1、第9章 自旋 Quantum Mechanics第九章第九章 自旋自旋教学内容教学内容第1页1 1 电子自旋态与自旋算符电子自旋态与自旋算符2 2 总角动量的本征态总角动量的本征态3 3 碱金属原子光谱双线结构、反常碱金属原子光谱双线结构、反常ZeemanZeeman效应效应4 4 自旋单态与三重态，自旋纠缠态自旋单态与三重态，自旋纠缠态第9章 自旋 Quantum Mechanics1 电子自旋态与自旋算符电子自旋态与自旋算符电子自旋存在的实验事实电子自旋存在的实验事实第2页在讨论电子在磁场中的运动时，发现电子具有在讨论电子在磁场中的运动时，发现电子具有轨道磁矩轨道磁矩如有外场存在，则这一轨
2、道磁矩所带来的附加能量为如有外场存在，则这一轨道磁矩所带来的附加能量为如磁场方向在如磁场方向在z z方向方向显然显然 V V是量子化的，它取是量子化的，它取(2l+1)(2l+1)个值个值.在较强的磁场在较强的磁场(10(105 5GsGs），），发现一些类氢发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好地解离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好地解释它。释它。但是，当这些原子或离子置入弱磁场的环境中，或光谱分辨率提高后，发现但是，当这些原子或离子置入弱磁场的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。问题并不
3、是那么简单，这就要求人们进一步探索。第9章 自旋 Quantum MechanicsStern-Gerlach实验（1922年）第3页（1）实验描述（2）结论:I I.银原子银原子有磁矩有磁矩.因在非因在非均匀磁场均匀磁场中发生偏转中发生偏转;II.II.银原子银原子磁矩只有两种取向磁矩只有两种取向,即即空空间量子化的间量子化的.S S 态态的银原子的银原子束流，经非均匀磁场发束流，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立生偏转，在感光板上呈现两条分立线线 。（3）讨论当当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具果原子无磁矩，
4、它将不偏转；而当原子具有磁矩，那在磁场中的附加能量为有磁矩，那在磁场中的附加能量为Z处于处于 S S 态态的的原子原子NS第9章 自旋 Quantum Mechanics第9章 自旋 Quantum Mechanics第9章 自旋 Quantum Mechanics电子自旋假定电子自旋假定根据这一系列实验事实，根据这一系列实验事实，G.G.UhlenbeckUhlenbeck（乌伦贝克）和乌伦贝克）和 S.GoudsmitS.Goudsmit（古德斯密特）（古德斯密特）19251925年根据上述现象提出了电子自旋假年根据上述现象提出了电子自旋假设设第6页（1 1）每个电子都具有自旋角动量，它在
5、空间任何方向上的投影只）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：能取两个数值：（2 2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：Bohr Bohr 磁子磁子第9章 自旋 Quantum Mechanics回转磁比率回转磁比率第7页（1 1）电子回转磁比率）电子回转磁比率轨道角动量轨道角动量与轨道磁矩的关系是：与轨道磁矩的关系是：S zzeeSm c（2 2）轨道回转磁比率）轨道回转磁比率则，轨道回转磁比率为：则，轨道
