1、1 武邑中学武邑中学 2019201920202020 学年高三年级下学期期中考试学年高三年级下学期期中考试 数学试题（理科）数学试题（理科） 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和 II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。 2答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项” ，按照“注意事项”的规定答题。 3选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。 第卷 选择题（共 60 分） 一.选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符 合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。 1已知集合
2、 ,|20Ax yxy ， ,|10Bx yxmy 若AB，则实数m A2 B 1 2 C 1 2 D2 2设复数z满足 1izz（i为虚数单位） ，z在复平面内对应的点为（x，y） ，则 A. yx B. yx C. 22 111xy D. 22 111xy 3已知两个单位向量 12 ,e e，若 121 2eee，则 12 ,e e的夹角为 A B C D 4某学校拟从甲、乙等 5 位同学中随机选派 3 人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为 A. 3 5 B. 1 2 C. 2 5 D. 3 10 5 已知点,P x y满足不等式 320 50 50 xy xy x ， 点,Qx
3、y是函数 2 ( )1f xx的图像上任意一点， 则两点 P，Q 之间距离的最小值为 A 5 2 1 2 B131 C4 D 5 2 2 6若 3 3 1 2 3 1 log e,2 e ,abc ，则 Aab c Bcab Cacb Dcba 7若tan 3cos() 2 ，则cos2 A1 B 7 9 C0或 7 9 D1或 7 9 2 8. 若函数 sin2f xx的图象向右平移 11 6 个单位得到的图象 对应的函数为 g x，则下列说法正确的是 A. g x的图象关于 12 x 对称 B. g x在0，上有 2个零点 C. g x在区间 5 36 ， 上单调递减 D. g x在 0
4、2 ，上的值域为 3 0 2 ， 9. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数.如果它是奇数.则对它乘 3 再加 1,如果它是偶数.则对它 除以 2,如此循环,最终都能够得到 1.右图为研究角谷定理的一个程序框图.若输入 n 的值为 10.则 输出 i 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 10已知椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点 P 为椭圆上不同于左、右 顶点的任意一点，I 为 12 PFF的内心， 且 11 22 IPFIF FIPF SSS ，若椭圆的离心率为 e， 则 A. 1 e B. 2 e C.e D.2e 11已知双曲线 22
5、 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线方程为20xy，, A B是C上关于原点对称 的两点，M是C上异于, A B的动点，直线,MA MB的斜率分别为 12 ,k k，若 1 12k，则 2 k的取 值范围为 A 1 1 , 8 4 B 1 1 , 4 2 C 11 , 48 D 11 , 24 12若函数 ln x f xaxe有极值点，则实数a的取值范围是 A, e B1,e C1, D0, 第卷 非选择题（共 90 分） 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡上相应位置。 13已知函数 f(x)=ae x +x+b,若函数 f(x)
6、在(0,f(0)处的切线方程为 y=2x+3,则 ab 的值为_. 3 14 4 1 (1)(12 ) x x 展开式中 x 2 的系数为_. 15勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、 机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心， 以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是 勒洛三角形如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长 比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形 内的概率为_ 16 平行四边形ABCD中，ABD是腰长为 2 的等腰直角三角形，90ABD， 现将ABD沿BD 折起，使
