1、 第三章第三章 层流流动的精确解层流流动的精确解 第一节第一节 平行流动平行流动 第二节第二节 驻点附近的平面运动驻点附近的平面运动 第三节第三节 旋转盘引起的流动旋转盘引起的流动 第四节第四节 缓慢流动的缓慢流动的N NS S方程的近似解方程的近似解 第五节第五节 滑动轴承内的流动滑动轴承内的流动 由于NS方程的非线性，一般情况下在数学上寻求其精确解有巨大的困难。大多数实际问题要引入不同程度的物理或数学上的近似求近似解。随着计算机的发展，数值求解越来越重要。精确解本质上是层流解。从方程上看精确解尽管在高雷诺数下其数学关系是正确的，但是在高雷诺数时流体运动不稳定，在物理上数学解不存在。精确解虽
2、然简单，数量少，但却有重要的理论和实践意义：揭示粘性流动的一些本质特征；应用于发展新的数值计算方法；作为研究复杂问题初步估算和求解的基础；探求新理论。1 第一节 平行流动 粘性流动的动量方程应包括粘性项，是二阶偏微分方程，应采用物体表面上流速为零的边界条件。平行流动是流动中最简单的一种。平行流动中，所有的质点均沿同一方向流动，即只有一个速度分量不等于零，令其为x方向，即u0，而另外两个y，z方向上速度分量v，w 均为零。从连续方程可以得出 ，因此对于平行流动(二阶线性偏微分方程)0ux200),(wvtzyuu0,0ppyz2222zuyuxptu（31）利用NS方程可以得到 ，压强p为P（x
3、）（32）式（32）为二阶线性偏微分方程。3 1、库埃特(Couette)流动 两个平行壁面间的平行流动，一个壁面静止不动，另一个壁面以速度U沿x轴运动（图31）。由于粘性，运动壁面将带动流体运动。通过流体的内摩擦，这个运动的影响传播到整个流动区域。设上下两个壁面的宽度为无穷远，流动为二维定常平行流动，因而 ，方程（32）将有以下形式022ypyuxp()uf y（33）4 图31 平行平板间的流动 y U dp dx/0 xh5 由于，p只是x的函数；又由于u只是y的函数，故 只是y的函数，那么 =常数。边界条件为：（34）式积分并代入边界条件则得：Cyu22xpxp00uyuUyh2d12
4、duyhp yyUhUx hh（34）（35）6 令 为量纲为1的压力梯度称为Brinkman数。解(3-5)的量纲为1的形式为：式中:22hdpBUdx*1*1*uyyyuByByyUhhh*yyhUuu*（36）图3.2 两平行直壁之间的库埃特流动 7（1）顺流压力梯度为零时：流速为线性分布称为简单的Couette流动。（2）当B0，压力顺流递减称为顺压梯度，在整个断面上流速为正值，当B值很大时，流动接近Poiseuille流动的抛物线分布。（3）当B1时：令 则（0,0dpBdx0dxdpuyUh*,uyuyUh*2*2*2*2 2 uuuyyyyB值不同，流动曲线不同(1)uyyyUh
5、hh8 (4)在 ，流动在靠近下壁为负值有回流出现。这就是说明由于流体的带动上壁的运动速度传到下壁附近时，不足以抵抗逆压梯度的作用，而产生反向回流。*0y 1B 2d2dpUxh 可见 曲线为凹曲线，在 时，曲线与 y*轴相切。时为流动要产生回流的临界状态。2d2dpUxh*(*)uf y2、泊肃叶(Poiseuille)流动(1)平面Poiseuille流动9 在两个平行平板之间充满粘性流体，上下两板均静止不动，而顺压梯度 ，坐标系仍如图31所示。方程仍如（33）式，边界条件为：可以看出：有压梯度的Couette流动是简单Couette流动和Poiseuille流动的叠加。constdxdp
6、byubyu001222bydxdpbu流动的解为：（37）10 管道很长时，除了进口段，可以认为管流为二维流动，采用圆柱坐标 系，连续方程为：0 xururrruxrruuxuxu(,)rz(2)充分发展的管流圆管中的Poiseuille流动其中，均为0。只有 不为零，令 =可以看出 ，即流速分布沿管的轴线x是相同的。图3.3 圆管中泊肃叶流动 0ux11u由于 只能是常数 式（38）为：积分时，代入边界条件：22101 10110prprudpuuuxdxrrr dxdprdxdpdrdudrudr122000rrurdrduNS方程（38）（39）12圆管中Poiseuille流动的速度
7、分布：圆管中心处最大流速 断面平均速度 断面的过流量20241rrdxdpudxdpru420maxdxdpru820dxdprurQ84020（310）（311）（312）13 令 ，代入平均速度公式，可得 水头损失系数:212dpdxud Re64 图34 圆管中层流的损失系数的理论与试验的比较（313）图中1为式(3-13)的结果143、突然以匀速滑动平板引起的流动 Stokes第一问题 oU22yutu0000000uytUuytut基本方程：边界条件：图35 流体中突然起动的平板（314）15 与热传导方程相似，在t0时壁面y0突然加热到某一温度T0。因而引起整个空间的热传导的温度场