6、回转磁比率为：2eem c可见电子回转磁比率是轨道可见电子回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍回转磁比率的二倍以以e/2me/2me ec c单位单位，则，则g gs s=2=2（而（而g gl l=1=1）.电子自旋电子自旋的存在可由的存在可由DiracDirac提出的电子相对论性理论自然得到提出的电子相对论性理论自然得到。第9章 自旋 Quantum Mechanics自旋算符自旋算符 已知通常的力学量都可以表示为坐标已知通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数和动量的函数第8页由于电子具有自旋，实验发现，它由于电子具有自旋，实验发现，它也具有内禀磁矩也具有内禀磁矩而自旋角动量则与电子的坐标和
7、动量无关，它是电子内部状态而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。与其他力学量一样，自旋角动量与其他力学量一样，自旋角动量 也是用也是用一个算符描写，记为一个算符描写，记为假设：假设：自旋算符自旋算符S S有三个分量，并满有三个分量，并满足角动量所具有的对易关系足角动量所具有的对易关系:,ijijkkL LiL 对比轨道角动量的关系F=F(r,p)第9章 自旋 Quantum Mechanics由于由于自旋角动量自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取在空间任意方向上的投影只能取
8、 /2/2 两个值两个值第9页所以所以S Sx x,S,Sy y,S,Sz z的的本征值都是本征值都是/2/2，其平方为其平方为 /2/22 2S S2 2算符算符的本征值的本征值是是S S2 2=S=Sx x2 2+S+Sy y2 2+S+Sz z2 2=3/4=3/4 2 2 仿照仿照l l2 2=1(l+1)=1(l+1)2 2自旋量子数自旋量子数 s s 只有一个数值只有一个数值S S2 2=s(s+1)=s(s+1)2 2=3/4 3/4 2 2 ,s=1/2,s=1/2第9章 自旋 Quantum Mechanics含自旋的状态波函数含自旋的状态波函数第10页因为自旋是电子内部运动
9、自由度，所以描写电子运动除了用因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x,y,z)(x,y,z)三个坐标变量外，还需要一个自旋变量三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (S(SZ Z），于是电子的含自旋的），于是电子的含自旋的波函数需写为：波函数需写为：),(tSzyxz 由于由于 S SZ Z 只取只取 /2/2 两个值，两个值，所以上式可写为两个分量：所以上式可写为两个分量：写成列矩阵若已知电子处于若已知电子处于S Sz z=/2/2或或S Sz z=-/2/2的自旋态，则波的自旋态，则波函数可分别写为：函数可分别写为：旋量波函数第9章 自旋 Quantum Mechanic
10、s自旋算符的矩阵表示与自旋算符的矩阵表示与 Pauli Pauli 矩阵矩阵（1）SZ的矩阵形式第11页选选S Sz z作为力学量完全集，即取作为力学量完全集，即取S Sz z表象，那在自身表象中的表表象，那在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值本征值相应的本征矢相应的本征矢第9章 自旋 Quantum Mechanics在在S Sz z表象中表象中S Sx x,S,Sy y的矩阵表示的矩阵表示矩阵元：只要将矩阵元：只要将S Sx x,S,Sy y作用于作用于S Sz z的基矢并以的基矢并以S Sz z基矢展开，从基矢展开，从展开系数来获得展
11、开系数来获得第12页,1ssSS mS m,1ssSS mA S mS S+|S,m|S,ms s 和和S S+|S,m|S,ms s 标积标积,sssSS mS mSS m S2,ssS m S SS mASz,S+=S+,S=SxiSySzS+|S,ms=S+(Sz+)|S,ms=(ms+1)S+|S,ms 第9章 自旋 Quantum Mechanics第13页同理可得同理可得 S S2 2=S=Sx x2 2+S+Sy y2 2+S+Sz z2 2=S(S+1)=S(S+1)2 2 SSx x,S,Sy y=i=iSSz z第9章 自旋 Quantum Mechanics第14页第9章
