1、第三章、复合运动3.1 3.1 绝对运动、相对运动、牵连运动绝对运动、相对运动、牵连运动 运动学研究物体在空间位置改变的几何性质,一切运动都是相对的.前二章只对一种参考空间描述物体 的运动；实际中常需在不同的参考 空间描述同一物体的运动.本章将学习物体相对两个不同的参考空间运动之间的关系,即将已知运动 加以合成或分解,称为复合运动.两个不同空间 ，定系动系 的选取是人为的；动系定系M1OXYMM坐标系统与点的运动坐标系统与点的运动绝对运动绝对运动相对运动相对运动牵连运动牵连运动OXYOXY 牵连运动：动系相对于定系的运动绝对运动：绝对运动：物体物体相对于相对于定系定系的运动的运动相对运动：相对
2、运动：物体物体相对于相对于动系动系的运动的运动定空间：坐标系统定空间：坐标系统OXY所在的空间。所在的空间。OXY称为称为定系定系动空间：坐标系统动空间：坐标系统O X Y 所在的空间。所在的空间。O X Y 称为称为动系动系 物体（点或刚体）的相对运动与其随同动系的牵连运动合成为物体的绝对运动，或者说，物体的绝对运动可分解为物体的相对运动和其随同动系的牵连运动，可以用描述如下结论：结论：（牵连运动）（相对运动）合成分解绝对运动）(点的复合运动的解析分析点的复合运动的解析分析动点动点M在两各不同坐标系中的描述在两各不同坐标系中的描述M点在点在OXY中的坐标中的坐标),(yxM点在点在OX Y中
3、的坐标中的坐标),(yxOXYMO XYxyxyOxOyOX Y 在在OXY中的坐标中的坐标),(OOyxcossinsincosyxyyyxxxOO 角逆时针转向为正角逆时针转向为正注意注意以及、),(),(),(OOyxyxyx都是时间都是时间t的函数，对上式求的函数，对上式求一阶导数和二阶导数，可得动点的一阶导数和二阶导数，可得动点的速度速度与与加速度加速度的解析表达式。的解析表达式。rOrrO MOXYjiryx jirOOOyxjir yxrrrOdtdtddtdrdrrO设动空间做平面一般运动（随设动空间做平面一般运动（随O点的移点的移动动+绕绕O点的转动，转动角速度点的转动，转动
4、角速度 e）。）。点的复合运动的矢量解法点的复合运动的矢量解法速度合成定速度合成定理理与与加速度合成定理加速度合成定理 XYedtdtddtdrdrrOjirOdtdydtdxdtdoodtdydtyddtdxdtxddtdjjiir注意注意iiedtdjjedtdjirdtyddtxddtd称称相对导数相对导数rrjijir eedtdyxdtyddtxddtd)(rrredtddtd相对矢径相对矢径 r 的绝对导数与相对导数的关系。于是于是dtddtddtdtddtderrrrdrrOOdtddtddtderrrrO)(dtdrva绝对速度绝对速度rrveeOdtd牵连速度牵连速度dtdr
5、rv相对速度相对速度速度合成定理：速度合成定理：在任意瞬时，动点的绝对速在任意瞬时，动点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和。度等于牵连速度与相对速度的矢量和。ravvveavO MOXYXYreOvevOM vvvOeOMvOvrvOMervrvr动点、动系的选择与相对运动轨迹动点、动系的选择与相对运动轨迹工件定轴转动，工件定轴转动，刀头刀头M直线运动。直线运动。动系与工件固联，动系与工件固联，动点取刀头动点取刀头 M 点点例例：曲柄连杆机构带动摇杆：曲柄连杆机构带动摇杆EH 绕绕E 轴摆动，轴摆动，如图所示，在连杆如图所示，在连杆ABD 上装有两个滑块，滑块上装有两个滑块，滑块B沿水平
6、槽滑动，而滑块沿水平槽滑动，而滑块D则沿摇杆则沿摇杆EH 滑动。滑动。.30.EEHOEEHrBDABOAOA的角速度。试求该瞬时摇杆，在图示位置时，逆时针转动，以匀角速度已知：曲柄ABDHEO解：1、连杆AD作平面运动，杆上A点的速度可由曲柄OA得出OArvA方向垂直于又由滑块B可以确定B点的速度沿水平方向，因此找到P点为AD杆的速度瞬心，如图。AvPADABDHEOBvDv确定确定D的速度方向的速度方向点速度大小：DPDrrrrvPAPDvAD方向垂直，3cos2AvPADABDHEOBvDv2、取滑块D为动点，动坐标系固连于摇杆EH，定坐标系固连于机架。动点的绝对运动就是AD杆上D点的曲
