1、7.4基本不等式及其应用基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习基础知识自主学习(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号.知识梳理a0，b0ab2.几个重要的不等式几个重要的不等式(1)a2b2 (a，bR).2ab2(3)ab (a，bR).以上不等式等号成立的条件均为ab.设a0，b0，则a，b的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3.算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数4.利用基本不等式求最值问题利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当
2、且仅当 时，xy有最 值 .(简记：积定和最小)xy小(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当 时，xy有最 值 .(简记：和定积最大)xy大不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立 ；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)A成立 ；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A(xD)f(x)maxA(xD)f(x)minA恰在区间D上成立f(x)A的解集为D；不等式f(x)B恰在区间D上成立f(x)0，y0，且xy18，则xy的最大值为A.80 B.77 C.81 D.82考点自
3、测答案解析x0，y0，当且仅当xy9时，(xy)max81.2.已知f(x)x 2(x0，b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是答案解析a2b2(ab)22ab162ab8，选项D成立.4.(教材改编)已知x，y均为正实数，且x4y1，则xy的最大值为_.答案解析5.(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.答案解析25设矩形的一边为x m，则另一边为 (202x)(10 x)m，当且仅当x10 x，即x5时，ymax25.题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型一利用基本不等式求最值题型一利用基本不等式求最值命题点命题点1通过配凑法利用基本不等式通过配
4、凑法利用基本不等式答案解析当且仅当3x43x，即x 时，取等号.1答案解析因为x0，答案解析例例2已知a0，b0，ab1，则 的最小值为_.命题点命题点2通过常数代换法利用基本不等式通过常数代换法利用基本不等式答案解析4a0，b0，ab1，引申引申探究探究解答当且仅当ab 时，取等号.解答解答a2b3，思维升华(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(
5、3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.跟踪训练跟踪训练1(1)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是_.答案解析53x4y的最小值是5.当且仅当y 时等号成立，(3x4y)min5.(2)已知x，y(0，)，2x3()y，若 (m0)的最小值为3，则m_.答案解析4由2x3()y得xy3，解得m4.题型二基本不等式的实际应用题型二基本不等式的实际应用例例3(2017淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250
6、万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)x210 x(万元).当年产量不小于80千件时，C(x)51x 1 450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；解答因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.051 000 x万元，依题意得：当0 x80时，L(x)1 000 x0.05(x210 x)250 x240 x250；当x80时，L(x)1 000 x0.05(51x 1 450)2501 200(x ).(2)当年产量为多少千件时，该厂
7、在这一商品的生产中所获利润最大？当0 x0)经过圆x2y22y50的圆心，则 的最小值是A.9 B.8 C.4 D.2答案解析圆x2y22y50化成标准方程，得x2(y1)26，所以圆心为C(0,1).因为直线axbyc10经过圆心C，所以a0b1c10，即bc1.因为b，c0，(2)(2016山西忻州一中等第一次联考)设等差数列an的公差是d，其前n项和是Sn，若a1d1，则 的最小值是_.答案解析当且仅当n4时取等号.命题点命题点2求参数值或取值范围求参数值或取值范围答案解析m12，m的最大值为12.答案解析设g(x)x ，xN*，则g(2)6，g(3).对任意xN*，f(x)3恒成立，即
8、 3恒成立，即知a(x )3.思维升华(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.跟踪训练跟踪训练3(1)(2016福建四地六校联考)已知函数f(x)x 2的值域为(，04，)，则a的值是答案解析由题意可得a0，几何画板展示 答案解析由各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，可得a1q6a1q52a1q4，所以q2q20，解得q2或q1(舍去).因为 4a1，所以qmn216，所以
9、2mn224，所以mn6.又mn6，解得m2，n4，符合题意.利用基本不等式求最值现场纠错系列现场纠错系列9利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.错解展示现场纠错纠错心得返回解析解析(1)x0，y0，返回课时作业课时作业1.已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是1234567891011121314答案解析2.下列不等式一定成立的是答案解析12345678910111213141234567891011121314运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，而当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选
10、项C正确；1234567891011121314A.最小值1 B.最大值1C.最小值2 D.最大值2答案解析答案解析1234567891011121314123456789101112131412345678910111213145.(2016平顶山至阳中学期中)若函数f(x)x (x2)在xa处取最小值，则a等于答案解析12345678910111213146.已知x0，y0，且4xyx2y4，则xy的最小值为答案解析答案解析A.1 B.6 C.9 D.16 1234567891011121314123456789101112131412345678910111213148.(2016唐山一
11、模)已知x，yR且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_.答案解析4,12x24y24(当且仅当x2y时取等号).又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12(当且仅当x2y时取等号).综上可知4x24y212.9.(2016潍坊模拟)已知a，b为正实数，直线xya0与圆(xb)2(y1)22相切，则 的取值范围是_.答案解析(0，)12345678910111213141234567891011121314xya0与圆(xb)2(y1)22相切，ab12，即ab1，又a，b为正实数，12345678910111213144答案解析由题意知3a3b3，即3ab3
12、，ab1，a0，b0，*11.(2017东莞调研)函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m，n均大于0，则 的最小值为_.答案解析8yloga(x3)1恒过定点A(2，1)，由A在直线mxny10上.则2mn10，即2mn1.123456789101112131412.已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；解答1234567891011121314x0，y0，由基本不等式，得2x5y2 .2x5y20，2 20，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立.1234567891011121314此时xy有最大值10.u
13、lg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.1234567891011121314解答1234567891011121314x0，y0，1234567891011121314123456789101112131413.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1t30，tN*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)4，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)120|t20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1t30，tN*)的函数关系式；解答W(t)f(t)g(t)(4)(120|t20|)123456
14、78910111213141234567891011121314(2)求该城市旅游日收益的最小值.解答14.如图所示，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 km，某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx (1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；解答1234567891011121314令y0，得kx (1k2)x20.由实际意义和题设条件知x0，k0，当且仅当k1时取等号.所以炮的最大射程为10 km.1234567891011121314(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.解答因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka (1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根(20a)24a2(a264)00a6.所以当a不超过6 km时，可击中目标.1234567891011121314