12、 自旋 Quantum Mechanics第15页sincossinsincosnxyzSSSS对于 S 在 n(,)方向上的分量为 则本征矢则本征矢第9章 自旋 Quantum MechanicsPauli算符第16页(I)Pauli 算符的引进分量分量形式形式因为Sx,Sy,Sz的本征值都是/2，所以x,y,z的本征值都是1；x2,y2,Z2 的本征值都是1。即：即：2221xyz222xyyxzyzzyxzxxzyiii 分 量 形 式：第9章 自旋 Quantum Mechanics第17页 000zxxzyzzyxyyx 基于的对易关系，可以证明 各分量之间满足反对易关系:反对易关系
13、证：xyzzyi2xyyzyzyyi 2 xyyzyzyi 22 yxyzyzyi 22 yxzyzyi 2 xyyzyzi 2 0 xyyx xyyx 由对易关系和反对易关系还可以得到关于 Pauli 算符的如下非常有用性质：yzxxzxyzzyzxyyxiii 第9章 自旋 Quantum MechanicsPauli算符的矩阵形式第18页xabcd令zxxz10100101a ba bc dc d aba bcdc d 即00ad有00 xbc*000000 xxbbcccb 0000*2ccccx 22|00|ccI1|2 c令：c=exp-i(为实），则 00*ccx 第9章 自旋
14、Quantum Mechanics第19页 yzxyzxii 由出发习惯上取=0，于是得到Pauli算符的矩阵形式为：从自旋算符与 Pauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：第9章 自旋 Quantum Mechanics课本练习：1.证明第20页其中A,B是与对易的任何两个矢量。利用此式证明2.设算符A和对易，证明第9章 自旋 Quantum Mechanics自旋波函数自旋波函数第21页对于对于S Sz z的本征方程为的本征方程为 由于由于S Sz z的本征值仅取的本征值仅取 /2/2,m ms s=1/21/2 。在其自身表象。在其自身表象 而相应本征态的表示为而相应本征态的表示
15、为是是S Sz z的本征值为的本征值为+/2/2 的本征态在的本征态在S Sz z表象中的表示，表象中的表示，是是S Sz z的本征的本征值为值为-/2/2 的本征态在的本征态在S Sz z表象中的表示。显然表象中的表示。显然 ,正交，正交，0(10)01 第9章 自旋 Quantum Mechanics第22页若若是归一化的，是归一化的，则则|a|a1/21/2|2 2 为以为以 描述描述的电子处于的电子处于S Sz z=/2/2的的几率，即自旋向上和向下的几率。几率，即自旋向上和向下的几率。而而a a1/21/2和和a a-1/2-1/2可由可由,与与标积获得标积获得1/21/21/21/
16、21/2(10)(01)aaaaa 对于任何对于任何一一在在S Sz z表象中，其表示为表象中，其表示为旋量波函数旋量波函数第9章 自旋 Quantum Mechanics旋量波函数旋量波函数物理意义：物理意义：|(r,/2)|2 电子自旋向上，位置电子自旋向上，位置在在r r处的处的概率密度概率密度。|(r,-/2)|2 电子自旋电子自旋向向下下，位置位置在在r r处的处的概率密度概率密度。第23页d3r|(r,/2)|2 表示电子自旋向上的概率；表示电子自旋向上的概率；d3r|(r,-/2)|2 表示电子自旋向下的概率。表示电子自旋向下的概率。归一化条件为归一化条件为 第9章 自旋 Qua
17、ntum Mechanics2 总角动量的本征态总角动量的本征态电子自旋是一种相对论效应电子自旋是一种相对论效应第24页可以证明，在中心力场可以证明，在中心力场V(r)V(r)中运动的电子的相对论波动方程中运动的电子的相对论波动方程（DiracDirac方程），在过渡到非相对论极限时，方程），在过渡到非相对论极限时，HamiltonHamilton量中将出量中将出现一项自旋现一项自旋-轨道耦合项（轨道耦合项（ThomasThomas项）项）为电子质量，为电子质量，c c为光速。在处理正常为光速。在处理正常ZeemanZeeman效应时因外加磁场很效应时因外加磁场很强，自旋强，自旋-轨道耦合项相