7、线运动。相对运动是沿EH杆的直线运动，牵连运动绕E点的定轴转动点的定轴转动。Davv rvvDr23sinrvvDe23cosAPEHDBOBvADAvDv作速度矢量图得rvev3sin23rrEDveE所以转向顺时针APEHDBOBvADAvavEevrv3.4.2 加速度合成定理加速度合成定理dtddtddtdreoaavrvva)(rOvrvvvverea复合运动速度关系复合运动速度关系rvrrvaeeoa)()(reeeeovvrrraararrredtd利用rrvvverdtdreeeeovvrraara2)(Oa)(rraaeeeeo牵连加速度牵连加速度teanearrva相对加速
8、度相对加速度rarvrevaC 2科氏加速度（科氏加速度（Coriolis G.G法国工程师法国工程师17921843)CaXYeerOrOrMXY加速度合成定理：加速度合成定理：任一瞬时动点的绝对加速度aa等于其相对加速度ar,牵连加速度ae、与科氏加速度ac的矢量和。CreaaaaaCreaaaaa)(rraaeeeeo牵连加速度牵连加速度XYeerOrOrMXYratee牵连切向加速度牵连切向加速度 大小大小retea方向如图方向如图 tea)(raeene牵连法向加速度牵连法向加速度大小大小2enear方向如图方向如图 neaneteOeaaaaCreaaaaarcvae2科氏加速度科
9、氏加速度XYerOrOrMXYvraC大小大小recva2方向如图方向如图平面运动时，方向与平面运动时，方向与vr 垂直垂直特例特例1：动系做加速平动，即：动系做加速平动，即00ee；reeeeovvrraara2)(由由rOaaaa即XYrOrOrMXY可得可得0coeaaa；OaraaaOa特例特例2：动系做匀速定轴转动，即：动系做匀速定轴转动，即00e；Oareeeeovvrraara2)(由由caaaarneaeXYrOrOrMXYvraC)(raaneeee即即20rteneaanearaaarvZXY例：火车例：火车M以匀速以匀速vr=33m/s自南向北沿经线行驶，自南向北沿经线行
10、驶，设地球自转角速度设地球自转角速度，平均半径，平均半径R=6300km。求火车在北纬求火车在北纬 =40处的绝对加速度。处的绝对加速度。解：以地球自转轴解：以地球自转轴Z 为动系，为动系，Creaaaaa大小大小方向方向？ZXYrveacos2RraRvr2Casin2rv取取srad/1027.760602425smvr/3.3323/1011.3smaC设火车质量设火车质量kgm3101400科氏惯性力科氏惯性力NF4357FCreaaaaaikjjsin2)sin cos(cos020202vRvRvRkji sin cos)(sin22020202RvRvRv已知半径为已知半径为r的
11、匀质圆盘以匀角速度的匀质圆盘以匀角速度 1绕绕O转动，杆转动，杆O1B绕绕O1转动。转动。设角设角 =30时，求：杆时，求：杆O1B的角速度的角速度 2和角加速度和角加速度 2。122rOO1B解：设动系固连于解：设动系固连于O1B杆，动点为圆盘圆心杆，动点为圆盘圆心C，于是于是动点的动点的绝对运动绝对运动：绕：绕O的定轴转动；的定轴转动；相对运动：相对运动：与与O1B杆平行的直线运动；杆平行的直线运动；牵连运动牵连运动：绕：绕O1的定轴转动。的定轴转动。1X2OO1BC1、速度分析速度分析vavrverevvva大小大小方向方向1r?sinr230？向水平方向投影：向水平方向投影：2130s
12、inrr垂直方向投影垂直方向投影13330tanrvvar1122130sin方向顺时针方向顺时针122OO1B加速度分析加速度分析crteneaaaaaaaateanearaca方向方向大小大小21r30sin22r?30sin2r？rv22向水平方向投影向水平方向投影112223333230cot30sin30sin0rrr解出：解出：21293方向：顺时针方向：顺时针122OO1B思考：思考：动系固连于圆盘，动点取为杆与圆盘的动系固连于圆盘，动点取为杆与圆盘的 接触点接触点D，如何分析？，如何分析？rXYD6030lOO1ABCE摇杆机构如图。已知摇杆机构如图。已知OA=10cm，=1
