1、阶段复习课第三章【答案速填】A1B2-A2B10;A1A2+B1B2=0;y=kx+b;Ax+By+C=0(A,B不同时为0);【核心速填】1.直线的倾斜角、斜率(1)当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0,倾斜角的范围是_.0180(2)直线的斜率:当90时,tan表示直线l的斜率,用k表示,即k=tan.倾斜角是90的直线,它的斜率不存在.过两点的斜率公式:经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式:_;当x1=x2时斜率不存在.2121yykxx2.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有_.(2)两
2、条直线垂直两条直线都有斜率,而且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于-1;反之,如果它们的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直.即_.l1l2k1=k2l1l2k1k2=-13.直线方程的几种形式名称名称方程的形式方程的形式常数的几何意义常数的几何意义适用范适用范围围点斜式点斜式y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0)(x(x0 0,y,y0 0)是直线上一定是直线上一定点点,k,k是斜率是斜率不垂直不垂直于于x x轴轴斜截式斜截式y=kx+by=kx+bk k是斜率是斜率,b,b是直线在是直线在y y轴上的截距轴上的截距不垂直不垂直于于x x轴轴两点式两点式 (x(x1 1,y,y1
3、 1),(x),(x2 2,y,y2 2)是直线是直线上两定点上两定点不垂直不垂直于于x x轴和轴和y y轴轴112121y yx xyyxx名称名称方程的形式方程的形式常数的几何意义常数的几何意义适用范围适用范围截距式截距式 a a是直线在是直线在x x轴上的非零轴上的非零截距截距,b,b是直线在是直线在y y轴上轴上的非零截距的非零截距不垂直于不垂直于x x轴和轴和y y轴轴,且不过原且不过原点点一般式一般式Ax+By+C=0Ax+By+C=0(A(A2 2+B+B2 20)0)A,BA,B都不为零时都不为零时,斜率为斜率为 在在x x轴上的截距为轴上的截距为 在在y y轴上的截距为轴上的
4、截距为 任何位置任何位置的直线的直线xy1abABCACB4.两条直线的位置关系斜截式斜截式一般式一般式方程方程y=ky=k1 1x+bx+b1 1y=ky=k2 2x+bx+b2 2A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0相交相交k k1 1kk2 2A A1 1B B2 2-A-A2 2B B1 100垂直垂直k k1 1k k2 2=-1=-1A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0=0斜截式斜截式一般式一般式平行平行k k1 1=k=k2 2且且b b1 1bb2 2 重合重合k k1 1=k=k2
5、2且且b b1 1=b=b2 2 1221122121121221ABA B0ABA B0BCBC0ACA C0或1221122121121221ABA B0ABA B0BCBC0ACA C0或5.直线的交点坐标与距离公式(1)两条直线的交点坐标一般地,将两条直线的方程联立,得方程组若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行.111222Ax By C0.A x B y C0(2)两点间的距离设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则两点间的距离公式:|P1P2|=_.(3)点到直线的距离已知点P0(x0,y0),那么点P0到直线
6、Ax+By+C=0的距离为d=_.222121yyxx0022AxByCAB(4)两平行线间的距离一般地,两平行线Ax+By+C1=0,Ax+By+C2=0间的距离也可利用点到直线的距离来求,d=_.1222CCAB类型一:直线的倾斜角与斜率【典例1】(1)过点A(2,b)和点B(3,-2)的直线的倾斜角为 ,则b的值是()A.-1B.1C.-5D.5(2)(2015重庆高一检测)已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.求直线l的斜率k的取值范围.求直线l的倾斜角的取值范围.34【解析】(1)选A.因为k=且k=tan =-1,所以-2-b=-1,所以