18、对来说是很小的，可以忽略。轨道耦合项相对来说是很小的，可以忽略。但但当所加磁场很弱，或没有外场的情况，这项作用对能级与光谱当所加磁场很弱，或没有外场的情况，这项作用对能级与光谱带来的影响（精细结构），就不应忽略带来的影响（精细结构），就不应忽略。碱金属元素光谱线的双。碱金属元素光谱线的双分裂及反常分裂及反常ZeemanZeeman效应都与此有关。效应都与此有关。第9章 自旋 Quantum Mechanics电子的总角动量算符电子的总角动量算符当计及自旋当计及自旋-轨道耦合作用之后，轨道耦合作用之后，轨道及轨道及自旋角动量分别都不再是守恒量自旋角动量分别都不再是守恒量，因为，因为第25页定义矢
19、量算符，即定义矢量算符，即则可以证明，在中心力场中电子总角动量则可以证明，在中心力场中电子总角动量J J为守恒量。考虑到为守恒量。考虑到L L和和S S分别分别属于不同自由度，因此相互对易，即属于不同自由度，因此相互对易，即类似地还可证明其余类类似地还可证明其余类似的对易关系，似的对易关系，第9章 自旋 Quantum Mechanics第26页容易证明容易证明因此，在中心力场中电子的能量本征态可以选为守恒量完全集因此，在中心力场中电子的能量本征态可以选为守恒量完全集(H,L(H,L2 2,J,J2 2,J,Jz z)的共同本征态。空间角度部分和自旋部分的波函数可的共同本征态。空间角度部分和自
20、旋部分的波函数可选为的选为的(L(L2 2,J,J2 2,J,Jz z)共同本征态，此共同本征态在共同本征态，此共同本征态在(,S,Sz z)表象中可表象中可表示为表示为如何求解该态呢？如何求解该态呢？第9章 自旋 Quantum Mechanics中心力场中电子的能量本征态(l2,j2,jz)的共同本征态。此共同本征的共同本征态。此共同本征态在态在(,Sz)表象中可表示为表象中可表示为第27页（1）要求要求是是L2 的本征态，即本征态，即所以，1与2 都应是l2的本征态，但对应相同本征值。（2 2）要求为要求为 j jz z 的本征态的本征态所以，所以，1与与2 都应都应是是Lz的本征态，但
21、对应的本征态，但对应本征值本征值相差相差。1(,)lmzlmaYSbY 这样就保证了它这样就保证了它是是l2 与与jz的共同的本征态的共同的本征态，本征本征值分别为值分别为l(l+1)2和和(m+1/2)。第9章 自旋 Quantum Mechanics第28页（3）J2的本征态的本征态。1(,)lmzlmaYSbY 代入本征方程：代入本征方程：1113(1)()(1)43()(1)(1)(1)4lmlmlmlmlmlml lm aYlm lmbYaYlm lmaYl lmbYbY3(1)()(1)043()(1)(1)(1)04l lmal m l mbl m l mal lmb 上式两边分
22、别乘以上式两边分别乘以Y*lm,Y*lm+1 对对(,)积分积分后得后得第9章 自旋 Quantum Mechanics第29页这是确定这是确定a a和和b b的线形齐次方程，的线形齐次方程，有非平庸解的充要条件是有非平庸解的充要条件是 3(1)()(1)403()(1)(1)14l lmlm lmlm lml lm 3(1)()(1)043()(1)(1)(1)04l lmalm lmblm lmal lmb解出解出的两个根得的两个根得求求出本征值后出本征值后，再求本征矢，再求本征矢(1)()1 2,almlmbjl对()(1)1 2,jlalmlmb 对221122|()|(1)21(1)
