1、第第17讲讲 等腰三角形等腰三角形 考点考点1 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 考点自主梳理与热身反馈 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 定义定义 经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做 这条线段的垂直平分线这条线段的垂直平分线 性质性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点 的距离相等的距离相等 判定判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条与一条线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上 实质实质 线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点
2、距离相等的所有点的集合距离相等的所有点的集合 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 1.如图如图171，直线，直线CD是线段是线段AB的的垂直平分线，垂直平分线，P为直线为直线 CD上的一点，已知线段上的一点，已知线段PA5，则线段，则线段PB的长度为的长度为( ) A6 B5 C4 D3 图图171 B 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 2如图如图172，有，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，三个居民小区的位置成三角形， 现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的 距离相等，则超市应建在距离相等，则超市应建在
3、( ) A在在AC，BC两边高线的交点处两边高线的交点处 B在在AC，BC两边中线的交点处两边中线的交点处 C在在AC，BC两边垂直平分线的交点处两边垂直平分线的交点处 D在在A，B两内角平分线的交点处两内角平分线的交点处 图图172 C 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 3如图如图173，ABC中，中，ABAC，A36，AC的垂直的垂直 平分线交平分线交AB于于E，D为垂足，连为垂足，连接接EC. (1)求求ECD的度数；的度数； (2)若若CE5，求，求BC的长的长 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 解：解：(1)ED垂直平分垂直平分AC， AECE，ECDA. A36 ，EC
4、D36 . (2)ABAC，A36 ， B1 2(180 36 )72 . ECDA36 ， BECECDA36 36 72 ， BBEC，BCCE. CE5，BC5. 考点考点2 等腰三角形的定义及性质等腰三角形的定义及性质 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 定义定义 有有_相等的三角形是等腰三角形相等相等的三角形是等腰三角形相等 的两边为腰、第三边为底的两边为腰、第三边为底 轴对称性轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，有等腰三角形是轴对称图形，有 _条对称轴条对称轴 定理定理1 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等(简写简写 成：成：_) 性性质质 定理定理2 等腰三角形的
5、顶角平分线、底边上等腰三角形的顶角平分线、底边上 的的_和底边上的高互相重和底边上的高互相重 合，简称合，简称“三线合一三线合一” 中线中线 两条边两条边 1 等边对等角等边对等角 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 4.等腰三角形的底角为等腰三角形的底角为40，则这个等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的顶角为 ( ) A40 B80 C100 D100或或40 5等腰三角形的两边长为等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长是，则它的周长是( ) A17 B17或或22 C20 D22 D C 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 6如图如图174，ABAC，BDBC，若，若A40，则，
6、则ABD的的 度数是度数是( ) A20 B30 C35 D40 图图174 B 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 7已知等腰已知等腰ABC的腰的腰ABAC10 cm，底边，底边BC 12 cm，则，则ABC的角平分线的角平分线AD的长是的长是_cm. 解析解析 由等腰三角形由等腰三角形“三线合一三线合一”的性质，知的性质，知ADBC，且，且BD CD.在在RtABD中，中，AB10 cm，BD 1 2 BC6 cm，AD AB2BD2 102628(cm) 8 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 8如图如图175，已知，已知D、E是等腰是等腰ABC底边底边BC上两点，且上两点，且
7、BDCE.求证：求证：ADEAED. 图图175 证明：证明：在等腰在等腰ABC中中， ABAC， BC. 又又BDCE， ABDACE(SAS) ADBAEC. ADEAED. 考点考点3 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 根据定义根据定义 一个三角形中，如果有两条边相等，那么这个一个三角形中，如果有两条边相等，那么这个 三角形是等腰三角形三角形是等腰三角形 判定定理判定定理 等角对等角对_，即一个三角形中，如果有两个，即一个三角形中，如果有两个 角相等，那么这两个角所对的边也相等角相等，那么这两个角所对的边也相等 等边等边 第第1717讲讲 等腰三角