7、b=-1.2 b2 b,3 2 34(2)如图,由题意可知,直线PA的斜率 直线PB的斜率 要使l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k-1或k1.由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又直线PB的倾斜角是45,直线PA的倾斜角是135,故的取值范围是45135.PA4 0k13 1，PB2 0k1.3 1【规律总结】1.倾斜角与斜率的联系(1)每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率.(2)直线的倾斜角的范围是0180,斜率的取值范围是R.(3)当=90时,直线l垂直于x轴,它的斜率k不存在.2.过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公
8、式:k=2121yy.xx【补偿训练】已知直线l:ax+by-1=0在y轴上的截距是-1,若l的倾斜角是直线 x-y=3 的倾斜角的一半,求a的值.【解析】l在y轴上的截距为-1,即l过点(0,-1).即有-b-1=0,所以b=-1.直线 x-y=3 的斜率为 ,倾斜角为60.所以l的倾斜角为30,故l的斜率为k=.3333333a3ka,b33a.3 即所以类型二:求直线的方程【典例2】根据下列条件,求直线方程:(1)已知直线过点P(-2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1.(2)过两直线3x-2y+1=0和x+3y+4=0的交点,且垂直于直线x+3y+4=0.【解析】(1)设所求直线的
9、方程为 .依题意,得 故所求直线方程是 即x+2y-2=0或2x+y+2=0.xy1ab221,a2,a1,ab.b 1b21ab1.2解得或xxyy 11,212 或(2)设所求直线的方程为(3x-2y+1)+(x+3y+4)=0,即(3+)x+(3-2)y+(1+4)=0.由所求直线垂直于直线x+3y+4=0,得 故所求直线的方程是3x-y+2=0.133()1,.33210 解得【延伸探究】把第(2)题的条件“垂直于直线x+3y+4=0”换成“平行于直线x+y+1=0”如何求解?【解析】设所求直线方程为(3x-2y+1)+(x+3y+4)=0,即(3+)x+(3-2)y+(1+4)=0,
10、由所求直线平行于直线x+y+1=0,得3+=3-21+4,即=.故所求直线方程为x+y+2=0.52【规律总结】1.直线方程的几种形式(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都有各自的限制条件,不能表示所有的直线,直线方程的一般式则可以表示所有直线.(2)在解题的时候,如果没有特别说明,最后的结果都要化成一般式.2.确定直线方程的两种方法(1)待定系数法,在设直线方程的时候,要注意对斜率不存在的直线讨论.(2)从直线的几何性质出发,建立方程.【补偿训练】求与直线3x+4y+1=0平行,且在两坐标轴上截距之和为的直线l的方程.【解析】方法一:设直线l的方程为3x+4y+m=0,令x=0得y
11、轴上的截距b=-,令y=0得x轴上的截距a=-,所以 解得m=-4,所以所求直线l的方程为3x+4y-4=0.73m4m3mm7(),343 方法二:易知直线l在两坐标轴上的截距不为0,设直线l的方程为所以 所以所求直线的方程为 即3x+4y-4=0.xy1,ab74a b,a,33b3b 1.a4 解得，xy1413，类型三:对称问题【典例3】已知直线l:y=3x+3,求:(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标.(2)直线y=x-2关于l的对称直线的方程.【解析】(1)设点P关于直线l的对称点为P(x,y),则线段PP的中点M在直线l上,且直线PP垂直于直线l,即所以P点坐标为(-2,7).
12、y5x433,x2,22.y5y731,x4 解得(2)解方程组则点 在所求直线上.在直线y=x-2上任取一点M(2，0)，设点M关于直线l的对称点为M(x0,y0),则 点 也在所求直线上.5x,y 3x 3,2y x 2,9y,2 得59()22，000000yx21733,x,225y931,yx25 解得17 9M()5 5，由两点式得直线方程为化简得7x+y+22=0,即为所求直线方程.95yx22,9 91755 252【延伸探究】本题条件不变试求直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程【解析】在直线l上取两点E(0,3),F(-1,0),则E,F关于点A(3,2)的对称点为E(6
13、,1),F(7,4).因为点E,F在所求直线上,所以由两点式得所求直线方程为 即3x-y-17=0.y 1x 6,4 17 6【规律总结】对称问题的处理策略(1)中心对称两点关于点对称,设P1(x1,y1),P(a,b),则P1(x1,y1)关于P(a,b)对称的点P2(2a-x1,2b-y1),也即P为线段P1P2的中点;特别地,P(x,y)关于原点对称的点为P(-x,-y).两直线关于点对称,设直线l1,l2关于点P对称,这时其中一条直线上任一点关于P对称的点在另外一条直线上,并且l1l2,P到l1,l2的距离相等.(2)轴对称两点关于直线对称,设P1,P2关于直线l对称,则直线P1P2与
