1、2.32.3等差数列的等差数列的上页上页下页下页高斯（高斯（Gauss,17771855），），德国著名数学家，他研究的内德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被史上最伟大的数学家之一，被誉为誉为“数学王子数学王子”.上页上页下页下页 有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的现了一个堆放铅笔的V形架，形架，V形架的最下面一层放形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一都比它下面一层多放一支，最上面一层放支，最上面一层放100支支.老师问：高斯，你
2、知道这老师问：高斯，你知道这个个V形架上共放着多少支铅笔吗？形架上共放着多少支铅笔吗？创设情景创设情景问题就是：问题就是：计算计算1 2 3 99 100上页上页下页下页高斯的算法高斯的算法计算：计算：1 2 3 99 100 高斯算法的高明之处在于他发现这高斯算法的高明之处在于他发现这100100个数可以分为个数可以分为5050组：组：第一个数与最后一个数一组；第一个数与最后一个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第三个数与倒数第三个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，每组数的和均相等，都等于每组数的和均相等，都等于101101，5050个个101101就等于就等
3、于50505050了。高斯算法将加法问题了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾首尾配对配对相加相加法法中间的一中间的一组数是什组数是什么呢？么呢？上页上页下页下页 若若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层一层都比它下面一层多放一支，最上面多放一支，最上面一层有很多支铅笔，一层有很多支铅笔，老师说有老师说有n支。问：支。问：这个这个V形架上共放形架上共放着多少支铅笔？着多少支铅笔？创设情景创设情景问题就是：问题就是：1 2 3 (n-1)n若用首尾配对相加法，需要分类讨论若用首尾配对
4、相加法，需要分类讨论.三角形三角形平行四平行四边形边形上页上页下页下页nn)1(321计算：2)1()1(321nnnnn (n-1)(n-2)2 1倒序相加法倒序相加法 那么，对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？前前n项和项和)1()1(3212nnnn分析：这分析：这其实是求其实是求一个具体一个具体的等差数的等差数列前列前n项项和和.上页上页下页下页123nnSaaaa12()nnSn aa 1213212nnnnnSaaaaaaaa121321nnnnaaaaaaaa又问题分析问题分析已知等差数列已知等差数列 an 的首项为的首项为a1，项，项数是数是n，第，第n项为项为an，求前，
5、求前n项和项和Sn.如何才能将如何才能将等式的右边等式的右边化简？化简？121nnnnSaaaa1()2nnn aaS即上页上页下页下页由此得到等差数列的由此得到等差数列的anan前前n n项和的公式项和的公式2)(1nnaanS即：等差数列前即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成上面的公式又可以写成dnnnaSn2)1(1差由等数列的通项公式差由等数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。个个可求另已知其中个量：公式共涉及到23.,51nnSand
6、a知三求二上页上页下页下页公式的记忆公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前列前 n 项和公式项和公式.na1an1()2nnn aaS上页上页下页下页公式的记忆公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前列前 n 项和公式项和公式.a1(n-1)dna1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.1(1)2nn nSnad上页上页下页下页公式应用公式应用 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的Sn：（1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2
7、，n=505002550 1()12nnn aaS解：10(595)2500 1(1)22nn nSnad解：50(50 1)50 100-222550上页上页下页下页 已知等差数列已知等差数列an(2)a14，S8172，求，求a8和和d.思路探索思路探索 根据等差数列前根据等差数列前n项和公式解方程项和公式解方程题型一与等差数列前题型一与等差数列前n项和有关的基本量的计算项和有关的基本量的计算【例【例1】上页上页下页下页 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，称为等差数列的三个基本量，an和和Sn都都可以用这三个基本量来表示，五个量可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中
8、中可知三求二，一般通过通项公式和前可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程项和公式联立方程(组组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用求解，在求解过程中要注意整体思想的运用上页上页下页下页 在等差数列在等差数列an中；中；(1)已知已知a610，S55，求，求a8和和S10；(2)已知已知a3a1540，求，求S17.【变式【变式1】上页上页下页下页解：由题意，该市在解：由题意，该市在“校校通校校通”工程中每年投入工程中每年投入的资金构成等差数列的资金构成等差数列an，【例【例2 2】20002000年年1111月月1414日教育部下发了关于在中小学实施日教育部下发了关于在中小学实