7、二面角ABD C大小为 2 3 ，若 A，B，C，D 四点在同一球面上，则该球的表面积 为_. 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分）数列).13( 2 1 321 n nn aaaaa满足： （1）求 n a的通项公式； （2）若数列.T,3 n 项和的前求满足：nbab n ba nn nn 18（本小题满分 12 分） 如图， 三棱锥 P ABC 中， 平面 PAB 平面 ABC ， PA PB ， APB ACB 90 ，点 E, F 分别是棱 AB, PB 的中点，点 G 是 BCE 的重心 （1）证明：
8、GF / / 平面 PAC ； （2）若 GF 与平面 ABC 所成的角为60 ，求二面角BAPC的余弦值. 19 （本小题满分 12 分）已知点 P 到直线 y3 的距离比点 P 到点 A（0，1）的距离多 2 （1）求点 P 的轨迹方程； （2）经过点 Q（0，2）的动直线 l 与点 P 的轨迹交于 M，N 两点，是否存在定点 R 使得MRQ NRQ？若存在，求出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由 4 20 （本小题满分 12 分）华北“一票通”景区旅游年卡，是由衡水市旅游局策划，由市某旅游公司推出 的一项惠民工程.持有旅游年卡一年内可不限次畅游华北 19 家签约景区.为了解市民每年旅游
9、消 费支出情况（单位：百元） ，相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到 的数据列成如下所示的频数分布表： 组别 0,20) 20,40) 40,60) 60,80) 80,100) 频数 10 390 400 188 12 （1）求所得样本的中位数（精确到百元） ； （2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布 2 45,15N.若该市总人口 为 450 万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在 7500 元以上； （3）若年旅游消费支出在 40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩.现从游客中随机抽 取 3 人，一年内继续来该景点游玩记 2 分，不来
10、该景点游玩记 1 分.将上述调查所得的频率视 为概率，且游客之间的选择意愿相互独立.记总得分为随机变量 X，求 X 的分布列与数学期望. 附：若 2 ,xN ，则()0.6826pX， (22 )0.9544px，(33 )0.9973p 21 （本小题满分 12 分）已知函数( )ln x e f xxx x . （1）求 ( )f x的最大值； （2）若 1 ( )()1 x f xxebx x 恒成立，求实数 b的取值范围. 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时，请用 2B 铅 笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22(本小题满分 10 分)选修
11、 44：坐标系与参数方程 已知直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3,xt yt （t为参数） 以O为极点，x轴的正 半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 12 cos （1）写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）设点P为 2 C上的任意一点，求P到 1 C距离的取值范围 23(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2f xxmx （mR） ，不等式20f x的解集为 4，. （1）求m的值； （2）若0a，0b，3c ，且22abcm，求 113abc 的最大值. 5 武邑中学 20192020 学年高三年级下学期期中考试
12、数学试题（理科）答案 第卷 选择题（共 60 分） 一.选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符 合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。 1已知集合 ,|20Ax yxy ， ,|10Bx yxmy 若AB，则实数m A2 B 1 2 C 1 2 D2 【答案】C 【解析】因为AB，所以直线2 0xy 与直线 10xmy 平行，所以 1 2 m .故选 C. 2设复数z满足 1izz（i为虚数单位） ，z在复平面内对应的点为（x，y） ，则（ ） A. yx B. yx C. 22 111xy D. 22 111xy 【答案】B 【解析
13、】设( ,)zxyi x yR， 1izz，1xyixyii ， 即 2222 (1)(1)xyxy，化简得y x 故选：B. 3已知两个单位向量 12 ,e e，若 121 2eee，则 12 ,e e的夹角为 A B C D 【答案】B 【解析】因为 121 2eee，所以 121 20eee ，所以 11 2 2 2eee， 所以 12 cos,e e 1 2 ，又因为 12 ,0,e e ，所以 12 , e e，故选 B. 4某学校拟从甲、乙等 5 位同学中随机选派 3 人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为 A. 3 5 B. 1 2 C. 2 5 D. 3 10 【答案】
