1、 在工农业生产和科研活动中，我们经常遇到这在工农业生产和科研活动中，我们经常遇到这样的问题：影响产品产量、质量的因素很多，例如样的问题：影响产品产量、质量的因素很多，例如影响农作物的单位面积产量有品种、施肥种类、施影响农作物的单位面积产量有品种、施肥种类、施肥量等许多因素。我们要了解这些因素中哪些因素肥量等许多因素。我们要了解这些因素中哪些因素对产量有显著影响，就要先做试验，然后对测试结对产量有显著影响，就要先做试验，然后对测试结果进行分析，作出判断。方差分析就是分析测试结果进行分析，作出判断。方差分析就是分析测试结果的一种方法。果的一种方法。引引 言言基基 本本 概概 念念 试验试验指标指标
2、试验结果。试验结果。可控可控因素因素在影响试验结果的众多因素中，可人为在影响试验结果的众多因素中，可人为 控制的因素。控制的因素。水平水平可控因素所处的各种各种不同的状态。每个可控因素所处的各种各种不同的状态。每个 水平又称为试验的一个处理。水平又称为试验的一个处理。单因素试验单因素试验如果在一项试验中只有一个因素改变，如果在一项试验中只有一个因素改变，其它的可控因素不变，则该类试验称为其它的可控因素不变，则该类试验称为 单因素试验。单因素试验。引例引例 例例1（灯丝的配料方案优选）某灯泡厂用四种配料方案制成的灯（灯丝的配料方案优选）某灯泡厂用四种配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中
3、作随机抽样，测量其使用寿丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中作随机抽样，测量其使用寿命（单位：小时），数据如下：命（单位：小时），数据如下：灯泡灯泡寿命寿命灯丝灯丝12345678甲甲1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800乙乙1580 1640 1640 1700 1750丙丙1460 1550 1600 1620 1640 1740 1660 1820丁丁1510 1520 1530 1570 1680 1600灯泡的使用寿命灯泡的使用寿命试验指标试验指标 灯丝的配料方案灯丝的配料方案试验因素试验因素（唯一的一个）（唯一的一个）四种配料方案（甲乙丙丁）四种配料方案（甲
4、乙丙丁）四个水平四个水平 因此，本例是一个因此，本例是一个四水平的单因素试验四水平的单因素试验。引引 例例 用用X1，X2，X3，X4分别表示四种灯泡的使用寿命，即为分别表示四种灯泡的使用寿命，即为四个总体。假设四个总体。假设X1，X2，X3，X4相互独立，且服从方差相互独立，且服从方差相同的正态分布，即相同的正态分布，即XiN（i，2）（）（i=1，2，3，4）本例问题归结为检验假设本例问题归结为检验假设 H0：1=2=3=4 是否成立是否成立 我们的目的是通过试验数据来判断因素我们的目的是通过试验数据来判断因素 A 的不的不同水平对试验指标是否有影响。同水平对试验指标是否有影响。设设 A
5、表示欲考察的因素，它的表示欲考察的因素，它的 个不同水平，对个不同水平，对应的指标视作应的指标视作 个总体个总体 每个水平下每个水平下,我我们作若干次重复试验：们作若干次重复试验：（可等重复也可不（可等重复也可不等重复），同一水平的等重复），同一水平的 个结果，就是这个总体个结果，就是这个总体 的一个样本：的一个样本：rr12,.rXXX12,.rn nnin12,.iiiinXXXiX 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析12,.iiiinXXX因此，因此，相互独立，且与相互独立，且与 iX同分布。同分布。单因素试验资料表单因素试验资料表其中诸其中诸 可以不一样，可以不一样，1riinn
6、in水平水平重复重复12.rAAA 1.ni121121112.rrnnrnXXXXXX1iniijjTX列和12.rTTTiiiXT n列平均1riiT总和11riiiXn Xn12.rXXX（水平组内平均值）（水平组内平均值）（总平均值）（总平均值）试验结果试验结果 纵向个体间的差异称为纵向个体间的差异称为随机误差（组内差异），随机误差（组内差异），由试验造由试验造成；横向个体间的差异称为成；横向个体间的差异称为系统误差（组间差异），系统误差（组间差异），由因素的由因素的不同水平造成。不同水平造成。品种品种重复重复12345AAAAA1234133383731393735393440353