9、施“校校通校校通”工程的通知，某市据此提出了实施工程的通知，某市据此提出了实施“校校通校校通”工工程的总目标：从程的总目标：从20012001年起用年起用1010年的时间，在全市中小学建成不年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网同标准的校园网.据测算，据测算，20012001年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的工程的经费为经费为500500万元万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加金都比上一年增加5050万元万元.那么，从那么，从20012001年起的未来年起的未来1010年内，年内，该市在该市在“校校通校校通”工程中的
10、总投入是多少？工程中的总投入是多少？故，该市在未来故，该市在未来10年内的总投入为年内的总投入为答：从答：从2001年起的未来年起的未来10年内，该市在年内，该市在“校校通校校通”工工程中的总投入是程中的总投入是7250万元万元.1010(10 1)=10 500+502S=7250()万元且且a1=500,d=50,n=10.题型二题型二 利用等差数列求和公式解决实际问题利用等差数列求和公式解决实际问题上页上页下页下页【变式【变式2】一个屋顶的某一斜面成等腰一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一块，往下每一层多铺层多铺1块，斜面上铺了块，斜面上铺
11、了19层，共铺瓦片层，共铺瓦片多少块？多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列数列an，且，且a1=21，d=1，n=19.191919 119 2115702S 块答：屋顶斜面共铺瓦片答：屋顶斜面共铺瓦片570块块.于是，屋顶斜面共铺瓦片：于是，屋顶斜面共铺瓦片：上页上页下页下页题型三利用题型三利用Sn求求an 已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn32n，求，求an.解解(1)当当n1时，时，a1S1325.(2)当当n2时，时，Sn132n1，又又Sn32n，anSnSn12n2n12n1.又当又当n1时，时，a1211
12、15，【例【例3】上页上页下页下页 (1)已知已知Sn求求an，其方法是，其方法是anSnSn1(n2)，这里常常因为忽略条件这里常常因为忽略条件“n2”而出错而出错上页上页下页下页已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn2n23n，求，求an.解解a1S15，当当n2时，时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1，当当n1时也适合，时也适合，an4n1.【变式【变式3】上页上页下页下页【例【例4】已知一个等差数列的前】已知一个等差数列的前10项的和项的和是是310，前，前20项的和是项的和是1220，由此可以确，由此可以确定求其前定求其前n项和的公式吗？项和的公式吗？解：
13、由于解：由于S10310，S201220，将它们代，将它们代入公式入公式1(1)2nn nSnad可得可得111045310201901220adad146ad于是，所以所以2(1)46 32nn nSnnn 题型四题型四 已知等差数列的某些项的和求出已知等差数列的某些项的和求出n项和项和上页上页下页下页【例【例4】已知一个等差数列的前】已知一个等差数列的前10项的和项的和是是310，前，前20项的和是项的和是1220，由此可以确，由此可以确定求其前定求其前n项和的公式吗？项和的公式吗？1101011010()310622aaSaa1202012020()12201222aaSaa201060
14、aa1060d6d14a 21132nn nSa ndnn（）另解：两式相减得上页上页下页下页一个等差数列的前一个等差数列的前10项之和为项之和为100，前，前100项之和为项之和为10，求前求前110项之和项之和思路探索思路探索 解答本题可利用前解答本题可利用前n项和公式求出项和公式求出a1和和d，即可，即可求出求出S110，或利用等差数列前，或利用等差数列前n项和的性质求解项和的性质求解【变式【变式4】上页上页下页下页上页上页下页下页故此数列的前故此数列的前110项之和为项之和为110.法二数列法二数列S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100为等差数列，设公差为
15、为等差数列，设公差为d，则，则又又S10100，代入上式得，代入上式得d22，S110S100S10(111)d10010(22)120，S110120S100110.法三设等差数列法三设等差数列an的前的前n项和项和Snan2bn.S10100，S10010，上页上页下页下页上页上页下页下页解决此类问题的方法较多，法一、法三解决此类问题的方法较多，法一、法三是利用方程的思想方法确定出系数，从而求出是利用方程的思想方法确定出系数，从而求出Sn；法二是利用等差数列的法二是利用等差数列的“片断和片断和”性质，构造出性质，构造出新数列，从而使问题得到解决新数列，从而使问题得到解决上页上页下页下页课堂小结课堂小结1 1等差数列前等差数列前n n项和的公式；项和的公式；3.3.公式的应用公式的应用(知三求二）知三求二）4.4.用用上页上页下页下页（两个）（两个）1()2nnn aaS1(1)2nn nSnad)2(111nSSaSannn2等差数列前等差数列前n项和公式的推导方法项和公式的推导方法倒序相加法；倒序相加法；由sn求an时注意对n进行讨论
