1、 一题多变一题多变 已知：ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，PDAB于D，PEAC于E，BFAC于F，求证：PD+PE=BF.母题呈现：母题呈现：ABCPFED 【设计说明设计说明】通过母题通过母题探究，创设情境，诱导学生探究，创设情境，诱导学生积极思维，引发学生产生认积极思维，引发学生产生认 知盲点，激发学生学习的知盲点，激发学生学习的兴趣和探讨问题的欲望兴趣和探讨问题的欲望.分析：经过审题学生将会发现分析：经过审题学生将会发现PDAB于D，PEAC于E，BFAC于F。用面积之间的关系表示垂线段间的关系，从而把要证明的垂线段垂线段之间的关系之间的关系转化转化为面积的关系。为面积的
2、关系。（1 1）有目的、有计划、适量地进行一题多变训练，有利于活跃思路，锻炼学生有目的、有计划、适量地进行一题多变训练，有利于活跃思路，锻炼学生思维的灵活性，能够卓有成效地开拓学生的创新思维空间，使学生把所学过的知识思维的灵活性，能够卓有成效地开拓学生的创新思维空间，使学生把所学过的知识融汇贯通，使知识系统化，更灵活地运用知识，有利于提高归纳、综合、创新与探究融汇贯通，使知识系统化，更灵活地运用知识，有利于提高归纳、综合、创新与探究等能力，提升综合素质和综合运用能力。等能力，提升综合素质和综合运用能力。（2 2）在新课改中，不妨灵活采用一题多变，从精炼与善思入手。这样可以以一变在新课改中，不妨
3、灵活采用一题多变，从精炼与善思入手。这样可以以一变应万变，触类旁通，既提高了学习效益，又培养了良好的学习习惯与思维品质，让同应万变，触类旁通，既提高了学习效益，又培养了良好的学习习惯与思维品质，让同学们终身受益。学们终身受益。P为为BC延长线上任意一点，延长线上任意一点，PDPE=BF.P为为BC所在直线上任意一点，所在直线上任意一点，已知ABC中，AB=AC，PDAB于D，PEAC于E，BFAC于F，求证：P为底边BC上一点，PD+PE=BF.PE-PD=BFABCPFDEABCPFDE变式变式1 1母题呈现：母题呈现：变式变式2 2P为为BC延长线上任意一点，延长线上任意一点，PDPE=B
4、F.P为为BC所在直线上任意一点，所在直线上任意一点，已知ABC中，AB=AC，PDAB于D，PEAC于E，BFAC于F，求证：P为底边BC上一点，PD+PE=BF.PE-PD=BFABCPFDEABCPFDE变式变式1 1母题呈现：母题呈现：变式变式2 2P为为BC延长线上任意一点，延长线上任意一点，PDPE=BF.P为为BC所在直线上任意一点，所在直线上任意一点，已知ABC中，AB=AC，PDAB于D，PEAC于E，BFAC于F，求证：P为底边BC上一点，PD+PE=BF.PE-PD=BFABCPFDEABCPFDE变式变式1 1母题呈现：母题呈现：变式变式2 2 【设计说明设计说明】通过
5、改变已知条件诱导学生通过改变已知条件诱导学生积极思维，引发学生产生认知盲点，激发学生积极思维，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探讨问题的欲望学习的兴趣和探讨问题的欲望.培养学生绘图能力。培养学生绘图能力。ABCPFEDABCPFDE 点P一定要在直线BC上吗？点P还可以在哪里呢？分两种情况：分两种情况：点P在ABC的内部 点P在ABC的外部 思考：思考：【设计说明设计说明】培养学生分类讨论的能力。培养学生分类讨论的能力。分类讨论已成为中考压轴题的压点所在。分类讨论已成为中考压轴题的压点所在。在教学中应向学生强调：必须确定分类标准，要正确进行分类，做到不重、不漏。在教学中应向学生强调：