13、1/s，l=50cm。求：BE杆的角加速度1。解：解：1）建立动系）建立动系X Y 如图，动点为如图，动点为A。速度分析速度分析6030lOO1ABCEXYArAeAavvv大小大小方向方向OAvAavAevAr？scmvvvAaAeB/5102160cos方向如图方向如图vB绝对运动绝对运动:绕绕O点定轴转动点定轴转动相对运动相对运动:沿沿X轴的直线运动轴的直线运动牵连运动牵连运动:Y方向直线运动方向直线运动加速度分析加速度分析C30lOO1ABEXYnAaaAeaAraACArAetAanAaaaaaa大小大小方向方向2OA0？02/3530cosscmaaanAaAeB方向如图方向如图a
14、B2）建立动系）建立动系X2Y2 随套筒定轴转动，随套筒定轴转动，BE杆上杆上B点为动点。速度分析点为动点。速度分析6030lOO1ABCEreavvvBBB大小大小方向方向5？?30cosBElvBavBevBrBEX2Y223530cosBaBevvsBE/1403435052530sinBaBrvv6030lOO1ABCEX2Y2BEBEBaanBeaBratBeaBCarvB加速度分析加速度分析BCBrnaaaaaBetBeBa大小大小方向方向35?30cosBEl163330cos2BEl？832Brev向向Y2方向投影BCtBeBaaaa30cos2/863scmatBe1364.
15、030coslatBeBE2/1 s方向为逆时针方向为逆时针刨床机构如图。例:2的速度和加速度。时，滑枕杆处于水平位置，中点，为试求：在图示位置轴转动，绕以等角速度已知：曲柄EDOABDArlBDOrOA30.4,lDEOBA解：1、求滑枕ED 的速度:取滑块A 为动点，动坐标系固连于BD 杆，定坐标系固连于机架。绝对运动：O为圆心，r为半径的圆周运动相对运动：A沿BD 杆的直线运动牵连运动：动坐标系随BD 杆做平面运动lDEOBAXYBvPevABDOavrvDvsinsineavv则有方向如图得rvvae方向如图rrvvar330cos2cos22、速度分析作速度矢量图，如图：BvPevA
16、BDOavrvDvreavvv方向大小r?221rrAPvBDe杆的角速度于是，（方向向左）rlDPvD3cos111BvPevABDOavrvDvD 点的速度点的速度转向如图转向如图的加速度、求滑枕 ED2tBDnBDDBaaaaBDrraBDnBD方向沿式中：224知。指向假设如图，大小未，方向垂直于 BDratBD14点的加速度为为基点，则取BDcossin0tBDnBDDaaa向水平方向投影，则有cossin2raaDtBD即有即有考虑BD杆做平面一般运动tBDa1ABDBaDaDanBDacossin2raaDtBDcos4sin21rraD14ratBD因为因为tBDa1ABDBa
17、DaDanBDa的牵连点）的加速度杆上点为基点，仍取ABDAD(tDAnDADAaaaaDAraranBDBDnDA方向沿221222方向如图cos2sin221raraDtDA1ABDDaDatDAanDAa、用点的复合运动方法2的加速度合成定理根据牵连运动为转动时creaaaatDADADaaaaanAe其中crtDAnDADAaaaaaa）（大小2r22r?rev2方向作出加速度矢量图AatDAanDAaDaCaraActDADAaaaacoscos轴投影向rraarDD322cos2sincoscos22度方向相反方向水平向右，即与速AatDAanDAaDaCaraA22222241c
18、os2cos2cos32sinrrrraD)30(为最后得出滑枕的加速度ruOABECD 例：例：套筒套筒O以匀角速度以匀角速度 转动，杆转动，杆AB 可在套筒内滑动，可在套筒内滑动，A端与一滑块铰接，端与一滑块铰接，滑块在半径为滑块在半径为r 的圆弧滑道的圆弧滑道DCE 内运动，滑道做直线平动，速度内运动，滑道做直线平动，速度u。求：当求：当=30，OA=r 时，时，A 点的速度、加速度。点的速度、加速度。ruOABECD解：运动分析：套筒解：运动分析：套筒O 做定轴转动；做定轴转动；ECD做直线平动；做直线平动；AB做平面一般运动。做平面一般运动。以套筒为动系，以套筒为动系，A为动点，为动