7、5383431ijjx12010510811499ix40353638335311546ijijx例：五个水稻品种单位产量的观测值例：五个水稻品种单位产量的观测值P16553111536.4ijijx 由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差，由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差，所以设：所以设：,1,2,.,1,2,.ijiijiXjn ir其中其中 为试验误差，相互独立且服从正态分布为试验误差，相互独立且服从正态分布ij20,ijN线性统计模型线性统计模型 单因素试验的方差分析的数学模型单因素试验的方差分析的数学模型21.,1,2,.iiXNir 具有具有方差齐性。方差齐性。122
8、.,.rXXX相互独立，从而各子样也相互独立。相互独立，从而各子样也相互独立。首先，我们作如下假设：首先，我们作如下假设：即即 令令 （其中（其中 ）称为）称为一般平均值一般平均值。111,rriiiiinnnn,ii称为因素称为因素A的的第第 个水平个水平 的效应的效应。iiA,1,2,.,1,2,.ijiijiXjn ir则则线性统计模型线性统计模型变成变成于是检验假设：于是检验假设：012:.rH等价于检验假设：等价于检验假设：012:.0rH显然有：显然有：1110rrriiiiiiiiinnnn整个试验的均值整个试验的均值 考察统计量考察统计量211inrTijijSSXX经恒等变形
9、，可分解为：经恒等变形，可分解为：TAESSSSSS其中其中22A111SSinrriiiiijiXXn组间平方和（系组间平方和（系统离差平方和）统离差平方和）反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。如果如果H0 成立，则成立，则SSA 较小。较小。,1,2,.,1,2,.ijijiXjn ir若若H0成立，则成立，则总离差平方和总离差平方和 见书见书P168 1111,iinnriijijijjn其中其中 22E1111SSiinnrriiijijijijXX组内平方和组内平方和误差平方和误差平方和1111,iinnriijijijjn这里这里
10、反映的是重复试验种随机误差的大小。反映的是重复试验种随机误差的大小。i表示水平表示水平Ai的随机误差；的随机误差；表示整个试验的随机误差表示整个试验的随机误差2,ijXN 012:.0rHaaa若假设若假设 成立，则成立，则 由由P106定理定理5.1可推得：可推得：2222221,1,TAESSSSSSnrnr222,TAESSSSSS将将 的自由度分别记作的自由度分别记作,TAEdfdfdf则则1,AAEESSdfFF rnrSSdf（记（记 ，称作均方和），称作均方和）,AAAEEESSdfMSSSdfMS（各子样同分布）（各子样同分布）则则1,AAEESSdfFF rnrSSdf（记（
11、记 ，称作均方和），称作均方和）,AAAEEESSdfMSSSdfMS对给定的检验水平对给定的检验水平 ，由，由1,P FFrnr得得H0 的拒绝域为：的拒绝域为：1,FFrnrF 单侧检验单侧检验 结论：结论：方差分析方差分析实质上实质上是假设检验是假设检验，从分析离差，从分析离差平方和入手，找到平方和入手，找到F统计量统计量，对对同方差同方差的多个正态总体的多个正态总体的均值是否相等进行假设检验的均值是否相等进行假设检验。单因素试验中两个水。单因素试验中两个水平的均值检验可用第七章的平的均值检验可用第七章的T检验法。检验法。AEMSMS思考：为什么此处只做单侧检验？思考：为什么此处只做单侧
12、检验？（1）若若 ，则称因素的，则称因素的差异极显著差异极显著（极有极有统计意统计意义），或称因素义），或称因素A的影响的影响高度显著高度显著，这时作标记，这时作标记 ；0.01FF*约约 定定 *0.050.01FFF（2）若）若 ，则称因素的，则称因素的差异显著差异显著（差异（差异有有统计意义），或称因素统计意义），或称因素A的的影响显著影响显著，作标记，作标记 ；0.10.05FFF*（3）若）若 ，则称因素，则称因素A有一定影响有一定影响，作，作标记标记（）；0.10FF（4）若）若 ，则称因素，则称因素A无显著影响（差异无显著影响（差异无无统计意义）。统计意义）。注意注意：在方差分析
