1、2.2 及及2.3 柯西定理及不定积分柯西定理及不定积分(一一)单连通区域的情形单连通区域的情形(二二)复通区域的情形复通区域的情形复习：复习：格林公式：格林公式：在平面区域在平面区域D上的二重积分可以通过沿区域上的二重积分可以通过沿区域D的边界的边界曲线曲线L上的曲线积分来表达。上的曲线积分来表达。定理：设闭区域定理：设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成，函数围成，函数P(x,y)及及Q(x,y)在在D 上具有一阶连续偏导数，则有上具有一阶连续偏导数，则有这里这里L是是D的取正向的整个边界曲线。上式叫格林公的取正向的整个边界曲线。上式叫格林公式。式。LDQdyPdxdxdyyPx
2、Q(一一)单连通区域的情形单连通区域的情形 单与复连通区域：单与复连通区域：:,如如下下的的正正向向我我们们规规定定的的边边界界曲曲线线对对平平面面区区域域LLD.,始始终终位位于于他他的的左左侧侧的的这这一一方方向向行行走走时时沿沿DLD2L1L 复连通区域复连通区域D 的边界的边界曲线曲线L由由 和和 组成组成,1L2LD 单连通区域单连通区域 D 的边界曲的边界曲线线L的正向是逆时针方向的正向是逆时针方向.L 逆时逆时针针 顺时针方向为边界曲顺时针方向为边界曲线线L的正向的正向.1L2L3L 单连通区域的单连通区域的柯西定理：柯西定理：如果函数如果函数f(z)在闭单连通区域在闭单连通区域
3、B中解析，则沿中解析，则沿B中任中任一个分段光滑的闭合曲线一个分段光滑的闭合曲线l有：有：这里的这里的l也可以是也可以是B的边界。的边界。Bl证明：证明：由于由于f(z)解析，因而其偏导数解析，因而其偏导数yvxvyuxu,在区域内连续，对上式右端的实部和虚部分别应用格在区域内连续，对上式右端的实部和虚部分别应用格林公式林公式将上面的闭合曲线积分化为面积分将上面的闭合曲线积分化为面积分在区域内连续，对上式右端的实部和虚部分别应用格在区域内连续，对上式右端的实部和虚部分别应用格林公式林公式由于由于f(z)解析，因而其偏导数解析，因而其偏导数yvxvyuxu,lSvuudxvdydxdyxy xv
4、yuyvxu根据根据Cauchy-Riemann方程方程右端两个积分中的被积函数均为右端两个积分中的被积函数均为0，故有，故有lSuvvdxudydxdyxy 0lf z dz 将上面的闭合曲线积分化为面积分将上面的闭合曲线积分化为面积分由此证明了单连通区域的由此证明了单连通区域的柯西定理：柯西定理：如果函数如果函数f(z)在闭单连通区域在闭单连通区域B中解析，则沿中解析，则沿B中任中任一个分段光滑的闭合曲线一个分段光滑的闭合曲线l有：有：这里的这里的l也可以是也可以是B的边界。的边界。Bll 推论：若推论：若f(z)在单连通区域中解析，则复变积分在单连通区域中解析，则复变积分与路径无关。与路
5、径无关。dzzfl12()()()0CCCf z dzf z dzf z dz 因此，如果固定起点因此，如果固定起点z0,而令终点而令终点z为变点，则作为积分上限的函数为变点，则作为积分上限的函数是单连通区域内的以是单连通区域内的以z为宗量的单值函数。我们称该函数为宗量的单值函数。我们称该函数F(z)称为称为f(z)的的不定积分不定积分。0zzf z dzF zf(z)的不定积分的不定积分l 如果函数如果函数f(z)在单连通区域内解析，则在单连通区域内解析，则 dzzfzFzz0也在单连通区域内解析。并且也在单连通区域内解析。并且 zfdzzfdzdzFzz0即即F(z)是是f(z)的一个的一
6、个原函数原函数。还可以证明：还可以证明：1221zFzFdzzfzz即路积分的值等于即路积分的值等于原函数的改变量原函数的改变量(由起点由起点z1和终点和终点z2决定，与从决定，与从z1到到z2的路径无关的路径无关)。(二二)复通区域的情形复通区域的情形 奇点奇点：不可导、不连续、没有定义：不可导、不连续、没有定义 复通区域概念复通区域概念：境界线的正方向：境界线的正方向：复连通区域复连通区域 复通区域的柯西定理：复通区域的柯西定理：如果如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数，则是闭复通区域上的单值解析函数，则 01dzzfdzzfnilli式中式中l 为区域外境界线，诸为区域外境界线，诸l
7、i为区域的内境界线，积分均沿境界为区域的内境界线，积分均沿境界线正方向进行。线正方向进行。证明证明思路：复通区域转化为单通区域思路：复通区域转化为单通区域ll2l1ll2l1DCDCABBAll2l1DCDCABBA证明证明:0.21dzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfCDlCDABlABl 0.21dzzfdzzfdzzflll dzzfnili1 01dzzfdzzfnilli dzzfdzzfnilli1 dzzfdzzfnilli1即即总结起来，柯西定理说的是总结起来，柯西定理说的是：u 闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零。闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零
8、。u 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方 向积分和为零。向积分和为零。u闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向 积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和。积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和。(三三)一个重要例题与结论一个重要例题与结论计算积分计算积分.dzazInln为整数为整数.xyxyaaOOllCR.dzazInl解：解：l 回路回路 l 不包围不包围点点 a I=0(单连通区域柯西定理单连通区域柯西定理)l回路回路 l 包围包围点点 a(a)0n被积函数被积函数 在在 l 所所围区域上解析。围区域上解析。(b)nazzf0n被积函数在被积函数在 l 所围区域有一个奇点所围区域有一个奇点a。以以a为圆心，为圆心，R为半径画一员周为半径画一员周C，在，在C上，上，根据复通区域的柯西定理有：根据复通区域的柯西定理有：iazRe201120ReRedeiRideRadeRdzazIniniinniincnnl=011111nineniiRIn时，20idiIn2120时，111nidnid综合以上讨论，得出综合以上讨论，得出1.02112101ndzazinazdzinlalall不包围，包围，
