()()2
2、()()(axxgxfnn 则当则当ax 时时.)()(xgxf 证证 令令,)()()(xgxfx 则则;)1,1,0(0)()(nkak)(0)()(axxn 利用利用)(x 在在ax 处的处的 n 1 阶泰勒公式得阶泰勒公式得)(x)(xa 因此因此ax 时时.)()(xgxf 0 nnaxn)(!)()(单调增区间为单调增区间为 ;的连续性及导函数的连续性及导函数(1)设函数设函数，上上连连续续在在),()(xf的的则则)(xf其导数图形如图所示其导数图形如图所示,单调减区间为单调减区间为 ;极小值点为极小值点为 ;极大值点为极大值点为 .)(xf ),0(),(21xx),(),0,
3、(21 xx21,xx0 x提示提示:)(xf根根据据的正负作的正负作 f(x)的示意图的示意图.o2x1xyxox)(xf1x2x二、例题分析二、例题分析o)(xfx .在区间在区间 上是凸弧上是凸弧;拐点为拐点为),0(),(21xx)0(,0(,)(,(,)(,(2211fxfxxfx提示提示:)()(xfxf 的的可可导导性性及及根根据据的正负作的正负作 f(x)的示意图的示意图.形在区间形在区间 上是凹弧上是凹弧;则函数则函数 f(x)的图的图，上上可可导导在在),()(xf的图形如图所示的图形如图所示,),(),0,(21 xx)(xf o2x1xyx2x)(xf 1x111xxx
4、ln)1ln()()(1xxxfxf在在xxxf)1()(1 ),0(上单调增加上单调增加.证证)1ln()(ln1xxxf ln)1ln(xxx 11ln)1ln()11()(xxxxxfx 令令,ln)(ttF 在在 x,x+1 上利用上利用拉氏中值定理拉氏中值定理,)10(1ln)1ln(xxxx x 11得得故当故当 x 0 时时,0)(xf从而从而)(xf在在),0(上单调增上单调增.例例3 设在设在 上，上，证明函数，证明函数0)(xf,ba axafbaxaxafxfx，)(,()()()(在在 上是单调增加的上是单调增加的,ba证证 当当 时，有时，有ax ，2)()()()(
5、)(axafxfaxxfx ).()()()(xaaxfafxf ,0)(xf因因)(xf 即即，0)()(fxf故故2)()()()()(axafxfaxxfx ，0)()()(2 axaxfxf 即即 是单调增加的是单调增加的)(x 是单调增加的因而是单调增加的因而根据拉格朗日中值定理根据拉格朗日中值定理在在)(xf),(上可导上可导,且且证明证明 f(x)至多只有一个零点至多只有一个零点.证证 设设)()(xfexx 则则)()()(xfxfexx 0,0)()(xfxf故故)(x 在在),(上连续单调递增上连续单调递增,从而至多只有从而至多只有一个零点一个零点.又因又因,0 xe因此因
6、此)(xf也也至多只有一个零点至多只有一个零点.思考思考:若题中若题中0)()(xfxf改为改为,0)()(xfxf其它不变时其它不变时,如何设辅助函数如何设辅助函数?)()(xfexx 例例5 求函数求函数 的零点个数的零点个数2e)(xxxf对函数对函数 ，有，有2e)(xxxf，xxxxxxfe)1(ee)(,0)(xf解得解得 1 x当当 时，时，)1,(x,0)(xf即即 单调减少；单调减少；)(xf0)(xf即即 单调增加单调增加)(xf，)(lim2)(limxfxfxx又又 ，2e)1(1 f;0)(xf故当故当 时，时，)1,(x在在 内，内，),1(x有且只有一个零点，有且
7、只有一个零点，)(xf)(xf中的中的唯一零点唯一零点解解令令 时，时，),1(x当当而而此零点即为此零点即为 在定义域在定义域.)0(1arctan)1ln(xxxx证证 设设xxxxarctan)1ln()1()(,则则0)0()1ln(111)1ln(1)(222xxxxxx )0(,0 x故故0 x时时,)(x 单调增加单调增加,从而从而0)0()(x即即)0(1arctan)1ln(xxxx思考思考:证明证明)10(arcsin)1ln(11 xxxxx时时,如何设辅助如何设辅助函数更好函数更好?xxxxxarcsin1)1ln()1()(2 提示提示:P183 题题11(2)例例7
