1、第第 4 章章 数据分布数据分布特征的测度特征的测度4.1 集中趋势的度量集中趋势的度量 4.2 离散程度的度量离散程度的度量4.3 偏态与峰态的度量偏态与峰态的度量学习目标学习目标l度量集中趋势的统计量度量集中趋势的统计量l度量离散程度的统计量度量离散程度的统计量l度量偏态与峰态的统计量度量偏态与峰态的统计量l各统计量的的特点及应用场合各统计量的的特点及应用场合l用用Excel计算描述统计量计算描述统计量数据分布的特征数据分布的特征4.1 集中趋势的度量集中趋势的度量4.1.1 分类数据：众数分类数据：众数4.1.2 顺序数据：中位数和分位数顺序数据：中位数和分位数4.1.3 数值型数据：平
2、均数数值型数据：平均数4.1.4 众数、中位数和平均数的比较众数、中位数和平均数的比较集中趋势集中趋势(central tendency)4.1.1 分类数据：众数分类数据：众数 (mode)1.定义定义:一组数据中出现次数最多的变量值一组数据中出现次数最多的变量值2.特征：特征：适合于数据量较多时使用适合于数据量较多时使用不受极端值的影响不受极端值的影响一组数据可能没有众数或有几个众数一组数据可能没有众数或有几个众数主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据型数据分类数据的众数分类数据的众数(例题分析例题分析)不同品牌饮料的频数分布不同品牌饮料的频
3、数分布 饮料品牌饮料品牌频数频数比例比例百分比百分比(%)果汁果汁 矿泉水矿泉水 绿茶绿茶 其他其他 碳酸饮料碳酸饮料61011 8 150.120.200.220.160.301220221630合计合计501100顺序数据的众数顺序数据的众数(例题分析例题分析)甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别回答类别甲城市甲城市户数户数 (户户)百分比百分比 (%)非常不满意非常不满意 不满意不满意 一般一般 满意满意 非常满意非常满意 24108 93 45 30 836311510合计合计300100.0众数众数(不惟一性不惟一性)l无众数无众数原始数据:1
4、0 5 9 12 6 84.1.2 顺序数据：中位数和分位数顺序数据：中位数和分位数中位数中位数(median)1.定义：定义：排序后处于中间位置上的值排序后处于中间位置上的值中位数中位数顺序数据的中位数顺序数据的中位数甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别回答类别甲城市甲城市户数户数 (户户)累计频数累计频数 非常不满意非常不满意 不满意不满意 一般一般 满意满意 非常满意非常满意 24108 93 45 30 24132225270300合计合计300数值型数据的中位数数值型数据的中位数l【例例】9个家庭的人均月收入数据l原始数据原始数据:1500 7
5、50 780 1080 850 960 2000 1250 1630l排排 序序:750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000l位位 置置:1 2 3 4 5 6 7 8 9数值型数据的中位数数值型数据的中位数l【例例】：10个家庭的人均月收入数据l排排 序序:660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000l位位 置置:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 四分位数四分位数(quartile)1.定义：定义：排序后处于25%和75%位置上的值顺序数据的四分位数顺序数据的四分位数(例题分析例题分析)甲城市家庭对住房
6、状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别回答类别甲城市甲城市户数户数 (户户)累计频数累计频数 非常不满意非常不满意 不满意不满意 一般一般 满意满意 非常满意非常满意 24108 93 45 30 24132225270300合计合计300数值型数据的四分位数数值型数据的四分位数l【例例】：9个家庭的人均月收入数据(4种方法计算)l原始数据原始数据:1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630l排排 序序:750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000l位位 置置:1 2 3 4 5 6 7 8 94.