13、表中，习惯于作如下规定：在方差分析表中，习惯于作如下规定：单因素试验方差分析表单因素试验方差分析表方差来源方差来源组间组间组内组内总和总和平方和平方和ASSESSTSS自由度自由度AdfEdfTdf均方和均方和AAASSMSdfEEESSMSdfF 值值AEMSFMSF 值临介值值临介值1,Frnr简便计算公式：简便计算公式：22A1SSriiiTTnn22E111SSinrriijijiiTXn1,iniijjTX1riiTT其中其中同一水平同一水平下观测值下观测值之和之和 所以观测所以观测值之和值之和 例例2 P195 2 以以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪三种饲料喂猪，得一个
14、月后每猪所增体重（单位：所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。）于下表，试作方差分析。饲料饲料ABC增重增重51 40 43 4823 25 2623 28解解：12351404348182,23252674,232851TTT1827451307T 12,936,18AETdfrdfnrdfn 解：解：123182,74,51,307TTTT222222A11827451307SS4329riiiTTnn11406.83 10472.11934.7222E111SSinrriijijiiTXn2225140.2811406.8311497 11406.832,6,8AETdfdfd
15、f11497 10472.111024.89TAESSSSSS934.73 2467.3690.17 615.03AEMSMS467.3631.1015.03AEMSFMS0.010.052,610.922,65.14FF*不同的饲料对猪的体重的影响不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义极有统计意义。列方差分析表列方差分析表方差来源方差来源组间组间组内组内总和总和平方和平方和934.7390.171024.89自由度自由度268均方和均方和467.3615.03F 值值31.10*F 值临介值值临介值0.052,65.14F0.012,610.92F例例2的上机实现步骤的上机实现步骤1、输入原
16、始数据列，并存到、输入原始数据列，并存到A，B，C列；列；各水平数据放同一列各水平数据放同一列各水平数据放在不同列各水平数据放在不同列2、选择、选择StatANOVAone-way(unstacked)0.010.05不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。定理定理 在单因素方差分析模型中，有在单因素方差分析模型中，有 221()(1)rAiiiE SSrn2()()EE SSnr如果如果H0不成立不成立，则，则 210riiin所以，所以，1AESSSSEErnr即即H0不成立不成立时，时，1AESSrSSnr有大于有大于1的趋势。的趋势。所以所以H0
17、为真时的小概率事件应取在为真时的小概率事件应取在F值较大的一侧。值较大的一侧。l 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析 在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果，受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果，而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。例如：某些合金，当单独加入元素例如：某些合金，当单独加入元素A或元素或元素B时，时，性能变化不大，但当同时加入元素性能变化不大，但当同时加入元素A和和B时，合金性时，合金性能的变化就特别显著。能的变化就特别显
18、著。统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析中，把它当成一个新因素来处理。中，把它当成一个新因素来处理。我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的问题，用正交试验法比较方便。问题，用正交试验法比较方便。无交互作用的双因素试验的方差分析无交互作用的双因素试验的方差分析 数学模型数学模型 假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素A有有a个水平，记作个水平，记作A1，A2，Aa；因素；因素B有