14、D 【解析】所求概率为C 1 3 C35 3 10，故选 D. 5 已知点,P x y满足不等式 320 50 50 xy xy x ， 点,Qxy是函数 2 ( )1f xx的图像上任意一点， 则两点 P，Q 之间距离的最小值为（ ） 6 A 5 2 1 2 B131 C4 D 5 2 2 【答案】A 【解析】如图所示，点 P 在平面区域内任一点 P，点 Q 在半圆 22 1(01)xyy上， 过点 O 作直线的垂线，垂足为 P，交半圆于 Q，此时PQ取最小值， 求得 min 5 2 |1 2 PQ. 6若 3 3 1 2 3 1 log e,2 e ,abc ，则 Aab c Bcab C
15、acb Dcba 【答案】B 【解析】 2 1 3 0 3 2221a ， 1 3 11 33 1 e2 e ac ， 所以1ac， 33 log elog 31b ，故cab.故选 B. 7若tan 3cos() 2 ，则cos2 A1 B 7 9 C0或 7 9 D1或 7 9 【答案】D 【解析】由tan 3cos() 2 得 sin 2 3cos cos 2 ,所以 cos 3cos sin , 所以cos0或sin 3 1 ,故 2 cos22cos11 或 2 cos212 7 9 sin .故选 D. 8. 若函数 sin2f x x的图象向右平移11 6 个单位得到的图象对应的
16、函数为 g x， 则下列说法正 7 确的是（ ） A. g x的图象关于 12 x 对称 B. g x在0，上有 2个零点 C. g x在区间 5 36 ， 上单调递减 D. g x在 0 2 ，上的值域为 3 0 2 ， 【答案】B 【解析】由题意 1111 ( )sin2()sin(2)sin(2) 633 g xxxx ， 1 ()sin() 12632 g 不是函数的最值， 12 x 不是对称轴，A 错； 由( )sin(2)0 3 g xx ，2() 3 xkkZ ， 26 k x ，其中 5 , 36 是0, 上 的零点，B 正确； 由 3 222 232 kxk 得 7 1212
17、 kxk ，kZ， 因此( )g x在 7 (,) 3 12 是递减，在 75 (,) 126 上递增，C 错； ,0 2 x 时， 2 2, 333 x ， 3 ( ) 1, 2 g x ，D 错 故选：B 9. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数.如果它是奇数.则对它乘 3 再加 1,如果它是偶数.则对它 除以 2,如此循环,最终都能够得到 1.右图为研究角谷定理的一个程序框图.若输入 n 的值为 10.则 输出 i 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 8 【答案】B 【解析】 10已知椭圆 22 22 1 xy ab （0ab）的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点 P 为椭圆上
18、不同于左、右 顶点的任意一点，I 为 12 PFF的内心， 且 11 22 IPFIF FIPF SSS ，若椭圆的离心率为 e， 则 （ ） A. 1 e B. 2 e C.e D.2e 【答案】A 【解析】设 12 PFF内切圆的半径为 r 9 则 1 1 1 2 IPF Sr PF ， 2 2 1 2 IPF Sr PF ， 1 2 12 1 2 IF F Sr FF . 11 22 IPFIF FIPF SSS ， 1122 11 222 r PFr FFr PF 整理得 1212 FFPFPF，P 为椭圆上的点，22ca ，解得 1 e . 故选：A 11已知双曲线 22 22 :1
19、(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线方程为20xy，, A B是C上关于原点对称 的两点，M是C上异于, A B的动点，直线,MA MB的斜率分别为 12 ,k k，若 1 12k，则 2 k的取 值范围为 A 1 1 , 8 4 B 1 1 , 4 2 C 11 , 48 D 11 , 24 【答案】A 【解析】双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线方程为20xy，2ab， 则双曲线的方程为： 22 22 1(0) 4 xy b bb , 设 11 ,A x y， 00 ,M x y ，则 11 ,Bxy,所以 22 11 22 22 00 22 1 4
20、 , 1 4 xy bb xy bb 101010101010 22 1010 1 , 44 xxxxyyyyyyyy xxxxbb ， 即 12 1 4 kk， 1 12k， 2 1 1 , 8 4 k .故选 A. 12若函数 ln x f xaxe有极值点，则实数a的取值范围是 A, e B1,e C1, D0, 【答案】D 【解析】 10 第卷 非选择题（共 90 分） 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡上相应位置。 13已知函数 f(x)=ae x +x+b,若函数 f(x)在(0,f(0)处的切线方程为 y=2x+3,则 ab 的值为_.