8、。现令量纲为1的坐标：ty2ttty2121 01002ffff)(0fUu 方程（314）变为：（315）16常微分方程的解为：erfc称为补偿误差函数；erf为高斯误差函数，它的数值可由有关手册中查到。erfcUu0)(1)exp(2)(2erfderfc02)exp(21d（316）17 图36 突然以匀速U0运动平板引起的速度分布 18 壁面切应力的分布：图36所示为量纲为1形式的速度分布图形，对于不同的t值，速度的图形是一样的。这样情况称为对t轴方程有“相似性解”。当 2.0时，如果把流速为0.99的U0以内部分称为边界层，则边界层的厚度为：01.0)0.2(0 erfcUu24tt
9、 tUyuyw100 （317a）（317b）19 涡量分布：24ytuUeyt （317c）00 0 UAootyyyuIdAdAdAUy 平板突然加速瞬间，即时，在平板壁面 处 趋于无穷大。计算从 到 区间内的涡通量：可见，当时单位长度平板上的半无限如果区域内无新的的涡原，单纯的涡量扩区域内涡通量为常数，且等于平板速度。散不会改变无限大区域内总的涡通量。（317d）204、周期振动的平板引起的非定常 流动Stokes第二问题22yutu0cos),0(00uytUtuy压力在整个空间为常数，因此其梯度为0，边界条件和初始条件为：平板为无限长，平板在本身平面内作简谐振动，基本方程为：（318
10、）（319）21利用分离变量法解为)cos(),(0kyteUtyuky2k2kyy)cos(),(0teUtyu （320）其中 令 则 （321）22 这是个衰减的简谐振动，振幅 ，距壁面为y的层流与边壁的振动相位滞后为 。图37表示某时刻运动的情况。两层相距为 的流动层的振动为同相位的。k称为波数，波长L 也称为粘性波的穿透深度。l 20yeUy2222k图37 振动平板附近的速度分布k223被平板带动的流体层（以0.99 U0为限）称为边界层，其厚度 。同样，平板壁面的切应力为：)sin(cos20ttUw （322）不定常的平行流动还有很多例子，如：任意滑移运动的平板引起的粘性流动，
11、简单Couette流的起始过程，以及圆管中HagePoiseuille流动的起动过程等等。24 第二节 驻点附近的平面流动 Hiemenz流动 图38 驻点附近的平面流动25 在有势流动中，驻点附近的流动可应用复变函数的方法，得出有势流动的速度分布：a为常数，U和V表示理想流体沿x和y方向的速度分量。令驻点处的压力为p0，那么根据伯努利方程，求得驻点附近的压力p：ayVaxU222021yxapp 驻点附近的流动，如图38所示，取直角坐标系。由于粘性的作用在平面表面的一薄层中，流速梯度很大，但在这一薄层之外，流动仍然看成是理想流体的流动。26 在靠近平板的边界层中，流体的速度u，v，及压力p满
12、足NS方程，连续方程和边界条件如下：22222222011uvxyuupuuuvxyxxyvvpvvuvxyyxy axUuyppyxvuy0000 （322）（323）27假设v只是y的函数，令：根据连续方程：那么可令：得出f和F所满足的微分方程：)(yfv)(yf xu 22012ppaxF y fFaf ffaf ff22221afyFffy0000 （324）（325）（326）（327）（328）边界条件 28,y)()(Ayf23,ffAfAfAy 32222AaA3222 aA,Aaa 解方程（327），令则：将上述量代入动量方程（328）令 或29因此：则方程为：,ay)()(
13、ayf2100001 （329）（330）方程（331）仍为非线性，难于求得解析结。希门茨（Himenz）首先求得它的数值解，而后霍华斯（L.Howarth）又对计算做了改进。图3-9和表3-1给出了霍华斯的平面驻点流动解。30 沿着壁面方向的流速：所以：UyuUaxxa)(11)(AafaUuyfaUu 图39 平面和轴对称 驻点附近的速度分布 （331）31 表3-1：平面和轴对称有驻点流动的解32根据图39可以看出：（即 ）在 时开始线性增长，随着的增加偏离斜直线，但以1.0为渐进值。在 时，那么边界层的厚度为：压力梯度为：与 成正比，是一个小量。与 均与x无关。)(uU02.40.99