19、有b个水平，个水平，记作记作B1，B2，.Bb；则；则A与与B的不同水平组合的不同水平组合AiBj（i=1，2，a；j=1，2，b）共有）共有ab个，每个水平组合个，每个水平组合称为一个处理，每个处理只作一次试验，得称为一个处理，每个处理只作一次试验，得ab个观测个观测值值Xij，得双因素无重复实验表，得双因素无重复实验表双因素无重复（无交互作用）试验资料表双因素无重复（无交互作用）试验资料表因素因素 A12.bBBB1112112.baaabXXXXXX.1ajijiTX.1.2.bTTT.jjXTa.1biijjTX1XTab.1.2.bXXX因素因素 B1.aAA.iiXT b1.aTT
20、1.aXX11abijijTX 无交互作用的双因素试验的方差分析无交互作用的双因素试验的方差分析ijijijX线性统计模型线性统计模型 基本假设（基本假设（1）相互独立；相互独立；（2），（方差齐性）。，（方差齐性）。ijX2,ijijXN 其中其中 111abijijab所有期望值的所有期望值的总平均总平均 11biijija11ajijjibijijijX水平水平Ai对试验结果的效应对试验结果的效应 水平水平Bj对试验结果的效应对试验结果的效应 试验误差试验误差 特性：特性：2110;0;0,abijijijN11biijija11ajijjibijijijX水平水平Ai对试验结果的效应对
21、试验结果的效应 水平水平Bj对试验结果的效应对试验结果的效应 试验误差试验误差 要分析因素要分析因素A，B的差异对试验结果是否有显著的差异对试验结果是否有显著影响，即为检验如下假设是否成立：影响，即为检验如下假设是否成立：0112:0aH0212:0bH 总离差平方和的分解定理总离差平方和的分解定理仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和211abTijijSSXX可分解为：可分解为：TABESSSSSSSS2.1aiAiSSbXX称为因素称为因素A的离差平方和，的离差平方和，反映因素反映因素 A 对试验指标的影响。对试验指标的影响。2.1bjBjSSa
22、XX称为因素称为因素B的离差平方和，的离差平方和，反映因素反映因素 B 对试验指标的影响。对试验指标的影响。2.11abijEijijSSXXXX称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。2,ijXN 可推得：可推得：221TSSab2222,TABESSSSSSSS将将 的自由度分别记作的自由度分别记作,TABEdfdfdfdf，则，则 1,11AAAAEEESSdfMSFFaabSSdfMS2211ESSab 1,11BBBBEEESSdfMSFFbabSSdfMS若假设若假设 成立，则：成立，则：0102,HH221ASSa221BSSb
23、对给定的检验水平对给定的检验水平 ，F 右侧检验右侧检验 1,11AAAAEEESSdfMSFFaabSSdfMS 1,11BBBBEEESSdfMSFFbabSSdfMS 1,11AFFaab时，时，当当 1,11BFFbab时，时，当当拒绝拒绝H01，即，即A 因素的影响有统计意义。因素的影响有统计意义。拒绝拒绝H02，即，即B 因素的影响有统计意义。因素的影响有统计意义。双因素（无交互作用）试验的方差分析表双因素（无交互作用）试验的方差分析表方差来源方差来源因素因素A总和总和平方和平方和ASSBSSTSS自由度自由度AdfEdfTdf均方和均方和AAASSMSdfEEESSMSdfF 值
24、值AAEMSFMSF 值临介值值临介值(1,11)Faab因素因素B误差误差ESSBdfBBBSSMSdfBBEMSFMS(1,11)Fbab,ETABETABdfdfdffSSSSSSSS注意注意 各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方和的自由度为试验总次数减一。和的自由度为试验总次数减一。双因素（无交互作用）试验的方差分析表双因素（无交互作用）试验的方差分析表,AABBSSDp SSDp简便计算式：简便计算式：其中：其中：2.1,aAiiDTb,EABTSSRDDp SSRp2.1,bBjjDTa2,pTab211abijijRX例例1 设