8、形等腰三角形 9如图如图176，在，在ABC中，中，ADBC于于D. 请请你再添加一个条件，就可以确定你再添加一个条件，就可以确定ABC是等腰是等腰 三角形三角形你添加的条件是你添加的条件是_ 图图176 答案不唯一答案不唯一，如如BDDC，BC等等 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 10如图如图177，点，点E、F在在BC上，上，BECF，AD， BC，AF与与DE交于点交于点O. (1)求证：求证：ABDC； (2)试判断试判断OEF的形状，并说明理由的形状，并说明理由 图图177 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 证明：证明：(1)BECF， BEEFCFEF， 即即BFCE
9、. 又又AD，BC， ABFDCE(AAS)，ABDC. (2)OEF为等腰三角形为等腰三角形 理由如下理由如下：ABFDCE， AFBDEC， OEOF，OEF为等腰三角形为等腰三角形 考点考点4 等边三角形的性质及其判定等边三角形的性质及其判定 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 定义定义 三边相等的三角形是等边三角形三边相等的三角形是等边三角形 等边三角形的各角都等边三角形的各角都_，并且每一，并且每一 个角都等于个角都等于_ 性质性质 等边三角形是轴对称图形，有等边三角形是轴对称图形，有_条条 对称轴对称轴 (1)三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形 判
10、定判定 (2)有一个角等于有一个角等于60的等腰三角形是等边的等腰三角形是等边 三角形三角形 3 相等相等 60 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 11等边三角形角平分线、中线和高的条数共为等边三角形角平分线、中线和高的条数共为( ) A3 B5 C7 D9 A 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 12如图如图178，A、C、B三点在同一条直线上，三点在同一条直线上，DAC和和 EBC都是等边三角形，都是等边三角形，AE、BD分别与分别与CD、CE交于点交于点M、 N，有如下结论：，有如下结论：ACEDCB；CMCN；ACDN. 其中，正确结论的个数是其中，正确结论的个数是( ) A
11、3 B2 C1 D0 图图178 B 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 解析解析 DAC和和EBC都是等边三角形，都是等边三角形， ACCD，CEBC，ACDECB60 ， ACEDCB， ACEDCB(SAS)(正确正确)AECDBC. DCEACDECB180 ，ACDECB60 ， DCEECB60 . CEBC，DCEECB60 ，AECDBC， EMCBNC(ASA)CMCN(正确正确) 结论无法证得结论无法证得 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 13如图如图179，等边三角形，等边三角形ABC的边长是的边长是6 cm，BD是是 中线，延长中线，延长BC至至E，使，使CE
12、CD，连接，连接DE，则，则DE的长是的长是 _cm. 图图179 3 3 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 解析解析 ABC是等边三角形是等边三角形，BD是中线是中线，ABCACB 60 ，DBC30 . 又又CECD，CDECED. 又又BCDCDECED， CDECED1 2 BCD30 .DBCCED. DBDE. 等边三角形等边三角形ABC的边长是的边长是6 cm， DEBD3 3(cm) 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 14如图如图1710，点，点M、N分别在正三角形分别在正三角形ABC的的BC、CA 边上，且边上，且BMCN，AM、BN交于点交于点Q. 求证：求证：
13、BQM60. 图图1710 证明：证明：在在ABM和和BCN中中， BMNC， ABMBCN， ABBC， ABMBCN. BAMCBN. BQMBAQABQMBQABQ60 . 考向互动探究与方法归纳 典型分析 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 例例 如图如图1711，在，在ABC中，中，AB AC，D、E分别是分别是AB、AC上的点，且上的点，且BC CD，ADDECE，则，则A的度数是的度数是( ) A50 B45 C40 D36 图图1711 B 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 解析解析 ABAC，BACB. BCCD，BBDC. 又ADDECE，ADEA，EDCECD.
14、 设EDCECDx，则ADEA2x，BBDC3x. 在ABC中，2x3x3x180， 解得：x22.5，则2x45，即A的度数为45.故选B. 方法技巧方法技巧利用方程解决几何问题是几何计算的常用方法，体利用方程解决几何问题是几何计算的常用方法，体 现了数形结合思想现了数形结合思想 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 如图如图1712，AOB是一钢架，是一钢架，AOB15， 为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH 添的钢管长度都与添的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管相等，则最多能添加这样的钢管( ) 图图1712 A2根根 B4根根 C5根根 D无数根无数根 方法技巧方法技巧根据等腰三角形的性质求出各相等的角，然后根根据等腰三角形的性质求出各相等的角，然后根 据三角形内角和外角的关系解题据三角形内角和外角的关系解题 C 第第1717讲讲 等腰三角形等腰三角形 解析解析 AOB15 ，OEFE， GEF15 230 . EFGF，所以所以EGF30 . GFH15 30 45 . GHGF， GHF45 ，HGQ45 15 60 . GHHQ，GQH60 ，QHB60 15 75 . QHQB， QBH75 ，HQB18075 75 30 ， 故故OQB60 30 90 ，不能再添加了不能再添加了.