21、【答案】2 【解析】 14 4 1 (1)(12 ) x x 展开式中 x 2 的系数为_. 【答案】56 【解析】 15勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先 发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧， 三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角 形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为 _ 【答案】 1 9 【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a，则小 勒洛三角形的面积为 2 1 2 2 32 3 46
22、2 a a a S ， 因为大 小两个勒洛三角形， 它们所对应的等边三角形的边长比为1:3， 所 11 以大勒洛三角形的面积为 2 2 2 2 39 2 aa S ，若从大的勒洛三角形中随机 取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为 1 2 1 9 S S P 16 平行四边形ABCD中，ABD是腰长为 2 的等腰直角三角形，90ABD， 现将ABD沿BD 折起，使二面角ABD C大小为 2 3 ，若 A，B，C，D 四点在同一球面上，则该球的表面积 为_. 【答案】20 【解析】由题意，取AD，BC的中点分别为 1 O， 2 O， 过 1 O作面ABD的垂线与过 2 O作面BCD的垂线， 两
23、垂线交点 O 即为所求外接球的球心， 取BD中点 E，连结 1 O E， 2 O E， 则 12 OEO即为二面角ABD C的平面角， 又由 12 1O EO E，连接OE， 在 1 Rt OOE中，则 1 3OO，在 1 Rt OOA中， 1 2O A，得5OA， 即球半径为5ROA，所以球面积为 2 420SR . 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分）数列).13( 2 1 321 n nn aaaaa满足： （1）求 n a的通项公式； （2）若数列.T,3 n 项和的前求满足：nbab n ba nn nn
24、 【解】 12 6 分 7 分 9 分 10 分 12 分 18（本小题满分 12 分） 如图， 三棱锥 P ABC 中， 平面 PAB 平面 ABC ， PA PB ， APB ACB 90 ，点 E, F 分别是棱 AB, PB 的中点，点 G 是 BCE 的重心 （1）证明： GF / / 平面 PAC ； （2）若 GF 与平面 ABC 所成的角为60 ，求二面角BAPC的余弦值. 【解】 13 19 （本小题满分 12 分）已知点 P 到直线 y3 的距离比点 P 到点 A（0，1）的距离多 2 （1）求点 P 的轨迹方程； （2）经过点 Q（0，2）的动直线 l 与点 P 的轨迹交
25、于 M，N 两点，是否存在定点 R 使得MRQ NRQ？若存在，求出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由 【解】 （1）根据题意，|PA|的距离与 P 到直线 y1 的距离相等， 故 P 的轨迹为以 A 为焦点，y1 为准线的抛物线， 所以方程为 x24y； （2）根据抛物线的对称性知，若点存在一定在 y 轴上，设 R（0，r） ， 由MRQNRQ 得 kNQ+kMQ0， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则， 由题意显然 l 的斜率存在，设 l 为：ykx+2， 14 由，得 x24kx80， 得 x1+x24k，x1x28， 由2k2k， 故 r2， 所以存在定点 R（0，2）
26、20 （本小题满分 12 分）华北“一票通”景区旅游年卡，是由衡水市旅游局策划，由市某旅游公司推出 的一项惠民工程.持有旅游年卡一年内可不限次畅游华北 19 家签约景区.为了解市民每年旅游消 费支出情况（单位：百元） ，相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到 的数据列成如下所示的频数分布表： 组别 0,20) 20,40) 40,60) 60,80) 80,100) 频数 10 390 400 188 12 （1）求所得样本的中位数（精确到百元） ； （2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布 2 45,15N.若该市总人口 为 450 万人，试估计有多