25、甲、乙、丙、丁四个工人操作机器设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器、各一天，各一天，其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著 影响？影响？工人工人 A506352475442475741535848.1ajijiTX.jjXTa.1biijjTX51X 49.3 58.0 45.8机器机器 B.iiXT b612T 甲甲 乙乙 丙丙 丁丁 197 232 18316514314515955.047.748.353.0解解 基本计算如原表基本计算如原表 21131678abijijRX2.1123495aAiiDTb2.1142040.67
26、bBjjDTa231212Tpab466TSSRp114.67AASSDp318.5BBSSDp32.83ETABSSSSSSSS1 11Tdfn 1 3Adfa 1 2Bdfb 6EAbdfdfdf38.223AAAMSSSdf159.25BBBMSSSdf5.47EEEMSSSdf6.98AAEFMSMS29.10BBEFMSMS0.013,69.78F0.012,6BFF0.053,64.76F0.050.013,63,6AFFF0.012,610.92F 结论：工人对产品的产量有显著影响，结论：工人对产品的产量有显著影响，机器对产品的产量有极显著影响。机器对产品的产量有极显著影响。例例
27、1的上机操作的上机操作对应例对应例1 的数据输入方式的数据输入方式原始数据，行因素水平，列因素水平原始数据，行因素水平，列因素水平*0.010.0220.050.0010.01在在 下接受，在下接受，在 下否决下否决0.010.05在在 下否决下否决0.01（A）（B）工人对产品产量有显著影响，而机器对产品产量的影响工人对产品产量有显著影响，而机器对产品产量的影响极极显著。显著。有交互作用的双因素试验的方差分析有交互作用的双因素试验的方差分析ijkijijkijX线性统计模型线性统计模型 基本假设（基本假设（1）相互独立；相互独立；（2），（方差齐性）。，（方差齐性）。ijX2,ijijXN
28、有检验交互作用的效应，则两因素有检验交互作用的效应，则两因素A，B的不同水的不同水平的搭配必须作重复试验。平的搭配必须作重复试验。处理方法：把交互作用当成一个新因素来处理，处理方法：把交互作用当成一个新因素来处理，即把每种搭配即把每种搭配AiBj看作一个总体看作一个总体Xij。观测值观测值总平均总平均 因素因素A的效应的效应 因素因素B的效应的效应 交互作用交互作用的效应的效应 试验误差试验误差 有交互作用的双因素试验的方差分析有交互作用的双因素试验的方差分析线性统计模型线性统计模型 其中其中 111abijijab所有期望值的总平均所有期望值的总平均 11biijija11ajijjibij
29、kijkijX水平水平Ai对试验结果的效应对试验结果的效应 水平水平Bj对试验结果的效应对试验结果的效应 试验误差试验误差 ijkijijkijXijijij交互效应交互效应 特性：特性：110;0;abijij 要判断因素要判断因素A，B及交互作用及交互作用A B对试验结果是否对试验结果是否有显著影响，即为检验如下假设是否成立：有显著影响，即为检验如下假设是否成立：0112:0aH0212:0bH2110;0;0,abijkijijijN03:0 1,2,;1,2,ijHia jb 总离差平方和的分解定理总离差平方和的分解定理仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和仿单因素方差分析的方法，考
30、察总离差平方和2111abnTijkijkSSXX可分解为：可分解为：TABA BESSSSSSSSSS SSA称为因素称为因素A的离差平方和，反映因素的离差平方和，反映因素 A 对试验对试验指标的影响。指标的影响。SSB称为因素称为因素B的离差平方和，反映因素的离差平方和，反映因素 B 对试验指标的影响。对试验指标的影响。SSA B称为交互作用的离差平方和，称为交互作用的离差平方和，反映交互作用反映交互作用A B对试验指标的影响。对试验指标的影响。SSE称为误差平称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。方和，反映试验误差对试验指标的影响。2,ijkXN 若若“各因素、各水平及其交互作用