23、|1()()lmlmlmlmaYa Yb YabbYlmlbblmlm 21121bl-mlalml第9章 自旋 Quantum Mechanics第30页1111(,)2121211lmzlmlmlmlmYlmlmSYYllllmY 11111(,)212121lmzlmlmlmlmYlmlmSYYllllmY (a)对于对于j=l+1/2情况情况，(b)对于对于j=l-1/2情况情况（l0）-它们是它们是(l2,j2,jz)的共同本征态，相应的本征值分别为的共同本征态，相应的本征值分别为l(l+1)2,j(j+1)2,mj=(m+1/2)，其中j=l+1/2,l-1/2.第9章 自旋 Qu
24、antum Mechanics第31页mj的可能取值的可能取值：A.j=l+1/2:mmax=l,mmin=-(l+1)，所以所以m的的 可能可能取值为取值为B.j=l-1/2:l0,mmax=l-1（当m=l时，=0）,mmin=-l（当当m=-l-1时，=0）,所以所以m的可能取值为的可能取值为1 2,3 2,.,3 2,1 2,1,.,1(2,1)jllllmj jjjj 即共个可能取值。而而mj=m+1/2相应的可能取值为：相应的可能取值为：m =m =l,l-1,0,-(l+1）mmj j =m+1/2=m+1/2=l+1/2,l-1/2,1/2,-(l+1/2)=j,j-1,1/2
25、,-j 共2j+1个可能取值。l-1,l-2,-l+1,-l第9章 自旋 Quantum Mechanics第32页(2)(2)j=l-1/2(l(l0 0)情况，情况，mj=m+1/2注意：注意：l=0 时，不存在自时，不存在自旋轨道耦合，总角动量就旋轨道耦合，总角动量就是自旋角动量是自旋角动量，j=S=1/2,mj=S=1/2,mj j=m=ms s=1/2 1/2。波函数可表示波函数可表示为为(1)(1)j=l+1/2情况，情况，mj=m+1/2第9章 自旋 Quantum Mechanics课本练习1.证明 是 的本征态，并求出本征值。提示：利用可求得第33页2.求 在 态下的平均值。
26、第9章 自旋 Quantum Mechanics3 碱金属原子光谱双线结构、反常碱金属原子光谱双线结构、反常Zeeman效应效应碱金属原子光谱的双线结构Hamilton 量第34页考虑自旋轨道耦合 由于由于 H H 中包含有自旋中包含有自旋-轨道耦合项，所以轨道耦合项，所以 l lz z,s sz z与与 H H 不再对易。不再对易。二者不再是守恒二者不再是守恒量量.H H的本征态可以选为对易守恒量完全集的本征态可以选为对易守恒量完全集（H,lH,l2 2,j,j2 2,j,jz z）的共同本征的共同本征态，因为态，因为其相应的力学量算符其相应的力学量算符 l l2 2,j j2 2,j jz
27、 z 都与都与 H H 对易的缘故。对易的缘故。碱金属原子有一个价电子，原子核及内层满壳电子对它的作用，可近似用一碱金属原子有一个价电子，原子核及内层满壳电子对它的作用，可近似用一个屏蔽库仑场个屏蔽库仑场V(r)V(r)描述。碱金属原子的低激发能级是由价电子激发而来。描述。碱金属原子的低激发能级是由价电子激发而来。第9章 自旋 Quantum Mechanics第35页薛定谔方程守恒守恒量的完全集可选为量的完全集可选为 (H,lH,l2 2,j,j2 2,j,jz z)。利用上节的结果，。利用上节的结果，角度部分及自旋部分波函数可选为角度部分及自旋部分波函数可选为 (l l2 2,j,j2 2
28、,j,jz z )的共同本的共同本征态征态 ljmljmj j 。令。令(,)()(,)jzljmzrSR rS 代入薛定谔方程代入薛定谔方程第9章 自旋 Quantum Mechanics第36页利用利用薛定谔方程化为：薛定谔方程化为：当当V(r)给定后给定后(r)也就给定也就给定，可以求解上列方程，得到能量本可以求解上列方程，得到能量本征值，它与量子数征值，它与量子数(n,l,j)有关，记为有关，记为E Enljnlj ，能级是，能级是(2j+1)重简并。重简并。对对j=l+1/2对对j=l-1/2第9章 自旋 Quantum Mechanics第37页在原子中在原子中，V(r)0，所以所