7、1.3数值型数据：平均数数值型数据：平均数统计应用统计应用一种测量的平均数比单个的测量更可靠一种测量的平均数比单个的测量更可靠下面是NIST的时间与正确时间的10个误差数据(秒)长期来讲，对时间的度量并没有偏差。NIST的秒有时比BIPM的短，有时比BIPM的长，并不是都较短或较长。尽管NIST的测量很准确，但从上面的数字还是可以看出有些差异。世界上没有百分之百可靠的度量，但用多次测量的平均数比只用一次测量的结果可靠程度会更高。这就是BIPM要结合很多原子钟的时间的原因0.0000000070.0000000000.0000000020.000000005-0.000000003-0.0000
8、000010.000000006-0.000000005-0.0000000010.000000000平均数平均数(mean)1.定义：定义：也称为均值，是一组数据相加后除以数据的个数而也称为均值，是一组数据相加后除以数据的个数而得到的结果，是集中趋势的最常用测度值。得到的结果，是集中趋势的最常用测度值。2.特点：特点：一组数据的均衡点所在一组数据的均衡点所在易受极端值的影响易受极端值的影响有简单平均数和加权平均数之分有简单平均数和加权平均数之分根据总体数据计算的，称为平均数，记为根据总体数据计算的，称为平均数，记为；根据样本数；根据样本数据计算的，称为样本平均数，记为据计算的，称为样本平均数
9、，记为 x简单平均数简单平均数(Simple mean)某电脑公司销售量数据分组表某电脑公司销售量数据分组表按销售量分组按销售量分组频数频数(fi)140150150160160170170180180190190200200210210220220230230240 4 91627201710 8 4 5合计合计120加权平均数(Weighted mean)某电脑公司销售量数据分组表某电脑公司销售量数据分组表按销售量分组按销售量分组组中值组中值(Mi)频数频数(fi)Mi fi 140150150160160170170180180190190200200210210220220230230
10、240145155165175185195205215225235 4 91627201710 8 4 5 5801395264047253700331520501720 9001175合计合计120222004.1.4众数、中位数和平均数的比较众数、中位数和平均数的比较众数、中位数和平均数的关系众数、中位数、平均数的特点和应用1.众数众数l不受极端值影响不受极端值影响l具有不惟一性具有不惟一性l数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时应用数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时应用2.中位数中位数l不受极端值影响不受极端值影响l数据分布偏斜程度较大时应用数据分布偏斜程度较大时应用3.平均数平均数l易受极
11、端值影响易受极端值影响l数学性质优良数学性质优良l数据对称分布或接近对称分布时应用数据对称分布或接近对称分布时应用4.2 离散程度的度量4.2.1 分类数据：异众比率分类数据：异众比率4.2.2 顺序数据：四分位差顺序数据：四分位差4.2.3 数值型数据：方差和标准差数值型数据：方差和标准差4.2.4 相对离散程度：离散系数相对离散程度：离散系数一则笑话一则笑话l如果你一只脚放在摄氏 1 度的水里，另一只脚放在摄氏 79 度的水里，平均水温 40 度，你会感觉很舒服？l显然，只了解变量的集中趋势是不够的！甲、乙两学生某次考试成绩列表甲、乙两学生某次考试成绩列表语文数学物理化学政治英语甲 959
12、065707585乙1107095508075 甲、乙两学生的平均成绩为甲、乙两学生的平均成绩为8080分，集中趋势一分，集中趋势一样，但是他们偏离平均数的程度却不一样。乙组数样，但是他们偏离平均数的程度却不一样。乙组数据的离散程度大，数据分布越分散，平均数的代表据的离散程度大，数据分布越分散，平均数的代表性就越差；甲组数据的离散程度小，数据分布越集性就越差；甲组数据的离散程度小，数据分布越集中，平均数的代表性越大中，平均数的代表性越大。例例离中趋势（离散程度）离中趋势（离散程度）分类数据：异众比率分类数据：异众比率异众比率异众比率(variation ratio)l1.定义：定义：非众数组的
13、频数占总频数的比例，非众数组的频数占总频数的比例，是对分类数据离散程度的测度。是对分类数据离散程度的测度。l2.计算公式为计算公式为异众比率异众比率(例题分析例题分析)不同品牌饮料的频数分布不同品牌饮料的频数分布 饮料品牌饮料品牌频数频数比例比例百分比百分比(%)果汁果汁 矿泉水矿泉水 绿茶绿茶 其他其他 碳酸饮料碳酸饮料61011 8 150.120.200.220.160.301220221630合计合计501100顺序数据：四分位差顺序数据：四分位差四分位差(quartile deviation)1.定义：定义：对顺序数据离散程度的测度，也称为对顺序数据离散程度的测度，也称为内距或四分间