31、的影响无统计意义各因素、各水平及其交互作用的影响无统计意义”的假设的假设 成立，则成立，则 则则1,1AAAAEEESSdfMSFF aab nSSdfMS可推得：可推得：2222221,1,1ABTSSSSSSababn222211,1A BESSSSabab n1,1BBBBEEESSdfMSFF bab nSSdfMS11,1A BA BA BA BEEESSdfMSFFabab nSSdfMS 由由 作右侧假设检验来考察各因素及因素作右侧假设检验来考察各因素及因素间的交互作用对试验指标的影响力间的交互作用对试验指标的影响力.,ABA BFFF双因素有重复（有交互作用）试验资料表双因素有
32、重复（有交互作用）试验资料表因素因素 A12.bBBB1111211 111121.bnnbnXXXXXX.因素因素 B1AaA1121112.aaaba na nabnXXXXXX双因素（有重复）试验方差分析表双因素（有重复）试验方差分析表方差来源方差来源因素因素A总和总和平方和平方和ASSBSSTSS自由度自由度AdfEdfTdf均方和均方和AAASSMSdfEEESSMSdfF 值值AAEMSFMSF 值临介值值临介值(1,1)Faab n因素因素B误差误差ESSBdfBBBSSMSdfBBEMSFMS(1,1)Fbab nA BA BSSA BdfA BA BA BMSSSdfA BA
33、 BEMSFMS(11,1)Fabab n各离差平方和的计算公式参看出各离差平方和的计算公式参看出P180_181A BABdfdfdf这里这里例例3 P183 例题例题2因素因素A（能量）（能量）123BBB因素因素 B（蛋白质）（蛋白质）1A2A9.626.154.938.687.865.599.317.386.109.977.055.467.746.303.336.845.812.856.346.543.606.096.633.19输入数据时，输入数据时，C2表示行因素表示行因素水平，水平，C3表示列因素水平。表示列因素水平。第几次重复不必列明，软件第几次重复不必列明，软件自会识别。自会
34、识别。结果显示如结果显示如P185均均0.01饲料中能量的高低、蛋白质含量的不同饲料中能量的高低、蛋白质含量的不同及两者的交互作用对鱼的体重的影响极及两者的交互作用对鱼的体重的影响极有统计意义。有统计意义。各因素，各水平，各交互作用下的均值。各因素，各水平，各交互作用下的均值。作业作业 P195 3 4（借助软件完成）（借助软件完成）预习第三节预习第三节 正交试验设计正交试验设计 及其统计分析及其统计分析 引言引言 试验设计是数理统计中的一个较大的分支，它的试验设计是数理统计中的一个较大的分支，它的内容十分丰富。我们简介正交试验设计。内容十分丰富。我们简介正交试验设计。正交试验设计是利用正交试
35、验设计是利用“正交表正交表”进行科学地安排与进行科学地安排与分析多因素试验的方法。其主要优点是能在很多试验分析多因素试验的方法。其主要优点是能在很多试验方案中挑选出代表性强的少数几个试验方案，并且通方案中挑选出代表性强的少数几个试验方案，并且通过这少数试验方案的试验结果的分析，推断出最优方过这少数试验方案的试验结果的分析，推断出最优方案，同时还可以作进一步的分析，得到比试验结果本案，同时还可以作进一步的分析，得到比试验结果本身给出的还要多的有关各因素的信息。身给出的还要多的有关各因素的信息。SNLq 正交表是一种特别的表格，是正交设计的基本工具。正交表是一种特别的表格，是正交设计的基本工具。我
36、们只介绍它的记号、特点和使用方法。我们只介绍它的记号、特点和使用方法。正交表的记号及含义正交表的记号及含义记号及含义记号及含义 正交表的列数正交表的列数（最多能安排的因素个数，（最多能安排的因素个数，包括交互作用、误差等）包括交互作用、误差等）S正交表的行数正交表的行数（需要做的试验次数）（需要做的试验次数）N各因素的水平数各因素的水平数（各因素的水平数相等）各因素的水平数相等）q正交表正交表的代号的代号L如如 782L表示表示 782L表示各因素的表示各因素的水平数水平数为为2，做做8次试验次试验，最多考虑，最多考虑7个个因素因素（含交互作用）的（含交互作用）的正正交表交表。正交表的特点正交