8、 设设 ，证明：当，证明：当 时时0 b0 a2 nnnnbaba 证证，令令nnnbxbxxf/1/1/1)()(.0)0(f则则因为当因为当 时时，0 x，0)(1)(1111 nnbxxnxf即当即当 时，时，0 x因而当因而当 时，有时，有0 x.0)(xf取取 ，即得所需要的不等式，即得所需要的不等式ax )(xf是单调增加的，是单调增加的，例例8证证.132,1成立成立试证试证时时当当xxx ,132)(xxxf设设211)(xxxf 则则,),1 )(上连续上连续在在因为因为 xf ;),1 上上单单调调增增加加所所以以在在 ,0)1(f由于由于 ,1 时时所以当所以当 x,01
9、32 xx),1(12 xxx,0)(,),1(xf可导可导在在.132xx ,0)0(f且在且在),0 上上)(xf 存在存在,且单调且单调递减递减,证明对一切证明对一切0,0 ba有有)()()(bfafbaf 证证 设设,)()()()(xfafxafx 则则0)0()()()(xfxafx )0(0 x所以当所以当时，时，0 x)(x 0)0(令令,bx 得得0)()()()(bfafbafb 即所证不等式成立即所证不等式成立.)()()(,0,0 ,0)0(,0)(212121xfxfxxfxxfxf 有有证证明明设设例例9证证210 xx 不妨设不妨设)()()(1221xfxfx
10、xf 因为因为12)(xf 0)(121 fx).()()(2121xfxfxxf 所以所以)0,(112122xxxx )0()()()(1221fxfxfxxf )(21 11)(xf 例例10证法一证法一 只要证只要证.11,10:2xxexx 时时当当证证明明)1,0(,1)1()(2 xxexxfx令令,1)21()(2 xexxf则则,4)(2xxexf ,0)(),1,0(xfx,)(),1,0(单单调调减减少少xfx ,0)0(f,0)(),1,0(xfx,)(),1,0(单调减少单调减少xfx,0)0(f,01)1()(2 xexxfx.112xxex 即即)10(01)1(
11、2 xxexx,10时时当当:证明证明 x.112xxex 证法二证法二 只要证只要证)10(01)1(2 xxexx,1)1()(2xexxfx 设设0)0(f则则,1)21()(2 xexxf0)0(f)10(04)(2 xexxfx利用一阶泰勒公式利用一阶泰勒公式,得得2!2)()0()0()(xfxffxf )10(0222 xxe 故原不等式成立故原不等式成立.例例11).,0,0(,2ln)(lnlnyxyxyxyxyyxx 证明不等式证明不等式证证),0(ln)(ttttf令令,1ln)(ttf则则,01)(ttf.0,0),(),(ln)(是凹的是凹的或或在在 yxxyyxtt
12、tf)2()()(21yxfyfxf 于是于是,2ln2lnln21yxyxyyxx 即即.2ln)(lnlnyxyxyyxx 即即P154 题题10(3)例例12解解.6)(332的极值的极值求函数求函数xxxf 323)6(4)(xxxxf ,6,4,0321 xxx可能极值点为可能极值点为6,0 xxx)0,()6,4()4,0(04)(xf )(xf 0极大值极大值极小值极小值)0(f极小值极小值.0)4(f极大值极大值,423 6），（6 无极值无极值-11234560.511.522.53 6)(332的图形如下的图形如下函数函数xxxf nn的最大项的最大项.证证 设设),1()
13、(1 xxxfx用对数求导法得用对数求导法得)ln1()(21xxxfx 令令,0)(xf得得,ex x)(xf )(xfe),1e),(e0ee1 因为因为)(xf在在),1 只有唯一的极大点只有唯一的极大点,ex 因此在因此在ex 处处)(xf也取最大值也取最大值.又因又因,32 e442 且且,33 nn为数列为数列故故33中的最大项中的最大项.极大值极大值列表判别列表判别:P183 题题14.)1(ln)1(22 xxx证证 令令,)1(ln)1()(22 xxxxf则则0)1(fxxxfln2)(0)1(fxxfln2)(,121x02)1(f32)1(2)(xxxf xx1,)1(