6、必须确定分类标准，要正确进行分类，做到不重、不漏。ABCPFEDH点点P在在ABC的内部的内部已知ABC，AB=AC,PDAB于D，PEBC于E,PFCA于F，又AH为ABC的高，能否探究出线段PD、PF、PE、AH之间的数量关系？AB=AC应改为AB=AC=BC 【设计说明设计说明】让学生知道否定一个结论的常让学生知道否定一个结论的常用方法用方法-举反例举反例.经历一次次的否定，培养学生经历一次次的否定，培养学生思维的批判性思维的批判性.同时激发了学生继续探究的欲望同时激发了学生继续探究的欲望.已知等边ABC内有一点P，PDAB于D，PEBC于E，PFCA于F，又AH为ABC的高，探究线段P
7、D、PF、PE、AH之间的数量关系？变式二变式二AHEFDBCP解：连接解：连接PA,PB,PC SABC=SABP+SBCP+SACP PDAB于于D，PEBC于于E,PFAC于于F,AHBC于于H AHBC=ABPD+BCPE+ACPFAB=AC=BC PD+PE+PF=AH点P在ABC的内部 若P是等边ABC外部一点，其他条件不变，PD+PE+PF=AH成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由。ABCFDEHP变式三变式三点P在ABC的外部 解：不成立，解：不成立，PD+PFPE=AH理由如下：连接理由如下：连接PA,PB,PC SABC=SABP+SACP S
8、BCP PDAB于于D，PEBC于于E,PFAC于于F,AHBC于于H AHBC=ABPD+ACPF BCPEAB=AC=BC PD+PFPE=AHABCDEOPQ设计说明：设计说明：通过变换结论，通过变换结论，从多个角度来探究同一个问从多个角度来探究同一个问题，这不仅可以让学生综合题，这不仅可以让学生综合运用所学知识解题，从而变运用所学知识解题，从而变换角度继续探讨，增强学生换角度继续探讨，增强学生解题的应变能力，培养学生解题的应变能力，培养学生思维的深刻性和广阔性。思维的深刻性和广阔性。拓展延伸一拓展延伸一 点C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB同侧作等边ACD和等边BCE，连接
9、BD、AE交于O点，再连接OC，求证：AOC=BOC.点C在AOB的平分线上ABCDEOPQ证明：过点证明：过点C作作CPAE于于P，CQBD于于Q，ACD、BCE是等边三角形是等边三角形 AC=DC，EC=BC，ACD=ECB=60 ACE=DCB=120 ACE DCB SACE=SDCB，AE=BD CP=CQ 点点C在在AOB的平分线上的平分线上OC平分平分AOB即即AOC=BOC.拓展延伸一拓展延伸一 点C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB同侧作等边ACD和等边BCE，连接BD、AE交于O点，再连接OC，求证：AOC=BOC.阅读理解：运用阅读理解：运用“同一图形的面积相等
10、同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立可以证明一些含有线段的等式成立，这种解决问题的方法我们称之为面积法。如图，这种解决问题的方法我们称之为面积法。如图1 1，在等边，在等边ABCABC中，中，AB=AC=BC,AB=AC=BC,ABCABC的高为的高为h,h,点点M M是是ABCABC内部一点，点内部一点，点M M到到AB,BC,ACAB,BC,AC的距离分别为的距离分别为h h1，h h2，h h3，连接连接AM,BM,CMAM,BM,CM利用利用S SAMBAMB+S+SAMC+S+SBMC=S=SBAC，可得出结论：可得出结论：h h3+h+h2+h+h1=h=h。类比探究