27、少市民每年旅游费用支出在 7500 元以上； （3）若年旅游消费支出在 40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩.现从游客中随机抽 取 3 人，一年内继续来该景点游玩记 2 分，不来该景点游玩记 1 分.将上述调查所得的频率视 为概率，且游客之间的选择意愿相互独立.记总得分为随机变量 X，求 X 的分布列与数学期望. 附：若 2 ,xN ，则()0.6826pX， (22 )0.9544px，(33 )0.9973p 【解】 （1）设样本的中位数为 x，则 4010390400 0.5 10001000100020 x ， 解得45x=，所得样本中位数为（百元）.2 分 （2）45，15
28、，275， 旅游费用支出在 7500 元以上的概率为 2P x 1(22 )10.9544 0.0228 22 Px ， 0.0228 450 10.26， 估计有 10.26 万市民旅游费用支出在 7500 元以上.6 分 （3）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为 3 5 ，X 可能取值为 3，4，5，6 15 3 28 3 5125 P X ， 2 1 3 3236 4 55125 P XC ， 2 2 3 3254 5 55125 P XC ， 3 32 7 6 51 2 5 P X ， 故其分布列为 X 3 4 5 6 P 8 125 36 125 54 125 27 125
29、836542724 3456 1251251251255 E X .12 分 21 （本小题满分 12 分）已知函数( )ln x e f xxx x . （1）求 ( )f x的最大值； （2）若 1 ( )()1 x f xxebx x 恒成立，求实数 b的取值范围. 【解】(1)( )ln x e f xxx x ，定义域(0, )， 22 1(1)(1)() ( )1 xx exxxe fx xxx ， 由1 x exx ， ( )f x在(0,1增，在(1,)减， max ( )(1)1f xfe (2) 1 ( )()e1 x f xxbx x ee lne1 xx x xxxbx
30、 xx lne10 x xxxbx eln1 x xxx b x min eln1 (), x xxx b x 令 eln1 ( ) x xxx x x ， 2 ln ( ) x x ex x x 令 2 ( )ln x h xx ex，( ) h x在(0,)单调递增，0, ( )xh x，(1)0he ( )h x在(0,1)存在零点 0 x， 16 即 0 2 000 ()ln0 x h xx ex 000 1 ln 2 0 000 00 ln1 ln0(ln)() xxx x x exx ee xx ， 由于 x yxe在(0, )单调递增，故 00 0 1 lnln,xx x 即 0
31、 0 1 x e x ( )x在 0 (0,)x减， 在 0 (,)x 增， 0 00000 min 00 eln111 ( )2 x xxxxx x xx 所以2b. 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时，请用 2B 铅 笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程 已知直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3,xt yt （t为参数） 以O为极点，x轴的正 半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 12 cos （1）写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）设点
32、P为 2 C上的任意一点，求P到 1 C距离的取值范围 【解】 （1） 1 C的普通方程为3xy ，即30xy 2 分 2 C的直角坐标方程为 22 12xyx ，即 2 2 12xy 5 分 （2）由（1）知， 2 C是以1,0为圆心，半径 2r 的圆， 圆心 2 C1,0到 1 C的距离 103 2 22 2 d ， 7 分 所以直线 1 C与圆 2 C相离， P到 1 C距离的最小值为 2 222dr； 8 分 最大值为 2 2dr23 2 ， 9 分 所以P到 1 C距离的取值范围为2,3 2 10 分 23(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2f xxmx （
33、mR） ，不等式20f x的解集为 4，. （1）求m的值； （2）若0a，0b，3c ，且22abcm，求 113abc 的最大值. 【解】 （1） 2f xxmx ， 2222f xxmx， 所以不等式20f x的解集为 4，, 17 即为不等式20xmx的解集为 4， 2xmx 的解集为 4，, 即不等式 2 2 2xmx的解集为 4， 化简可得,不等式2220mmx 的解集为 4， 所以 2 4 2 m ,即6m. （2）6m，212abc. 又0a，0b，3c ， 1223 113 2 abc abc 3 33 12231121 12 32 232323 abcabc ， 当且仅当1223abc ,212abc等号成立, 即3a ，1b，7c 时，等号成立， 113abc 的最大值为 32.