14、距，是上四分位数与下四分位内距或四分间距，是上四分位数与下四分位数之差数之差l Qd=QU QL2.特点：特点：反映了中间反映了中间50%数据的离散程度数据的离散程度不受极端值的影响不受极端值的影响 用于衡量中位数的代表性用于衡量中位数的代表性四分位差(例题分析)甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别回答类别甲城市甲城市户数户数 (户户)累计频数累计频数 非常不满意非常不满意 不满意不满意 一般一般 满意满意 非常满意非常满意 24108 93 45 30 24132225270300合计合计300数值型数据：方差和标准差数值型数据：方差和标准差极差极差(
15、range)1.定义：定义：一组数据的最大值与最小值之差一组数据的最大值与最小值之差2.特点：特点：对数值型数据离散程度的最简单测度值对数值型数据离散程度的最简单测度值易受极端值影响易受极端值影响未考虑数据的分布未考虑数据的分布平均差平均差(mean deviation)1.定义：定义：各变量值与其平均数离差的绝对值的平均数各变量值与其平均数离差的绝对值的平均数2.特点：特点：能全面反映一组数值型数据的离散程度能全面反映一组数值型数据的离散程度 数学性质较差，实际中应用较少数学性质较差，实际中应用较少平均差平均差(例题分析例题分析)某电脑公司销售量数据平均差计算表某电脑公司销售量数据平均差计算
16、表 按销售量分组按销售量分组组中值组中值(Mi)频数频数(fi)140150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 220220 230230 240145155165175185195205215225235 4 91627201710 8 4 540302010 01020304050160270320270 0170200240160250合计合计1202040fxxxx平均差平均差(例题分析例题分析)方差和标准差方差和标准差(variance and standard deviation)1.定义：定义：各变量值与其平均数离差平方和的
17、平均数，各变量值与其平均数离差平方和的平均数，称为称为方差方差，方差的平方根称为，方差的平方根称为标准差标准差。均是数据。均是数据离散程度的最常用测度值。离散程度的最常用测度值。2.反映了各变量值与均值的平均差异反映了各变量值与均值的平均差异3.根据总体数据计算的，称为总体方差根据总体数据计算的，称为总体方差(标准差标准差)，记为记为 2()；根据样本数据计算的，称为样本方；根据样本数据计算的，称为样本方差差(标准差标准差)，记为，记为s2(s)总体方差和标准差总体方差和标准差(Population variance and Standard deviation)l未分组数据未分组数据组距分组
18、数据组距分组数据未分组数据未分组数据组距分组数据组距分组数据样本方差和标准差(sample variance and standard deviation)l未分组数据样本标准差(例题分析)l【例例】计算计算9名员工的月工资收入的方差和标准差l 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630样本标准差(例题分析)某电脑公司销售量数据平均差计算表某电脑公司销售量数据平均差计算表 按销售量分组按销售量分组组中值组中值(Mi)频数频数(fi)140150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 220220 2302
19、30 240145155165175185195205215225235 4 91627201710 8 4 540302010 01020304050160270320270 0170200240160250合计合计120554002)(xMiiifxM2)(样本标准差(例题分析)相对位置的度量：标准分数标准分数(standard score)1.定义：变量值与其平均数的离差除以标准差后的值，也称为z分数。2.特点：特点：l对某一个值在一组数据中相对位置的度量l可用于判断一组数据是否有离群点(outlier)l用于对变量的标准化处理3.计算公式为标准分数(性质)z分数只是将原始数据进行了线性
20、变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是使该组数据均值为0，标准差为1 经验法则l经验法则表明：当一组数据对称分布时经验法则表明：当一组数据对称分布时l约有约有68%的数据在平均数加减的数据在平均数加减1个标准差的范围个标准差的范围之内之内l约有约有95%的数据在平均数加减的数据在平均数加减2个标准差的范围个标准差的范围之内之内l约有约有99%的数据在平均数加减的数据在平均数加减3个标准差的范围个标准差的范围之内之内 相对离散程度：离散系数相对离散程度：离散系数726432nxx17.176103nxxnxx2nxx2例例 某车间某小组有某车间某小组有6