29、以(r)0，因此因此即即 j=l+1/2 能级略高于能级略高于j=l-1/2 能级，但是由于自旋轨道耦合项能级，但是由于自旋轨道耦合项较小，所以，两条能级很靠近，这就是碱金属双线结构的由来。较小，所以，两条能级很靠近，这就是碱金属双线结构的由来。计算结果表明，自旋轨道耦合造成的分裂计算结果表明，自旋轨道耦合造成的分裂,随原子序数随原子序数Z Z增大而增大。增大而增大。对于碱金属原子，锂对于碱金属原子，锂(Z=3)(Z=3)的双线分裂就很小的双线分裂就很小,不易测出。从钠原子不易测出。从钠原子(Z=11)(Z=11)开始就比较显著开始就比较显著.Enlj=l+1/2 Enlj=l-1/2 E=E
30、nlj=l+1/2-Enlj=l-1/2 第9章 自旋 Quantum Mechanics第38页第9章 自旋 Quantum Mechanics反常塞曼效应（一）实验现象第39页塞曼效应塞曼效应：氢原子和类氢原子在外磁场中，其光谱线发生分裂氢原子和类氢原子在外磁场中，其光谱线发生分裂的现象的现象。（1 1）正常塞曼效应正常塞曼效应：在强磁场作用下，光谱线的在强磁场作用下，光谱线的分裂为三条的现象分裂为三条的现象。（2 2）反常塞曼效应：反常塞曼效应：当外磁场较弱，轨道当外磁场较弱，轨道-自旋自旋相互作用相互作用不能忽略时，将产不能忽略时，将产生反常塞曼效应。生反常塞曼效应。（二）氢、类氢原子
31、在外场中的附加能取外磁场方向沿取外磁场方向沿 Z Z 向，则磁场引起的附加向，则磁场引起的附加能为能为：第9章 自旋 Quantum Mechanics第40页考虑强考虑强磁场磁场,忽略忽略自旋自旋-轨道轨道相互作用，体系相互作用，体系薛定谔方程薛定谔方程：22()(2)22zzeBVrLSEc 已知没有自旋已知没有自旋-轨道相互作用的波函数可写成：轨道相互作用的波函数可写成：1122112200 或代入代入S S方程方程2112()(2)0022zzeBV rLSEc11002zS2112()()0022zeBV rLEc 最后得最后得 1 1 满足的方程满足的方程2211()()22zeB
32、V rLEc 同理得同理得 2 2 满足的方程满足的方程2222()()22zeBV rLEc 第9章 自旋 Quantum Mechanics第41页（1 1）当当 B=0 B=0 时（无外场），时（无外场），是中心力是中心力场问题，方程退化为不场问题，方程退化为不考虑自旋时的情况考虑自旋时的情况。),()(21 lmnlnlmYrR I.I.对氢原子情况对氢原子情况II.II.对类氢原子情对类氢原子情况况如如 LiLi，NaNa，等碱金属原子，核外电子对核库仑场有屏蔽等碱金属原子，核外电子对核库仑场有屏蔽作用，此时能级不仅与作用，此时能级不仅与 n n 有关，而且有关，而且与与l l 有关
33、，记为有关，记为E E nlnl求解薛定谔方程22()2nlmnlmV rE 第9章 自旋 Quantum Mechanics第42页()(,)()(,)()(,)znlmznllmnlz lmnllmnlmLL Rr YRr LYm Rr Ym （2 2）当当 B B 0 0 时时（有外场）时（有外场）时所以在外磁场下，所以在外磁场下，n n m m 仍为方程的解，此时仍为方程的解，此时22()()22znlmnlmeBV rLEc 22()()22nlmnlmnlmeBV rmEc (1)2nlnlmnlmnlme BEmEc(1)22nlze BEEmSc对同理(1)22nlze BEE
34、mSc对正常塞曼效应正常塞曼效应(1)22(1)22nlznlmnlze BEmScEe BEmSc 对对第9章 自旋 Quantum Mechanics第43页（1 1）在外磁场下，能级与）在外磁场下，能级与 n,l,m n,l,m 有关。原来有关。原来 m m 不同，能不同，能量量相同的简并现象被外磁场消除了。相同的简并现象被外磁场消除了。（2 2）外磁场存在时，能量与自旋状态有关。当原子处于）外磁场存在时，能量与自旋状态有关。当原子处于 S S 态时，态时，l=0,m=0 l=0,m=0 的原能级的原能级 E En l n l 分裂为二。分裂为二。)2(2)2(20000znznnnlm