14、,2.4taa()paay aaUu （332）33 第三节 旋转圆盘引起的流动 drdsdrds 图310 旋转圆盘附近的流场图34 流体以等角速度 绕z轴旋转的圆盘所引起的流动。由于粘性的作用，靠近圆盘表面的一层流体随同圆盘一起转动，且由于离心力的作用，流体在转动的同时不断地被甩向圆盘的边缘，而远离圆盘的流体沿z轴流向圆盘表面。由此可见，流动是三维的。假设圆盘半径为无限大，流动定常。采用坐标系（），并令z轴与旋转轴重合。由于流动的对称性，所有流动参数对 的导数为零。zr,35流体运动的基本方程和边界条件为：2222222222222011rrzrrrrrrzrrzzzzzzrzuuurrz
15、uuupuuuuurzrrrrrzuu uuuuuuurrzrrrzuupuuuuurzzrrrz 0,00,00uuzuruuzrzr （333）（334）36 估算被圆盘带动作旋转运动的流体层厚度 。考虑紧靠圆盘表面与z轴距离为r处的柱形微元体（图311），其平行于圆盘表面的侧面积为drds，高为 。此流体微元所受的离心力为 ，其作用方向沿r的正方向。同时，此流体微元还受摩擦 力 的作用，摩擦力的方向与流 体微元运动的方向相反，假设此方向 与圆周方向的夹角为 。则在圆盘表 面附近，流体微元受的离心力主要 与摩擦力 平衡：2rdrds drdsw22sinsinrdrdsrdrdswwdrd
16、sw图311 圆盘附近流体微元37 切应力的周向分量应与壁面上流体周向速度沿轴向的梯度成正比：可以得到：由于圆盘的半径无限大，必须与r 无关，即 与r无关/cosrwtan2 （335）38分析影响速度和压力的因素。圆盘的转动角速度，粘性系数及空间点的坐标r，z是决定速度及压力分布的因素：ur是由于流体微团受到离心力作用而产生的，因此可以假定：),(),(),(),(zrppzruuzruuzruuzzrr),(zrfur),(zrgu),(2zfzuz),(zhuz （336）（337）39可以假定：zppp,0zhdzdhhdzhdzp,1122 （337d）应用 定理，选 ，为量纲独立量
17、,可得：因此 012345,rzuppuuzrrrr*zFzFrur*zGzGru*zuH zH z*0ppP zP z （338）40其中：*z22200200FHFF HFGFGHGGPHHH可得到常微分方程和边界条件：0,00,1,0,00*GFzpGHFz (339)（340）41 Rarman（1921）求出了近似解，Cochrem W.G.（1934）用数值积分方法进行计算。*zz 图312 无限大圆盘流动的数值解曲线42 表32 无限大旋转 圆盘流动的数值解43圆盘上的应力分布：000033003300()2(0)2(0)()(0)0.51()(0)0.616zzzzzrzrzz
18、zzzuppPHpzurFrzurGrz （341）44 根据圆盘面上应力分布，可求出圆盘的阻力矩 和总阻力，阻力系数：drrrrdrdMzz330232.1234033616.0464.22RdrrMRRe87.321616.0212523452RRRMCM2ReR 其中：（342）455/1Re146.0MC大约在Re3105左右，流动进入湍流区，此时 图313 旋转圆盘力矩系数理论值与试验值的比较 （343）46 圆盘半径为R时，其旋转所引起的流量：当 时，流体周向速度 近似于圆盘处周向速度的1，即：变化几乎发生在 的区域内。如果流体的粘性系数很小，圆盘转动的角速度很大时，那么被带动的流
19、体层厚度就很薄。5z 0*20)(22dzzFRdzuRQRrr*2*2*01()20.88382dH zRdzRdz （344）旋转圆盘的边界层厚度：u01.0)5(5*Gruzruu、5*zz47第四节 缓慢流动的NavierStokes方程 的近似解 在Re很小时，NS方程中的惯性项与粘性项、压力项比较可以忽略不计，方程就可以简化成线性方程。0222222222222222222zwyvxuzwywxwzpzvyvxvypzuyuxuxp （346）48式中p为调和函数。在二维情况下 ，引入流函数令那么：0222222zpypxp20p或0,0zwxvyuyuxv2 （347）（348）
20、（349）（350）490240或wwvvuUu 利用涡量输送方程，忽略惯性项，即可得到 满足式(351)的流动就称为Stokes流动，通常Re1范围内上两式适用。（351）另一方面，将物体放在x方向速度为U的均匀流中，求物体周围的流动时，为了考虑惯性力的影响，令：代入NS方程，保留线性惯性项 ，从而得到Oseen方程：wuvUUUxxx，和 （352）500222222222222222222zwyvxuzwywxwzpxwUzvyvxvypxvUzuyuxuxpxuU （353）Stokes流动和Ossen流动称为蠕流（creeping flow）。51 蠕流最典型的例子是圆球绕流的近似解
