1、幾何原本幾何原本 幾何原本幾何原本是由是由歐幾里得歐幾里得編著。編著。他將公元前七世紀以來，由他將公元前七世紀以來，由泰勒斯泰勒斯、畢達畢達哥拉斯哥拉斯等人等人積聚豐富的幾何成果作系統的積聚豐富的幾何成果作系統的整理並編寫成書。整理並編寫成書。據說據說他是為他是為亞歷山大里亞大學亞歷山大里亞大學預備學習幾預備學習幾何的課本，就編寫了何的課本，就編寫了幾何原本幾何原本。幾何原本幾何原本的結構的結構定義定義五個幾何公理五個幾何公理定理定理定義定義 歐幾里得歐幾里得幾何原本幾何原本開宗明義給出開宗明義給出 23 個個幾何物件的定義，使人明白所談論之幾何物件的定義，使人明白所談論之物件的意思，例如：物
2、件的意思，例如：點只表示位置而沒有大小。點只表示位置而沒有大小。線段只有長度而沒有厚度。線段只有長度而沒有厚度。線的極端是點。線的極端是點。直線是由點組成，它們均勻地直放著。直線是由點組成，它們均勻地直放著。面只有長度與寬度。面只有長度與寬度。面的極端是線。面的極端是線。公理公理公理是指一些人人看得懂，且直公理是指一些人人看得懂，且直觀上顯而易見及不需證明而自然觀上顯而易見及不需證明而自然明白的真理。明白的真理。五個幾何公理五個幾何公理任意兩點之間可作一條直線。任意兩點之間可作一條直線。直線可向兩端無限延長。直線可向兩端無限延長。以任何一點為圓心及任意的長度為半徑以任何一點為圓心及任意的長度為
3、半徑都可作圓。都可作圓。所有直角均相等。所有直角均相等。兩條直線被同一平面上的一條直線所截，兩條直線被同一平面上的一條直線所截，如果兩個同旁內角小於兩直角，那麼把如果兩個同旁內角小於兩直角，那麼把兩條直線向該側延長後必定相交。兩條直線向該側延長後必定相交。歐氏幾何歐氏幾何歐幾里得歐幾里得在在幾何原本幾何原本中利用中利用 23 個定義和個定義和 5 個幾何公理，以演繹方法導出個幾何公理，以演繹方法導出 465 個定理，個定理，分成分成十三卷十三卷。後人命名以這種公理化方式演。後人命名以這種公理化方式演繹的幾何為歐氏幾何。繹的幾何為歐氏幾何。歐氏幾何歐氏幾何第一第一卷以畢氏定卷以畢氏定理及其逆定理
4、作理及其逆定理作為高潮結束為高潮結束。CDMHNOIKJL揉合了分析與綜合的方法，使定理之揉合了分析與綜合的方法，使定理之間具有極強邏輯關連。間具有極強邏輯關連。每個先前的定理都是為後來定理鋪路。每個先前的定理都是為後來定理鋪路。幾何原本幾何原本偉大的歷史意義在於它偉大的歷史意義在於它是用公理方法建立演繹體系的最早典是用公理方法建立演繹體系的最早典範。範。歐氏幾何歐氏幾何全等與相似三角形定理全等與相似三角形定理在在幾何原本幾何原本中，歐氏運用他建立的中，歐氏運用他建立的公理化系統，將全等三角形和相似三角公理化系統，將全等三角形和相似三角形各定理都證畢，但當中涉及的定義、形各定理都證畢，但當中涉
5、及的定義、公理及定理錯綜複雜，為使同學易於明公理及定理錯綜複雜，為使同學易於明白及欣賞，現將它們的關聯以流程圖表白及欣賞，現將它們的關聯以流程圖表示。示。全等與相似三角形定理流程圖全等與相似三角形定理流程圖平行四邊形的性質定義與公理S.A.SA.A.SA.S.A.等角兩邊成比例及夾角相等三邊成比例直線上的鄰角對頂角外角大於內對角等腰底角S.S.SR.H.S.畢氏定理截線定理幾何原本幾何原本的中文版本的中文版本到到 19 世紀末，世紀末，幾何原本幾何原本的印刷版本達一千種以上。的印刷版本達一千種以上。我國最早的中文譯本是我國最早的中文譯本是 1607年由年由利瑪竇利瑪竇(Matteo Ricci
6、)和和徐光啟徐光啟合譯的，他們只譯出合譯的，他們只譯出前前 6 卷。卷。250年後，年後，1857年年偉烈亞力偉烈亞力(Alexander Wylie)和和李善蘭李善蘭合合譯譯幾何原本幾何原本餘下部分。餘下部分。幾何原本幾何原本的中文版本的中文版本三角形的中心三角形的中心三角形的中心可分為：三角形的中心可分為：內心內心 外心外心 形心形心 垂心垂心由三角形每個頂點作由三角形每個頂點作角平分線所交的點，角平分線所交的點，稱為三角形的內心。稱為三角形的內心。右圖中，右圖中，P 點是點是 ABC的內心。的內心。bbaaccABCP三角形的內心三角形的內心ABCQ由三角形每邊作垂直由三角形每邊作垂直平
7、分線所交的點，稱平分線所交的點，稱為三角形的外心。為三角形的外心。右圖中，右圖中，Q 點是點是 ABC的外心。的外心。三角形的外心三角形的外心由三角形每邊的中點由三角形每邊的中點與對角頂點連線所交與對角頂點連線所交的點，稱為三角形的的點，稱為三角形的形心。形心。右圖中，右圖中，R 點是點是 ABC的形心。的形心。ABCR三角形的形心三角形的形心ABCS由三角形每個頂點作對由三角形每個頂點作對邊的垂線所交的點，稱邊的垂線所交的點，稱為三角形的垂心。為三角形的垂心。右圖中，右圖中，S 點是點是 ABC 的垂心。的垂心。三角形的垂心三角形的垂心三角形各中心的關係三角形各中心的關係對任何三角形對任何三
8、角形 ABC，上述的三角形，上述的三角形內心內心P、外心、外心Q、形心、形心R 和垂心和垂心S，哪，哪三個必定會成一直線？三個必定會成一直線？幾何的三大問題幾何的三大問題 化圓為方化圓為方 三分任意角三分任意角 倍立方倍立方化圓為方化圓為方即求作一正即求作一正方形使面積方形使面積等於一給定等於一給定的圓。的圓。abca=b=c三分任意角三分任意角即求作兩分角線即求作兩分角線使一給定的角分使一給定的角分成三等份。成三等份。倍立方倍立方即求作一正方即求作一正方體使其體積是體使其體積是一給定正方體一給定正方體的兩倍。的兩倍。這些問題困擾數學家一千多年這些問題困擾數學家一千多年都不得其解。都不得其解。幾何的三大問題幾何的三大問題謎底解開了謎底解開了 自從自從笛卡兒笛卡兒創建坐標幾何後創建坐標幾何後(見第十二章見第十二章)，很多幾何問題可轉化為代數問題。很多幾何問題可轉化為代數問題。1837年年凡齊爾凡齊爾(Pierre Wantzel,1814-1848)運用代數方法證明了三等分角是一個不可能運用代數方法證明了三等分角是一個不可能用尺規作圖來解決的問題。用尺規作圖來解決的問題。1882 年年林得曼林得曼(Lindemann,1852-1939)也證也證明了化圓為方和倍立方是一個不可能用尺規明了化圓為方和倍立方是一個不可能用尺規作圖來解決的問題。作圖來解決的問題。完完