14、2x法法1 由由)(xf在在1x处的二阶泰勒公式处的二阶泰勒公式,得得)(xf2)1(!2)1(xf3)1(!3)(xf 2)1(x332)1(31 x xx在在,0(0 故所证不等式成立故所证不等式成立.与与 1 之间之间),)1(ln)1()(22 xxxxf0)1(f2ln2)(1 xxxxf0)1(f,1ln2)(21 xxxf02)1(f32)1(2)(xxxf x)(xf )(xf )(xf )(xf1)1,0(),1(0020 ,0)(0 xfx时时故当故当即即.)1(ln)1(22 xxx,0)(1的唯一根是易知xfx的唯一为)(1xfx 故故0)1(f也是最小值也是最小值,因
15、此当因此当0 x时时,0)(xf即即22)1(ln)1(xxx,)1(ln)1()(22 xxxxf0)1(f2ln2)(1 xxxxf0)1(f,1ln2)(21 xxxf02)1(f，极小点,0)1(f且1yox22)1(ln)1(xxxy例例15 设函数设函数 求求 的极值的极值 ，002)(2xxxxxfx)(xf解解，2)(lim0 xfx，1)(lim0 xfx ，0)2ln2(01)(2xxxxxfx令令 ，0)(xf当当 时，时，)0,(x，0)(xf得得 单调增加；单调增加；)(xf当当 时，时，)e,0(1 x，0)(xf)(xf当当 时，时，),(e1 x0)(xf得得
16、单调增加单调增加)(xf所以所以 ，分别为函数的极大值分别为函数的极大值和和2)0(f1e21e)(e f极小值极小值因因.e1 x得得得得 单调减少；单调减少；如图所示，铁杆的长度为如图所示，铁杆的长度为 ，从而，从而，例例16 设有一直角弯道，入口的宽度为设有一直角弯道，入口的宽度为 ，拐弯处，拐弯处a的宽的宽度为度为 ，求以水平方向通过的铁杆的最长长度，求以水平方向通过的铁杆的最长长度a8解解21LLL ，)20(cossin821 aLaL，cossin8aaL 22cossinsincos8aaL a8a2L1L其中其中令令，0 L，51cos52sin ，55554cossin8a
17、aaaaL 即铁杆的最大长度为即铁杆的最大长度为.55a从而从而，2tan 得得例例17 在椭圆在椭圆 上求一点上求一点 ，使它，使它12222 byax),(yxP与与另两点另两点 ，所构成的三角形面积为最小所构成的三角形面积为最小)0,2(aA)2,0(bB解解因线段因线段 固定，故欲使面积最小，即要使点固定，故欲使面积最小，即要使点ABP离离开线段开线段 的距离为最小的距离为最小AB线段线段 的方程为的方程为AB，122 byax即即02 abaybx点点 到直线的距离为到直线的距离为PxyO2aa2bb，22|2|baabaybxd AB注意到点在直线的下方，注意到点在直线的下方，即即
18、.02 abaybx，aybxabxf 2)(而而，22221xaabaxby 代入，得代入，得 ，222)(xabbxabxf 令令，0)(22 xaxbbxf得得，2ax 代入代入 的表达式，的表达式，y)2,2(baP令令即所求点的坐标为即所求点的坐标为2by 得得 ，)0()1arctan(arctanlim2 ananann解法解法1 利用中值定理求极限利用中值定理求极限原式原式)1(11lim22 nanann 之间）之间）与与在在1(nana 221)1(lim annnna P182 题题4令令,arctan)(xxf 则则,11)(2xxf 22)1(2)(xxxf )()0
19、()0()0()(22!21xoxfxffxf )(2xox 原式原式2limnn )0()1arctan(arctanlim2ananann 22112)()1(limnnnonnnaa )1(2nona )1(1(12nona)0()1arctan(arctanlim2 ananann原式原式21arctanarctanlimxxbxax xt1 令令20arctanarctanlimttbtat 1证明方程证明方程 只有一个正根只有一个正根015 xx2设设 可导，证明可导，证明 的两个零点之间一定有的两个零点之间一定有)(xf)(xf 的零点的零点)()(xfxf3求函数求函数 的极值的极值)10()1()(1xxxxfxx4在第在第象限内作象限内作 的切线，使其与两坐的切线，使其与两坐1422 yx标轴所成的三角形面积最小，求切点的坐标标轴所成的三角形面积最小，求切点的坐标5设设 在点在点 的某邻域内有三阶导数，如果的某邻域内有三阶导数，如果)(xfy 0 x ，试问试问 是否为是否为0)()(00 xfxf0)(0 xf)(0 xf极值点？又极值点？又 是否为拐点？是否为拐点？)(,(00 xfx
