1、第第2讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 第第2 2讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 考点考点1 整式的加减整式的加减 考点自主梳理与热身反馈 单项式单项式 单项式的系数指单项式的单项式的系数指单项式的_，单项式的次数是，单项式的次数是 指指_ 多项式的项是多项式的项是_，多项式，多项式 的次数是的次数是_ 多项式多项式 多项式的排列包括多项式的排列包括_和和_ 数字因数数字因数 字母的指数和字母的指数和 组成多项式的每个单项式组成多项式的每个单项式 次数最高项的次数次数最高项的次数 升幂排列升幂排列 降幂排列降幂排列 第第2 2讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 同类项同类项 所含所含_相
2、同，并且相同，并且_的指数的指数也相同的项也相同的项 叫做同类项，几个常数项也是同类项叫做同类项，几个常数项也是同类项 去括号与添括号时要特别注意的是如果括号前边是去括号与添括号时要特别注意的是如果括号前边是 “”号，各项要号，各项要_符号符号 合并同类项：同类项的系数合并同类项：同类项的系数_，相同字母及其，相同字母及其 字母的指数字母的指数_ 整式的整式的 加减加减 整式的加减，整式的加减，先去括号，然后合并多项式中的同类项先去括号，然后合并多项式中的同类项 不变不变 字母字母 相同字母相同字母 改变改变 相加相加 第第2 2讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 12012 上海上海在下列代
3、数式中，次数为在下列代数式中，次数为3的单项式是的单项式是( ) Axy2 Bx3y3 Cx3y D3xy 22012 扬州扬州已知已知2a3b25，则，则102a3b2的值是的值是 _ 5 A 第第2 2讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 3 3 若单项式若单项式2 2a a m m2 2n nb bn n2 2m m2 2 与与a a 5 5b b7 7 是同类项， 则是同类项， 则n n m m 的值是的值是_ 1 3 解析解析 由同类项定义可得由同类项定义可得 m m2 2n n5 5， n n2 2m m2 27 7， 解得解得 m1， n3， 所以所以 nm3 1 1 3. 第第2
4、 2讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 解：解： 原式原式1515a a 2 2b b 5 5abab 2 2 3 3abab 2 2 1515a a 2 2b b 8 8abab 2 2. . 4 4计算：计算：5 5( (3 3a a 2 2b b abab 2 2) ) 3 3( (abab 2 2 5 5a a 2 2b b) ) 第第2 2讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 考点考点2 整式的乘除整式的乘除 幂的幂的 运算运算 aman_；(am)n_； aman_(a0)；(ab)n_. 其中其中，m,n 都是都是整数整数 单项式乘单项式乘 以单项式以单项式 把把_、_相乘，对相乘
5、，对 于只在一个单项式里含有的字于只在一个单项式里含有的字 母， 则连同它的指数作为积的一母， 则连同它的指数作为积的一 个因数个因数 多项式乘多项式乘 以单项式以单项式 (abc)m_ 整式整式 的乘的乘 法法 多项式乘多项式乘 以多项式以多项式 (ab)(mn)_ am n amn am n anbn 系数系数 相同字母相同字母 ambmcm amanbmbn 第第2 2讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 单项式除单项式除 以单项式以单项式 把把_、_分别相除分别相除 后，作为商的因式；只在被除式后，作为商的因式；只在被除式 里含有的字母，则里含有的字母，则_ 一起作为商的一个因式一起作为
6、商的一个因式 整式除法整式除法 多项式除多项式除 以单项式以单项式 先把这个多项式的每一项分别先把这个多项式的每一项分别 除以除以_，再把所得的商，再把所得的商 _，即，即(ambmcm) m _ 平方差公平方差公 式式 (ab)(ab)_ 乘法公式乘法公式 完全平方完全平方 公式公式 (a b)2_ a22abb2 系数系数 相同字母相同字母 连同它的指数连同它的指数 单项式单项式 相加相加 abc a2b2 第第2 2讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 5下列计算正确的是下列计算正确的是( ) Aa2a2a4 Ba5a2a7 C(a2)3a5 D2a2a22 6若若 a0 且且 ax2，a
7、y3，则，则 ax y 的值为的值为( ) A1 B1 C.2 3 D. 3 2 B C 第第2 2讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 7下列计算结果正确的是下列计算结果正确的是( ) A2x2y32xy2x3y4 B3x2y5xy22x2y C28x4y27x3y4xy D(3a2)(3a2)9a24 8若若ab5，ab3，则，则a2b2_ 9先化简，再求值：先化简，再求值：(xy)2(xy)(xy) x，其中，其中x 1，y1 2. 解解：原式原式2x2y，当，当 x1，y1 2时，原式 时，原式3 C 19 第第2 2讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 考点考点3 因式分解因式分解 定义