11、类比探究:（1 1）如图）如图2 2当当M M在在ABCABC外部时，猜想外部时，猜想h,hh,h1，h h2，h h3之间的数量关系。之间的数量关系。当当M在在a区域时，结论为区域时，结论为_ 当当M在在b区域时，结论为区域时，结论为_ 探索发现：探索发现：(2)如图3在平面直角坐标系中有一个边长为 正ABC，是否存在一点P到AB,BC的距离为1，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。拓展延伸：（3）如图4在平面直角坐标系中，有一边长为 的正ABCABC，ADAD是是ABCABC的中线，的中线，DE/yDE/y轴，点轴，点Q Q是直线是直线DEDE上一点，过上一点，过Q Q点点QM
12、QMBA,QNBA,QNBC,BC,设设QM+QN+AD=y,QQM+QN+AD=y,Q点的纵坐标为点的纵坐标为x,x,请直接写出请直接写出y y与与x x的函数关系式。的函数关系式。拓展延伸二拓展延伸二 （学生自创）（学生自创）3234AHEFDBCMBCAxyBCAxyDEb区a区BAC图1图2图3图4拓展延伸二拓展延伸二 （学生自创）（学生自创）【设计的理由设计的理由】随着教育教学改革的进一步随着教育教学改革的进一步深入，特别是新课改的进一步实施，学生主体参深入，特别是新课改的进一步实施，学生主体参与和学生能力培养在教学中的地位越来越重要，与和学生能力培养在教学中的地位越来越重要，尤其是
13、学生的分析、思考和灵活能力显得更加突尤其是学生的分析、思考和灵活能力显得更加突出。如何改进数学课堂教学、优化课堂结构、提出。如何改进数学课堂教学、优化课堂结构、提高数学课堂效率，是摆在每一位数学教师前的难高数学课堂效率，是摆在每一位数学教师前的难题。课堂练习是对课堂教学内容的应用、检测、题。课堂练习是对课堂教学内容的应用、检测、巩固和反馈，是数学课堂不可缺少的环节。常规巩固和反馈，是数学课堂不可缺少的环节。常规的课堂教学，都是课前教师准备好练习题，课堂的课堂教学，都是课前教师准备好练习题，课堂上教师讲完相关的知识后，学生机械被动的接受上教师讲完相关的知识后，学生机械被动的接受现场的练习题，这样
14、，既不利于学生的主体参与现场的练习题，这样，既不利于学生的主体参与，又不利于激发学生思维潜能。，又不利于激发学生思维潜能。拓展延伸二拓展延伸二 （学生自创）（学生自创）【设计的作用设计的作用】数学课堂上，让学生自编练数学课堂上，让学生自编练习题，能充分调动学生的积极性，挖掘学生的潜习题，能充分调动学生的积极性，挖掘学生的潜能，能，能在丰富课堂内容、培养学生能力的同时能在丰富课堂内容、培养学生能力的同时，有效提高数学课堂教学效果。学习自编练习题，有效提高数学课堂教学效果。学习自编练习题是自主学习主动获得知识、培养能力的有效方法是自主学习主动获得知识、培养能力的有效方法。学生为了编好题目，需要深入
15、钻研系统的分类。学生为了编好题目，需要深入钻研系统的分类和各类习题的构成特点，在这个过程中，学生对和各类习题的构成特点，在这个过程中，学生对概念的理解会更加深入，对知识的应用更灵活，概念的理解会更加深入，对知识的应用更灵活，对题型、题目的组成结构更加了解、分析问题和对题型、题目的组成结构更加了解、分析问题和解决问题的能力会得到进一步发展。解决问题的能力会得到进一步发展。拓展延伸二拓展延伸二 （学生自创）（学生自创）【设计说明设计说明】引导学生学会反思、归纳所学的知识及引导学生学会反思、归纳所学的知识及解题方法。从知识和方法两方面回顾，要求学生不光要学习解题方法。从知识和方法两方面回顾，要求学生不光要学习知识，还要学会解决问题的方法知识，还要学会解决问题的方法.养成回顾、思考、提炼、升养成回顾、思考、提炼、升华所学知识的好习惯华所学知识的好习惯,将所学的知识系统化将所学的知识系统化。
