1、xyo232.5厦门六中数学组厦门六中数学组对于给定的区间(a,b),a+b（1）定义为区间的中点，2（2）定义b-a为区间的长度。ab:艾普西隆我们把使我们把使0)(xf的实数的实数x1.定义：对于函数定义：对于函数)(xfy 叫做函数叫做函数)(xfy 的的零点零点思考：思考：1、零点是不是点？、零点是不是点？零点是一个实数，就是方程f(x)=0的实根怎样求函数怎样求函数yf(x)的零点的个数？的零点的个数？2.方程的根与函数的零点的关系：方程的根与函数的零点的关系：方程方程 f(x)f(x)0 0 有实数根有实数根函数函数 y yf(x)f(x)的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点函数
2、函数 y yf(x)f(x)有零点有零点数形结合代数法代数法图像法图像法 （2 2）将）将yf(x)变形，判断两图象交点个数变形，判断两图象交点个数（1 1）求相应方程）求相应方程f(x)=0f(x)=0的根的根 （3 3）利用函数的图象、性质、零点）利用函数的图象、性质、零点存在性条件去求存在性条件去求定理定理二、零点存在性定理思考1：零点唯一吗？思考思考3 3：函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不断的一条上的图象是连续不断的一条曲线：且曲线：且f(a)f(b)0f(a)f(b)0，是否在，是否在(a,b)(a,b)内函数就没有零点？内函数就没有零点？思考
3、思考2 2；若只给条件；若只给条件f(a)f(b)0f(a)f(b)0能否保证能否保证在在(a,b)(a,b)有零点？有零点？求证：函数f(x)=lnx+2x-6仅有一个零点，且在区间(2,3)内。f(2)=_,f(3)=_如何求出这个零点？缩小零点所在的区间范围，直到满足精确度。单调引例：引例：有有1212个大小相同的小球，其中有个大小相同的小球，其中有1111个小球质量相等，另有一个小球稍重，个小球质量相等，另有一个小球稍重，用天平称几次就可以找出这个稍重的球？用天平称几次就可以找出这个稍重的球？引引例例 从某水库闸房到防洪指挥部的某一处电话从某水库闸房到防洪指挥部的某一处电话线路发生了故
4、障。这是一条线路发生了故障。这是一条10km10km长的线路，如长的线路，如何迅速查出故障所在？何迅速查出故障所在？(每每5050米一根电线杆米一根电线杆)如果沿着线路一小段一小段查找如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多困难很多。每查一个点要爬一次电线杆子，每查一个点要爬一次电线杆子，10km10km长，大约长，大约有有200200根电线杆子呢。根电线杆子呢。想一想，维修线路的工人师傅怎样工作想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？最合理？如图如图,设闸门和指挥部的所在处为点设闸门和指挥部的所在处为点A,B,A,B,BAC6.6.这样每查一次这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半就可
5、以把待查的线路长度缩减一半,1.1.首先从中点首先从中点C C查查.2.2.用随身带的话机向两端测试时用随身带的话机向两端测试时,发现发现ACAC段正常段正常,断定断定 故障在故障在BCBC段段,3.3.再到再到BCBC段中点段中点D,D,4.4.这次发现这次发现BDBD段正常段正常,可见故障在可见故障在CDCD段段,5.5.再到再到CDCD中点中点E E来看来看.DE 利用我们刚才的方法，你能否求出方利用我们刚才的方法，你能否求出方程程lnx+2x-6=0 的近似解的近似解?如果能的话，怎么去解？你能用函数的如果能的话，怎么去解？你能用函数的零点的性质吗零点的性质吗？思考思考4:4:怎样计算
6、函数怎样计算函数 在区在区间（间（2 2，3 3）内精确到）内精确到0.010.01的零点近似值？的零点近似值？62xlnx)x(f区间（区间（a a，b b）中点值中点值mf（m）的近的近似值似值精确度精确度|a-b|（2 2，3 3）2.52.5-0.084-0.0841 1（2.52.5，3 3）2.752.750.5120.5120.50.5（2.52.5，2.752.75）2.6252.6250.2150.2150.250.25（2.52.5，2.6252.625）2.562 52.562 50.0660.0660.1250.125（2.52.5，2.562 52.562 5）2.5