35、ScBeEScBeEEE 这对应着这对应着 SternGerlach SternGerlach 实验所观察到的现象。实验所观察到的现象。讨论：讨论：第9章 自旋 Quantum Mechanics第44页在在强磁场中，原子光谱发生分裂（一般为强磁场中，原子光谱发生分裂（一般为3 3条）称为正常条）称为正常ZeemanZeeman效效应。对于正常应。对于正常ZeemanZeeman效应，不必考虑电子自旋就能说明。设外加磁效应，不必考虑电子自旋就能说明。设外加磁场方向取为场方向取为z z轴方向，按照前面的讨论，碱金属原子中价电子的轴方向，按照前面的讨论，碱金属原子中价电子的HamiltonHami
36、lton量为量为2()22zpeBHV rLc202(),(,)()(,)(,.2,1,)nl20znlmnnllnlmlmHpVrEH,L,LrRr YHmllleBEEmc 设对 应 的 能 量 本 征 值 为本 征 态 为()的共 同 本 征 态:则的 本 征 值 为2()(2)22zzpeBHV rLSc(12)(2)2(1)2ssn lm mn lsn lme BEEmmce BEmc 考虑到光辐射跃迁定则，考虑到光辐射跃迁定则，m ms s=0,=0,跃迁只能分跃迁只能分别在别在m ms s=+1/2=+1/2及及m ms s=-1/2=-1/2两组能级内部进行，两组能级内部进行，
37、因此尽管能级有所改变因此尽管能级有所改变，对，对谱线分裂却没有谱线分裂却没有影响。影响。第9章 自旋 Quantum Mechanics第45页电子从电子从 E En n 到到 E En n 的跃迁的谱线频率为：的跃迁的谱线频率为：0nln lEEB B 0 0 有外磁场时有外磁场时根据根据选择定选择定则可知，则可知，0,1(1)ml 所以谱线所以谱线角频率可角频率可取三值：取三值：一一条谱线被分条谱线被分裂成三条谱线裂成三条谱线第9章 自旋 Quantum Mechanics3p3sL-L+L+L-0-1+10-100未加外磁场B加外磁场sm=1/2sm=-1/2正常正常ZeemanZeem
38、an分裂分裂第9章 自旋 Quantum Mechanics第47页反常反常塞曼效应塞曼效应当当所加外磁场很弱，自旋轨道耦合并不比外磁场作用小，则所加外磁场很弱，自旋轨道耦合并不比外磁场作用小，则需加以需加以考虑，即考虑，即HamiltonHamilton量应取为量应取为2(2)()(2)2zzeBHpV rr S LLSc 2()2()22zzr SeBeBpcLV rJSc 要严格处理上式最后一项，是很麻烦要严格处理上式最后一项，是很麻烦的，的，JJ2 2,S,Sz z 0 0。为此先不考为此先不考虑最后一项，则虑最后一项，则H H本征值问题与处理碱金属光谱线双分裂相同。本征值问题与处理碱
39、金属光谱线双分裂相同。此时此时 （L L2 2,J,J2 2,J,Jz z）仍为守恒量，）仍为守恒量，H H的本征态仍然可以表示成的本征态仍然可以表示成相应的能量相应的能量本征值为本征值为,2jnljmnljjLLeBEEmc无外磁场时（无外磁场时（B=0B=0，即，即L L=0=0），能级为），能级为(2j+1)(2j+1)重简并。而在有磁场的情况下，它将分重简并。而在有磁场的情况下，它将分裂成裂成 (2j+1)(2j+1)条能级条能级 ,能级简并完全解除能级简并完全解除(m(mj j=j,j-1,.,-j)=j,j-1,.,-j)。注意。注意(2j+1)(2j+1)为偶数，为偶数，这就可以
40、解释反常塞曼效应的特点（光谱线分裂偶数条），考虑上式最后一项后，所这就可以解释反常塞曼效应的特点（光谱线分裂偶数条），考虑上式最后一项后，所得出的能级分布变化并不明显，反常塞曼分裂的特征不变；但能量本征函数复杂的多。得出的能级分布变化并不明显，反常塞曼分裂的特征不变；但能量本征函数复杂的多。第9章 自旋 Quantum Mechanics3p3s058933p3/21/23p058961D2D3s1 21/21/21/21/21/21/23/23/205890jm钠黄线的反常钠黄线的反常ZeemanZeeman分裂分裂跃迁选择定则：跃迁选择定则：1,0,1,0,1jljm 第9章 自旋 Qua