19、点，A 点的速度为点的速度为r1e1avvv大小大小方向方向？e1v1vr1var？考虑考虑CDE为动系，为动系，A为动点为动点ruOABECD22reavvv大小大小方向方向？1vae2v2vr？22rer1e1vvvv两式相等两式相等ur？u向向 （AB垂直方向）投影垂直方向）投影60cos60cos221reevvvruvr22向向（与（与vr2垂直）垂直）投影投影30cos30sin30cos211erevvv)(31ruvrruvr22uve2ruuvvruuvvvrerea2tan)2(22222222加速度分析加速度分析trnrene2221aaaaaaC1r1ruOABECDn
20、r2atr2atrnre222aaaaaC1r1aaaaane11Cane1a1ra大小大小方向方向2r？12rv0rvr22？向向（AB的垂直方向）投影向向（AB的垂直方向）投影30cos30sin221nrtrCaaaruOABECDnr2atr2a1Cane1a1rarruruatr)88(32222)(32211ruvarCrrurvarnr2222)2(nrtrnrtraaaaaa222222tan)()(最后最后3.5.刚体复合运动刚体复合运动,kkrrrraaaaS相对角速度绝对角速度图形3.5.1.平面运动角速度合成公式平面运动角速度合成公式分解为两个平面运动动系：牵连运动,k
21、eedtddtdrr,ee,dtdee由图知：任一瞬时由图知：任一瞬时reaaryxOyxeeOarAB求导：rearea如图示；的转向上式推导所得rea,aryxOyxeeOarABrea：再求导得角加速度关系写成矢量形式为：rea刚体绕平行轴的相对转动问题刚体绕平行轴的相对转动问题特点：特点：牵连运动牵连运动、相对运动相对运动为匀速定轴转动，为匀速定轴转动，绝对运动绝对运动为一般运动为一般运动xyxy e r1.绕平行轴同向转动合成绕平行轴同向转动合成 rxyxy erea根据速度合成定理，在根据速度合成定理，在OO 之间必有一点之间必有一点C，0Cav速度瞬心速度瞬心CvCevCr角速度
22、合成角速度合成OO并且并且reOCCO2.绕平行轴反向转动合成绕平行轴反向转动合成xy eCvCevCr r角速度合成角速度合成rea速度瞬心速度瞬心 C 在在O外侧外侧,且且OOxyreOCCO3.转动偶转动偶xy eCvCevCr rOOxy若若re0a则则表明平面图形做平动表明平面图形做平动两个绕平行轴转动的合成可以是平动两个绕平行轴转动的合成可以是平动转动偶转动偶如：自行车脚蹬的运动即如此。如：自行车脚蹬的运动即如此。re转动偶转动偶曲柄曲柄齿轮机构如图。曲柄齿轮机构如图。曲柄3带动齿轮带动齿轮2在齿轮在齿轮1上纯上纯滚动。已知曲柄滚动。已知曲柄3的角速度为的角速度为 3，方向逆时针；
23、齿轮，方向逆时针；齿轮2和和1的节圆半径分别为的节圆半径分别为r2 和和r1。求：齿轮求：齿轮2的绝对角速度的绝对角速度 2 和相对于曲柄的相对角速和相对于曲柄的相对角速度度 2r。r1r2 3123解：动系建立于杆解：动系建立于杆3上，即上，即 3=e 是牵连角速度。是牵连角速度。rrea2322根据齿轮传动关系根据齿轮传动关系2112rrrrr1齿轮齿轮1的相对角速度的相对角速度1r1r2 323 2r 1r3212rrr所以所以于是于是)1(2133213232rrrrra注意注意31r反转法反转法行星齿轮减速器示意如图，行星齿轮减速器示意如图，O1 是输入轴，是输入轴，角速度角速度 1
24、（逆时针）（逆时针）；带带动定轴齿轮动定轴齿轮1，行星齿轮，行星齿轮2和固定内接齿轮和固定内接齿轮3，使曲柄，使曲柄4以角速度以角速度 4 输输出。已知各齿轮节圆半径分别为出。已知各齿轮节圆半径分别为r1，r2，r3（注意（注意r3=r1+2 r2）。）。求求:输出角速度输出角速度 4。4r1r2r3O1 1 4 1122334解：参考系固连于曲柄解：参考系固连于曲柄4，即，即 4=e 由角速度合成关系由角速度合成关系r141r1r2r3O1 1 3r=-4齿轮啮合关系齿轮啮合关系1221rrrr（外接啮合取（外接啮合取负负）2332rrrr（内接啮合取（内接啮合取正正）4r2r2rrrr3131所以所以43r)1(1341rr或或13114rrr