37、表的特点1、正交表中任意一列中，不同的数字出现的次数相等；、正交表中任意一列中，不同的数字出现的次数相等；表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均匀表示：在试验安排中，所挑选出来的水平组合是均匀 分布的（每个因素的各水平出现的次数相同）分布的（每个因素的各水平出现的次数相同）均衡分散性均衡分散性2、正交表中任意两列，把同行的两个数字看成有序数、正交表中任意两列，把同行的两个数字看成有序数 对时，所有可能的数对出现的次数相同。对时，所有可能的数对出现的次数相同。表示：任意两因素的各种水平的搭配在所选试验中出现表示：任意两因素的各种水平的搭配在所选试验中出现 的次数相等的次数相等 整齐可比性整
38、齐可比性这是设计正交试验表的基本准则这是设计正交试验表的基本准则 正交试验设计的基本步骤正交试验设计的基本步骤 确定目标、选定因素（包括交互作用）、确定水平；确定目标、选定因素（包括交互作用）、确定水平；2.选用合适的正交表；选用合适的正交表；3.按选定的正交表设计表头，确定试验方案；按选定的正交表设计表头，确定试验方案；4.组织实施试验；组织实施试验；5.试验结果分析。试验结果分析。例例1 为了解决花菜留种问题，以进一步提高花菜种为了解决花菜留种问题，以进一步提高花菜种子的产量和质量，科技人员考察了浇水、施肥、病害防子的产量和质量，科技人员考察了浇水、施肥、病害防治和移入温室时间对花菜留种的
39、影响，进行了四个因素治和移入温室时间对花菜留种的影响，进行了四个因素各两个水平的正交试验，各因素及其水平如下表：各两个水平的正交试验，各因素及其水平如下表：因素因素水平水平1水平水平2A：浇水次数：浇水次数 不干死为原则，整个不干死为原则，整个生长期只浇水生长期只浇水12次次根据生长需水量和自然根据生长需水量和自然条件浇水，但不过湿条件浇水，但不过湿B：喷药次数：喷药次数 发现病害即喷药发现病害即喷药每半月喷一次每半月喷一次C：施肥次数：施肥次数 开花期施硫酸铵开花期施硫酸铵进室发根期、抽薹期、进室发根期、抽薹期、开花期和结果期各施肥开花期和结果期各施肥一次一次D：进室时间：进室时间 11月初
40、月初11月月15日日解解 第一步：选择适当的正交表第一步：选择适当的正交表 这是一个四因素两水平的正交试验及分析问题，这是一个四因素两水平的正交试验及分析问题，因此要选择因此要选择2SNL型的表，且不考虑交互作用时，型的表，且不考虑交互作用时，6S，782L仍然是满足条件的最小的正交表，仍然是满足条件的最小的正交表，所以选用正交表所以选用正交表 782L注：也可由试验次数应满足的条件来选择正交表。注：也可由试验次数应满足的条件来选择正交表。若考虑若考虑A与与B、A与与C的交互作用，则的交互作用，则 4S，而，而 782L是满足条件的最小的正交表，是满足条件的最小的正交表，所以还可选用正交表所以
41、还可选用正交表 782L其中：其中：,Tii jEii jdfdfdfdfN由由 确定。确定。1TdfN是可求出的，而是可求出的，而 是未知的，是未知的，,ii jii jdfdfEdf当不考虑交互作用时：可取当不考虑交互作用时：可取11NS q故故 N 不是唯一的。不是唯一的。试验次数试验次数N的确定原则的确定原则 所以一般地，由所以一般地，由 ,1ii jii jNdfdf确定确定 N，如三因素四水平如三因素四水平 43 的正交试验至少应安排的正交试验至少应安排3 4 1110 次以上的试验。次以上的试验。如三因素四水平如三因素四水平 43 并包括第一、二个因素的交互并包括第一、二个因素的
42、交互作用作用的正交试验至少应安排的试验次数为的正交试验至少应安排的试验次数为 3 4 14 14 1119 若再加上包括第一、五个因素的交互作用的正交试若再加上包括第一、五个因素的交互作用的正交试验则至少应安排的试验次数为验则至少应安排的试验次数为 43 4 13 2 112 1161 3 4 13 2 1113 次以上的试验。次以上的试验。3342 又如安排又如安排 的混合水平的正交试验至少应安排的混合水平的正交试验至少应安排所以一般地，有所以一般地，有 ,1ii jii jNdfdf第二步第二步 表头设计表头设计查交互作用表查交互作用表 表示位于第表示位于第二、第四列的两二、第四列的两因素
43、的交互作用因素的交互作用要放于第六列。要放于第六列。如如P190 L8（27）的交互作用表）的交互作用表列号列号 1 2 3 4 5 6 7 1 （1）3 2 5 4 7 6 2 （2）1 6 7 4 5 3 （3）7 6 5 4 4 （4）1 2 3 5 （5）3 2 6 （6）1 注意：主效应因素尽量不放交互列。如注意：主效应因素尽量不放交互列。如A、B因因素已放素已放C1、C2列，则列，则C 因素就不放因素就不放C3列。列。花菜留种的表头设计花菜留种的表头设计列号列号 1 2 3 4 5 6 7因子因子A BABCDA C考虑交互作用考虑交互作用A B和和A C，则例，则例1的表头可设计