21、，首先由Stokes解出。下面仅列出Stokes圆球绕流解的结果。如图314圆球的半径为a，利用球坐标系，由于流动是对称的，故只要给出速度分量。zypURaU33333cos1222sin144RaauURRaauURR 2cos23RaUpp （354）（355）图314 圆球绕流52 圆球表面的压力为：式中 。压力系数：式中 。在理想流体绕流时 。232UppxadpUppCRecos6212cosax Uad2Re291sin4pC 圆球表面上的压力系数不仅与位置有关，而且与Re成反比，且对于最大迎流截面来说是不对称的，故有压差阻力存在。（356）（357）53 式（358）为Stoke
22、s公式，用系数（stokes阻力系数）表示为：作用在圆球表面上的切应力为：圆球面上的总阻力即是压力和阻力在球面上的积分 13|sin2RRR auuuURRRa 200sincos2sin 3sin6RDpadaUdaU （358）（359）22241Re2DDCUa （360）54Oseen阻力系数：Goldstein（1929）对Oseen解进行了改进：当Re5时与实测接近。实验曲线拟合的经验公式：243(1Re)Re16DdC432Re3440640030179Re2048071Re128019Re1631Re24DC5102Re04.0Re16Re24dddDCUdCDReRe96.6
23、圆柱绕流的缓慢流动的解由Lamb给出 （361）（362）（363）55 图315 圆球阻力系数Cd的理论值与试验值的比较56 第五节 滑动轴承内的流动 轴颈轴承孔充满润滑流体的间隙p 图316 圆柱轴承合轴颈剖面57 与固定壁的长度相比，间隙h（x）非常小，所以与x方向的速度u相比，y方向的速度可以忽略不计。为了简单，把圆柱轴承和轴颈的作用视为二维流动，两个固壁之内形成一个楔形的间隙，内有油流动，形成压力分布以支持轴承的载荷。图317 滑动轴承的润滑机理58 作用在润滑油上的惯性力与粘性力之比为：因此：22*222Re uUuULhxLUuLhy惯性力粘性力2*ReLhUL与Stokes流动
24、类似，若Re*1，惯性力忽略不计。（364）（365）59因为x方向u的变化，比y方向u的变化小的多，忽略则运动方程可以近似为：边界条件：积分后:)(2222yuxu22yuxp00yuUyhu：)(21)(yhydxdpyhhUu （366）（367）60dxdphUhudyQh1223032212hQhUdxdp xdxxhQxhUpp0320)()(212hhdhhQhUhhL13212212222122216hhhhhhhUL 垂直于纸面方向单位宽度上的油量：所以：利用 ，并考虑到边界条件，即在x0和xL时，pp0（p0为轴承外侧的压力），积分上式得到：Lhhdxdh/)(/12 （3
25、68）61112ln)1(6)(22200KKKhKULdxppPL113ln212200KKKhKULdxdyduFLyx令 可以得到当K2.2时，载荷P达到最大值：0/dKdp2220.16maxULPh所以垂直于纸面的单位宽度上，y方向的载荷P为 其中Kh1/h2。如果两个平面彼此平行，则 ，于是 轴承不能支承载荷的。此外，作用在单位宽度上沿x方向的剪应力为Fx（摩擦阻力）：1K 0,P （369）（370）（371）62 图317给出了压力分布曲线，接近抛物线。取特征厚度hm和压力中心都在 附近，则：此外，定义摩擦阻力系数为Fx/P，则：由上式可见，摩擦系数只取决于缝隙的几何尺寸，与流
26、体的粘性系数无关，通常对于滑动轴承h/L10-3，因此摩擦系数约为510-3，这个数值是固体干摩擦系数的1/100至1/20。22223221220hhLhhhLaULpLpLpmmmLhPFpx7.4max （372）631 2xl图318：滑动轴承上的压力分布64 滑动轴承的雷诺方程 当润滑面在垂直于纸面的方向为有限宽度时，必须考虑垂直于纸面的速度分量w，于是油膜的运动方程为：连续方程：边界条件：000hhwdyzudyx000000:0:xzyuUwyhuwxxlppzlpp：，：和和z22,puxx0,py22zwzp （373）（374）（375）65dxdhUzphzxphx633 雷诺方程：方程（373）中最后一式的解为：将式（3-67）和（3-76）代入式（3-74）则得：1()2pwy hyz （376）（377）滑动轴承是由两偏心圆形成楔形油膜，偏心和旋转不仅会形成正压区，也会产生负压区，此负压可能形成气泡和引起气蚀；随着轴承圆周速度和润滑油温度的提高，换算雷诺数 可能接近甚至超过1。因此忽略惯性力的假设不再成立；随着重轴承的发展，油膜运动的惯性力越来越大。在某些情况下，库埃特流动变得不稳定，甚至变成湍流。*Re