14、l垂直,且P1P2的中点在l上,这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.两直线关于直线对称,设l1,l2关于直线l对称.()当三条直线l1,l2,l共点时,l上任意点到l1,l2的距离相等,并且l1,l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上;()当l1l2l时,l1与l的距离等于l2到l的距离.【补偿训练】求点P(-4,2)关于直线l:2x-y+1=0的对称点P的坐标.【解题指南】设对称点坐标,利用对称的特点可直接求P点的坐标;或先求两条直线(垂直)的交点坐标,再求P点的坐标.【解析】方法一:设点P(x,y),由PPl及PP的中点在l上,y 221x 2y 0,x 4x 4y
15、 22x y 8 0,21 0,2216x,1685P(,).855y,5 ，得即解得所以方法二：设点P(x,y),因为PP的方程为y-2=-(x+4),即x+2y=0,所以解方程组得PP与l的交点 由中点坐标公式得故 12x 2y 0,2x y 1 0 ，2 1M()5 5，4 x216,x,2552 y18y,255 得，168P(,).55类型四:距离问题【典例4】已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程.(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.【解析】(1)经过两已知直线交点的直线系方程为2x+y-5+(x-2y)=0,即
16、(2+)x+(1-2)y-5=0,所以 即22-5+2=0,所以=或=2.所以l方程为x=2或4x-3y-5=0.22|10 55|3,(2)(1 2)12(2)由 解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则d|PA|(当lPA时等号成立).所以dmax=|PA|=2x y 5 0,x 2y 0 225 20 110.【规律总结】1.点到直线的距离公式已知一点P(x0,y0)及一条直线l:Ax+By+C=0,则点P到直线l的距离d=2.两平行直线之间的距离已知两平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则l1与l2之间的距离d=提醒:在应用此公
17、式时,应将两条直线方程中x,y的系数化成对应相同的形式.0022AxByC.AB1222CC.AB【补偿训练】在直线2x-3y+5=0上求点P,使P点到A(2,3)距离为 ,则P点坐标是()A.(5,5)B.(-1,1)C.(5,5)或(-1,1)D.(5,5)或(1,-1)【解析】选C.设点P(x,y),则y=由|PA|=得 即(x-2)2=9,解得x=-1或x=5.当x=-1时,y=1,当x=5时,y=5,所以P(-1,1)或(5,5).132x 5,313222x 5x 2(3)13,3【通关训练】1.(2015东北三校联考)经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为13
18、5,则y=()A.-1B.-3C.0D.2【解析】选B.由 得y+2=tan135=-1.所以y=-3.2y 132y 4y 2,4 22 2.(2015杭州高一检测)直线 与两坐标轴围成的三角形的周长为()A.6B.7C.12D.14【解析】选C.直线 与两坐标轴的交点分别为(3,0),(0,4),因此与两坐标轴围成的三角形周长为 xy134xy134223 43412.3.若两条直线3ax-y-2=0和(2b-1)x+5by-1=0分别过定点A，B，则|AB|等于()【解析】选C.因为直线3ax-y-2=0可化为y=3ax-2,过定点A(0，-2).直线(2b-1)x+5by-1=0可化为
19、(2x+5y)b-(x+1)=0过定点所以|AB|=89171311A.B.C.D.55552B(1,),5222130 1(2).55 4.已知直线l1:(m+1)x+y=2-m和l2:4x+2my=-16,若l1l2,则m的值为_.【解析】当m=0时,l1:x+y=2,l2:x=-4,两直线不平行.当m0时,由 解得m=1.答案:12mm 2 0,m 112 m,42m16m2,得5.已知A(2,0),B(-1,-1),P是直线x-y+2=0上的动点,则|PA|+|PB|的最小值为_.【解析】A关于直线x-y+2=0的对称点为A(-2,4),则所求的最小值为|AB|,且|AB|=.答案:26266.已知直线方程l1:2x+3y-5=0与l2:3x+2y-5=0,(1)求两直线的交点.(2)求经过交点,且与直线x+4y+3=0平行的直线方程.【解析】(1)由得故两直线交点为(1,1).(2)因为所求直线与直线x+4y+3=0平行,所以可设所求直线方程为x+4y+c=0,由题意知点(1,1)在直线x+4y+c=0上.所以1+4+c=0,所以c=-5,所以所求直线方程为x+4y-5=0.2x 3y 5 0,x 1,3x 2y 5 0y 1.得