8、定义 把一个多项式化为几个整式的把一个多项式化为几个整式的_的形式的形式 叫做因式分解叫做因式分解 提公因提公因 式法式法 mambmc_ a2b2_ 方法方法 公式法公式法 a22abb2_ 步骤步骤 (1)一提：如果多项式各项有公因式，应先提取一提：如果多项式各项有公因式，应先提取 公因式；公因式； (2)二套： 尝试使用公式法来分解因式；二套： 尝试使用公式法来分解因式； (3)三查：要检查多项式因式是否能继续分解，三查：要检查多项式因式是否能继续分解， 要分解到每个多项式不能再分解为止要分解到每个多项式不能再分解为止 (a b)2 积积 m(abc) (ab)(ab) 第第2 2讲讲
9、整式与因式分解整式与因式分解 10.下列分解因式正确的是下列分解因式正确的是( ) A2x2xyx2x(xy1) Bxy22xy3yy(xy2x3) Cx(xy)y(xy)(xy)2 Dx2x3x(x1)3 11分解因式：分解因式：(1)16y4_； (2)2a34a2b22ab4_ C 2a(ab2)2 (4y2)(2y)(2y) 第第2 2讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 12在三个整式在三个整式x22xy，y22xy，x2中，请你任意选出两个进中，请你任意选出两个进 行加行加(或减或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解 解：解：方
10、法一方法一：(x22xy)x22x22xy2x(xy)； 方法二方法二：(y22xy)x2(xy)2； 方法三方法三：(x22xy)(y22xy)x2y2(xy)(xy)； 方法四方法四：(y22xy)(x22xy)y2x2(yx)(yx). 第第2 2讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 考向互动探究与方法归纳 典型分析 例例 我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中 提出提出“杨辉三角杨辉三角”(如图如图21)，此图揭示了，此图揭示了(ab)n(n为非负整数为非负整数)展展 开式的项数及各项系数的有关规律开式的项数及各项系数的有关规律 例如：例如：
11、(ab)01，它只有一项，系数为，它只有一项，系数为1；(ab)1ab，它，它 有两项，系数分别为有两项，系数分别为1，1，系数，系数和为和为2；(ab)2a22abb2，它，它 有三项，系数分别为有三项，系数分别为1，2，1，系数和为，系数和为4；(ab)3a33a2b 3ab2b3，它有四项，系数分别为，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为，系数和为8； 第第2 2讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 图图21 根据以上规律，解答下列问题：根据以上规律，解答下列问题： (1)(ab)4的展开式共有的展开式共有_项，系数分别为项，系数分别为 _； (2)(ab)n的展开式共有的展开式共
12、有_项，系数和为项，系数和为 _ 第第2 2讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 解析解析 通过阅读理解寻找规律，观察可得(ab)n(n为非负整 数)展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系 数等于(ab)n1相邻两项的系数和因此可得(ab)4的各项系数 分别为1、(13)、(33)、(31)、1，即1、4、6、4、1. 第第2 2讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 解：解：(1)根据题意知，(ab)4的展开式共有5项，各项系数分别 为1、4、6、4、1； (2)(ab)n的展开式共有(n1)项，系数和为2n. 方法归纳方法归纳 此类问题在于观察、分析已知数据，寻找它此类问题在于观
13、察、分析已知数据，寻找它 们之间的相互联系，探寻其规律们之间的相互联系，探寻其规律 第第2 2讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 观察下面各式规律：观察下面各式规律：12(12)222(121)2； 22(23)232(231)2；32(34)242(341)2； 写出第写出第n个式子，并证明你的结论个式子，并证明你的结论 解析解析 观察各式的结构特征观察各式的结构特征，不难发现式子的左侧是连续不难发现式子的左侧是连续 两整数及它们乘积的平方和两整数及它们乘积的平方和，右侧是它们的乘积与右侧是它们的乘积与1的和的平的和的平 方方然后证明结论然后证明结论 第第2 2讲讲 整式与因式分解整式与因式分解 解：解：第第n个式子：个式子：n2 n n1 2 (n1)2 n n1 1 2. 证明：因为左边证明：因为左边n2 n n1 2 (n1)2n2(n2n)2(n 1)2(n2n)2n2n22n1(n2n)22(n2n)1(n2n 1)2，而右边，而右边(n2n1)2，所以左边右边，所以左边右边，等式成立等式成立.