7、31 252.531 25-0.009-0.0090.06250.0625（2.531 252.531 25，2.562 52.562 5）2.546 8752.546 8750.0290.0290.031250.03125（2.531 252.531 25，2.546 8752.546 875）2.539 062 52.539 062 50.010.010.0156250.015625（2.531 25，2.539 062 5）2.535 156 250.0010.007813 对于在区间对于在区间a,b上连续不断且上连续不断且 f(a).f(b)0的函数的函数y=f(x)，通过不断的，通过
8、不断的把函数把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做而得到零点近似值的方法叫做二分法二分法（bisection)知识探究（二）知识探究（二）:用二分法求函数零点近似值的步骤用二分法求函数零点近似值的步骤 思考思考1:1:求函数求函数f(x)f(x)的零点近似值第一步的零点近似值第一步应做什应做什 么？么？思考思考2:2:为了缩小零点所在区间的范围，为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？接下来应做什么？确定区间确定区间a,ba,b，使，使 f(a)f(b)f(a)f(b)0
9、0 求区间的中点求区间的中点c c，并计算，并计算f(c)f(c)的值的值 思考思考3:3:若若f(c)=0f(c)=0说明什么？说明什么？若若f(a)f(c)f(a)f(c)0 0或或f(c)f(b)f(c)f(b)0 0，则，则分别说明什么？分别说明什么？若若f(c)=0f(c)=0，则，则c c就是函数的零点；就是函数的零点；若若f(a)f(c)f(a)f(c)0 0，则零点，则零点x x0 0(a,c)(a,c)；若若f(c)f(b)f(c)f(b)0 0，则零点，则零点x x0 0(c,b).(c,b).思考思考4:4:若给定精确度若给定精确度，如何选取近似，如何选取近似值？值？当当
10、|mn|时，区间时，区间 m，n 内的任意内的任意一个值都是函数零点的近似值一个值都是函数零点的近似值.用二分法求函数用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：零点近似值的步骤如下：1、确定区间确定区间a,b，验证，验证f(a).f(b)0,给定精确度给定精确度 ；2、求区间（、求区间（a,b）的中点）的中点c，3、计算、计算f(c)（1）若若f(c)=0，则，则c就是函数的零点；就是函数的零点；（2）若）若f(a).f(c)0，则令，则令b=c（此时零点（此时零点x0(a,c);（3）若）若f(c).f(b)0，则令，则令a=c（此时零点（此时零点x0(c,b);4、判断是否达到精确度、判
11、断是否达到精确度 ，即若，即若|a-b|a-b|则得到零点近似值则得到零点近似值a(或或b),否则重复否则重复24牛刀小试：牛刀小试：例例2 2 借助计算器或计算机用二分法求方借助计算器或计算机用二分法求方程程2 2x x+3x=7+3x=7的近似解（精确度的近似解（精确度0.10.1）解：原方程即解：原方程即2 2x x+3x=7+3x=7，令，令f(x)=2f(x)=2x x+3x-7+3x-7，用计算器作出函数用计算器作出函数f(x)=2f(x)=2x x+3x-7+3x-7的对应值的对应值表和图象如下：表和图象如下：x x0 01 12 23 34 45 56 6 7 7 8 8f(x
12、)f(x)-6-6-2-2 3 31010 2121 40407575142 142 273273根所在区间根所在区间区间端点函数值符号区间端点函数值符号中点值中点值中点函数值中点函数值符号符号（2，3）f(2)02.5f(2.5)0（2.5，3）f(2.5)02.75f(2.75)0（2.5，2.75）f(2.5)02.625f(2.625)0（2.5，2.625）f(2.5)02.5625f(2.5625)0（2.5625，2.625）f(2.5625)03lg(2,3)(0.1).xx练习：用二分法求方程在内的近似解 精确度1.二分法的定义；二分法的定义；2.用二分法求函数零点近似值的步骤。用二分法求函数零点近似值的步骤。3.3.逐步逼近思想逐步逼近思想.4.4.数形结合思想数形结合思想.5.5.近似与精确的相对统一近似与精确的相对统一.确定初始区间确定初始区间求中点，算其函数值求中点，算其函数值缩小区间缩小区间算长度，比精度算长度，比精度下结论下结论返返回回用二分法求方程的近似解一般步骤：用二分法求方程的近似解一般步骤：周而复始怎么办周而复始怎么办?精确度上来判断精确度上来判断.定区间，找中点，定区间，找中点，中值计算两边看中值计算两边看.同号去，异号算，同号去，异号算，零点落在异号间零点落在异号间.口口 诀诀