21、个工人，分别带了个工人，分别带了1个徒工，其日产个徒工，其日产量（件）数列如下：量（件）数列如下：甲组（甲组（6个工人组）：个工人组）：62 65 70 73 80 82乙组（乙组（6个徒工组）：个徒工组）：8 13 17 19 22 24由以上资料可以算出：由以上资料可以算出：甲组平均数为：甲组平均数为：乙组平均数为：乙组平均数为：通过观察可以看出甲组通过观察可以看出甲组离散离散程度较小，平均数更具有代表性，但进一程度较小，平均数更具有代表性，但进一步计算，甲组标准差为：步计算，甲组标准差为：7.97（件）（件）5.91（件）（件）乙组标准差为：乙组标准差为：计算结果发现。甲组标准差大于乙组
22、标准差，似计算结果发现。甲组标准差大于乙组标准差，似乎可得出甲组平均数比乙组平均数代表性差的结论，乎可得出甲组平均数比乙组平均数代表性差的结论，这与事实不符。究其原因，是因为两组数据的水平不这与事实不符。究其原因，是因为两组数据的水平不一样，不能用标准差来判断平均数的代表性。一样，不能用标准差来判断平均数的代表性。应进一步计算数据离散的相对程度，这个相对应进一步计算数据离散的相对程度，这个相对指标就是指标就是离散系数离散系数。离散系数离散系数(coefficient of variation)1.定义：定义：标准差与其相应的均值之比标准差与其相应的均值之比2.特点：特点：对数据相对离散程度的测
23、度对数据相对离散程度的测度消除了数据水平高低和计量单位的影响消除了数据水平高低和计量单位的影响用于对不同组别数据离散程度的比较用于对不同组别数据离散程度的比较3.计算公式计算公式为为%07.11%1007297.7%100 甲甲甲xV%23.30%10017.1791.5%100 乙乙乙xV乙甲乙甲比故xxVV就上例，我们来计算标准差系数。就上例，我们来计算标准差系数。因为因为的代表性高，即甲数列的的代表性高，即甲数列的离散离散程度小。程度小。离散系数(例题分析)某管理局所属某管理局所属8家企业的产品销售数据家企业的产品销售数据企业编号企业编号产品销售额（万元）产品销售额（万元）x1销售利润（
24、万元）销售利润（万元）x21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0离散系数离散系数(例题分析例题分析)4.3 偏态与峰态的度量偏态与峰态的度量4.3.1 偏态及其测度偏态及其测度4.3.2 峰态及其测度峰态及其测度偏 态偏态(skewness)1.统计学家Pearson于1895年首次提出 2.数据分布偏斜程度的测度l.偏态系数=0为对称分布l.偏态系数 0为右偏分布 偏态系数 0为左偏分布偏态系数大于1或小于-1，被称为高度偏态分布；偏态系数在0.51或-1-0.5之间，被认为是中等偏态分布；偏态系数越接
25、近0，偏斜程度就越低 偏态系数(coefficient of skewness)1.根据原始数据计算根据原始数据计算2.根据分组数据计算根据分组数据计算偏态系数(例题分析)某电脑公司销售量偏态及峰度计算表某电脑公司销售量偏态及峰度计算表 按销售量份组按销售量份组(台台)组中值组中值(Mi)频数频数 fi140 150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 220220 230230 240145155165175185195205215225235 4 91627201710 8 4 5-256000-243000-128000 -27000
26、 0 17000 80000 216000 256000 62500010240000 7290000 2560000 270000 0 170000 1600000 64800001024000031250000合计合计120540000 70100000 iifxM3)(iifxM4)(偏态系数(例题分析)峰 态峰态(kurtosis)1.统计学家Pearson于1905年首次提出2.数据分布扁平程度的测度3.峰态系数=0扁平峰度适中4.峰态系数0为尖峰分布峰态系数(coefficient of kurtosis)1.根据原始数据计算2.根据分组数据计算峰态系数(例题分析)数据的描述统计量
27、数据特征数据特征集中趋势集中趋势离散程度离散程度偏态与峰态偏态与峰态中位数和分位数中位数和分位数众数众数极差和四分位差极差和四分位差偏态系数偏态系数方差或标准差方差或标准差峰态系数峰态系数平均数平均数离散系数离散系数本章小结l度量集中趋势的统计量度量集中趋势的统计量l度量离散程度的统计量度量离散程度的统计量l度量偏态与峰态的统计量度量偏态与峰态的统计量l各统计量的的特点及应用场合各统计量的的特点及应用场合l用用Excel计算描述统计量计算描述统计量结结 束束人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。