41、ntum Mechanics4 自旋单态与三重态，自旋纠缠态自旋单态与三重态，自旋纠缠态中性氦原子有两个电子，研究氦原子状态，就涉及两个电子组成体系的自旋态。设两个电子的自旋为s s1,s s2，令S=s1+s2表示两个电子自旋之和。s1,s2，属于不同电子，涉及不同自由度s1,s2=0,=x,y,zS分量满足关系式S,S=iS 令 S2=Sx2+Sy2+Sz2不难证明，S2,S=0,=x,y,z第49页第9章 自旋 Quantum Mechanics研究两个电子自旋状态，可选 (s1z,s2z)为对易自旋力学量完全集，也可选(S2,Sz),求其共同本征态.令s1z 的本征态为(1)，(1)，
42、s2z的本征态为(2)，(2)，则(s1z,s2z)的共同本征态有4个，即(1)(2),(1)(2),(1)(2),(1)(2)它们也是的Sz本征态，本征值分别为，-，0，0.它们是否为S2的本征态？S S2=(s s1+s s2)2=s s12+s s22+2 s s1.s s2 =3/22+2/2(1x2x+1y2y+1z2z)第50页第9章 自旋 Quantum Mechanics利用y=i,y=-i,x=,y=,z=,z=-1,2,分别只作用于第一和第二个电子的自旋波函数上，有第51页(1)(2),(1)(2),已是S2的本征态，对(1)(2),(1)(2)不成立。可 把它们组合成新的
43、态，以构成S2的本征态，令要求它是S2的本征态第9章 自旋 Quantum Mechanics可得出第52页S2的本征态（归一化）两个态分别对应于S=0,1第9章 自旋 Quantum Mechanics(S2,Sz),的共同本征态记为SMs,S=1，Ms=1,0的三个态为自旋三重态,S=0，Ms=0的态成为自旋单态，第53页第9章 自旋 Quantum Mechanics自旋为/2的二粒子体系的4个自旋态，可以是(s1z,s2z)的共同本征态，sz=/2的自旋态可以形象地记为第54页以它们为基矢的表象成为角动量非耦合表象。而(S2,Sz),的共同本征态SMs,可以表示为以它们为基矢的表象成为
44、角动量耦合表象角动量耦合表象第9章 自旋 Quantum Mechanics由两个粒子组成的复合体系的量子态，如果能够表示为每个粒子的量子态的乘积，称为可分离态。反之，成为纠缠态。自旋/2的二粒子体系4个归一化的纠缠态可以如下构成，第55页这4个纠缠态成为Bell基第9章 自旋 Quantum Mechanics第56页这四个Bell基是(1x1x,1y1y,1z1z）中任何两个算符的共同本征态，或等价地是(Sx2,Sy2,Sz2)中任何两个算符的共同本征态。第9章 自旋 Quantum Mechanics例：令证明：（a）(b)第57页第9章 自旋 Quantum MechanicsRevi
45、ewReviewStern-Gerlach实验,碱金属光谱的双线结构,反常塞曼效应第58页G.Uhlenbeck（乌伦贝克）和 S.Goudsmit（古德斯密特）电子自旋假设每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值;每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为自旋是电子内禀属性，无经典对应，是一个新的自由度。旋量波函数，自旋算符。第9章 自旋 Quantum Mechanics例例:求求y y的本征值，本征矢在的本征值，本征矢在z z表象中表示。表象中表示。z z和和y y之之间的变换间的变换矩阵矩阵。第59页解：解：对于两表象变换对于两表象变换 A A B,S B,Sbaba=。显然，。显然，S Sbaba ，实为实为A A表象基表象基矢矢|a|a在在B B表象中的表示。表象中的表示。在z表象中101,1,01ssmm 在z表象中，已知y的表示为1111,1,122ssimmi 从而，z与 y表象间变换矩阵为