44、为的表头可设计为 注：第注：第6列为空白列，当随机误差列；也可把第列为空白列，当随机误差列；也可把第7列列作空白列。一般要求至少有一个空白列。作空白列。一般要求至少有一个空白列。按正交表按正交表 得试验方案：得试验方案：782L 只需将各列中的数字只需将各列中的数字“1”、“2”分别理解为所填因素分别理解为所填因素在试验中的水平数，每一行就是一个试验方案。在试验中的水平数，每一行就是一个试验方案。第三步第三步 按所选定的正交试验方案组织试验，记录试验按所选定的正交试验方案组织试验，记录试验 结果；结果；见见P192 表表8-22 水 列平 号试验号ABAXB CAXCD产量1234567111
45、1111135021112222325312211224254122221142552121212200621221212507221122127582212112375 第四步第四步 分析正交试验结果分析正交试验结果方法方法1 直观分析（极差分析）直观分析（极差分析）（1）计算极差，确定因素的主次顺序）计算极差，确定因素的主次顺序 第第j列的极差列的极差 maxminjijijiiRTT maxminjijijiiRTT或或 极差越大，说明这个因素的水平改变对试验结果的极差越大，说明这个因素的水平改变对试验结果的影响越大，极差最大的那个因素，就是最主要的因素。影响越大，极差最大的那个因素，就
46、是最主要的因素。对例对例1来说，各因素的主次顺序为来说，各因素的主次顺序为 ABA CCDAB（2）确定最优方案）确定最优方案 如果不考虑交互作用，则根据各因素在各水平下的如果不考虑交互作用，则根据各因素在各水平下的总产量或平均产量的高低确定最优方案；如果考虑交互总产量或平均产量的高低确定最优方案；如果考虑交互作用，则取各种搭配下产量的平均数，按优化标准确定作用，则取各种搭配下产量的平均数，按优化标准确定最优方案。最优方案。本例中，不考虑交互作用，在方案本例中，不考虑交互作用，在方案A1B2C2D2最优，最优，但交互作用但交互作用A C是第三重要因素，所以需考虑是第三重要因素，所以需考虑A、C
47、的搭的搭配对实验指标的影响，取配对实验指标的影响，取AiBj的各种搭配的平均数，结的各种搭配的平均数，结果是果是A1与与C1 搭配最好，故本问题的最优方案为搭配最好，故本问题的最优方案为A1B2C1D2。方法方法2 方差分析法方差分析法 基本思想与双因素方差分析方法一致：将总的基本思想与双因素方差分析方法一致：将总的离差平方和分解成各因素及各交互作用的离差平方离差平方和分解成各因素及各交互作用的离差平方和，构造和，构造F统计量，对各因素是否对试验指标具有统计量，对各因素是否对试验指标具有显著影响，作显著影响，作F检验。检验。要求：能利用要求：能利用MINITAB完成正交试验的方差分析。完成正交
48、试验的方差分析。例例1的上机操作的上机操作按正交表及试验结果输入数据。按正交表及试验结果输入数据。不写不写C3 不写不写C5 要表明是交互作用要表明是交互作用 F1 表示该因子的影响力比试验表示该因子的影响力比试验误差更小，不必理会，（严重无统计误差更小，不必理会，（严重无统计意义）去掉这些因子，将它们造成的意义）去掉这些因子，将它们造成的微小差异归到试验误差中（软件会自微小差异归到试验误差中（软件会自动处理），则可突显其它因子的影响。动处理），则可突显其它因子的影响。去掉去掉C1*C2，C6后再作方差分析。后再作方差分析。*由由 P 值知，因素值知，因素A（C1）的影响力最大，）的影响力最大，B（C2）次之，）次之，再次之是交互作用再次之是交互作用A*C（C1*C4）。按此顺序，再根据各）。按此顺序，再根据各相关因子各水平的均值确定最优组合。相关因子各水平的均值确定最优组合。选选A1选选B2 在选在选A1的前题下选的前题下选C1 最后，最后，C6（D）无统计意义，选那无统计意义，选那一个水平都可以，一个水平都可以，故得两最优组合：故得两最优组合：A1B2C1D1和和A1B2C1D2 作业作业P198 6(利用软件利用软件MINITAB完成方差分析法完成方差分析法)预习：第九章预习：第九章 第一节第一节
