粘性流体力学第三章课件.ppt

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1、 第三章第三章 层流流动的精确解层流流动的精确解 第一节第一节 平行流动平行流动 第二节第二节 驻点附近的平面运动驻点附近的平面运动 第三节第三节 旋转盘引起的流动旋转盘引起的流动 第四节第四节 缓慢流动的缓慢流动的N NS S方程的近似解方程的近似解 第五节第五节 滑动轴承内的流动滑动轴承内的流动 由于NS方程的非线性,一般情况下在数学上寻求其精确解有巨大的困难。大多数实际问题要引入不同程度的物理或数学上的近似求近似解。随着计算机的发展,数值求解越来越重要。精确解本质上是层流解。从方程上看精确解尽管在高雷诺数下其数学关系是正确的,但是在高雷诺数时流体运动不稳定,在物理上数学解不存在。精确解虽

2、然简单,数量少,但却有重要的理论和实践意义:揭示粘性流动的一些本质特征;应用于发展新的数值计算方法;作为研究复杂问题初步估算和求解的基础;探求新理论。1 第一节 平行流动 粘性流动的动量方程应包括粘性项,是二阶偏微分方程,应采用物体表面上流速为零的边界条件。平行流动是流动中最简单的一种。平行流动中,所有的质点均沿同一方向流动,即只有一个速度分量不等于零,令其为x方向,即u0,而另外两个y,z方向上速度分量v,w 均为零。从连续方程可以得出 ,因此对于平行流动(二阶线性偏微分方程)0ux200),(wvtzyuu0,0ppyz2222zuyuxptu(31)利用NS方程可以得到 ,压强p为P(x

3、)(32)式(32)为二阶线性偏微分方程。3 1、库埃特(Couette)流动 两个平行壁面间的平行流动,一个壁面静止不动,另一个壁面以速度U沿x轴运动(图31)。由于粘性,运动壁面将带动流体运动。通过流体的内摩擦,这个运动的影响传播到整个流动区域。设上下两个壁面的宽度为无穷远,流动为二维定常平行流动,因而 ,方程(32)将有以下形式022ypyuxp()uf y(33)4 图31 平行平板间的流动 y U dp dx/0 xh5 由于,p只是x的函数;又由于u只是y的函数,故 只是y的函数,那么 =常数。边界条件为:(34)式积分并代入边界条件则得:Cyu22xpxp00uyuUyh2d12

4、duyhp yyUhUx hh(34)(35)6 令 为量纲为1的压力梯度称为Brinkman数。解(3-5)的量纲为1的形式为:式中:22hdpBUdx*1*1*uyyyuByByyUhhh*yyhUuu*(36)图3.2 两平行直壁之间的库埃特流动 7(1)顺流压力梯度为零时:流速为线性分布称为简单的Couette流动。(2)当B0,压力顺流递减称为顺压梯度,在整个断面上流速为正值,当B值很大时,流动接近Poiseuille流动的抛物线分布。(3)当B1时:令 则(0,0dpBdx0dxdpuyUh*,uyuyUh*2*2*2*2 2 uuuyyyyB值不同,流动曲线不同(1)uyyyUh

5、hh8 (4)在 ,流动在靠近下壁为负值有回流出现。这就是说明由于流体的带动上壁的运动速度传到下壁附近时,不足以抵抗逆压梯度的作用,而产生反向回流。*0y 1B 2d2dpUxh 可见 曲线为凹曲线,在 时,曲线与 y*轴相切。时为流动要产生回流的临界状态。2d2dpUxh*(*)uf y2、泊肃叶(Poiseuille)流动(1)平面Poiseuille流动9 在两个平行平板之间充满粘性流体,上下两板均静止不动,而顺压梯度 ,坐标系仍如图31所示。方程仍如(33)式,边界条件为:可以看出:有压梯度的Couette流动是简单Couette流动和Poiseuille流动的叠加。constdxdp

6、byubyu001222bydxdpbu流动的解为:(37)10 管道很长时,除了进口段,可以认为管流为二维流动,采用圆柱坐标 系,连续方程为:0 xururrruxrruuxuxu(,)rz(2)充分发展的管流圆管中的Poiseuille流动其中,均为0。只有 不为零,令 =可以看出 ,即流速分布沿管的轴线x是相同的。图3.3 圆管中泊肃叶流动 0ux11u由于 只能是常数 式(38)为:积分时,代入边界条件:22101 10110prprudpuuuxdxrrr dxdprdxdpdrdudrudr122000rrurdrduNS方程(38)(39)12圆管中Poiseuille流动的速度

7、分布:圆管中心处最大流速 断面平均速度 断面的过流量20241rrdxdpudxdpru420maxdxdpru820dxdprurQ84020(310)(311)(312)13 令 ,代入平均速度公式,可得 水头损失系数:212dpdxud Re64 图34 圆管中层流的损失系数的理论与试验的比较(313)图中1为式(3-13)的结果143、突然以匀速滑动平板引起的流动 Stokes第一问题 oU22yutu0000000uytUuytut基本方程:边界条件:图35 流体中突然起动的平板(314)15 与热传导方程相似,在t0时壁面y0突然加热到某一温度T0。因而引起整个空间的热传导的温度场

8、。现令量纲为1的坐标:ty2ttty2121 01002ffff)(0fUu 方程(314)变为:(315)16常微分方程的解为:erfc称为补偿误差函数;erf为高斯误差函数,它的数值可由有关手册中查到。erfcUu0)(1)exp(2)(2erfderfc02)exp(21d(316)17 图36 突然以匀速U0运动平板引起的速度分布 18 壁面切应力的分布:图36所示为量纲为1形式的速度分布图形,对于不同的t值,速度的图形是一样的。这样情况称为对t轴方程有“相似性解”。当 2.0时,如果把流速为0.99的U0以内部分称为边界层,则边界层的厚度为:01.0)0.2(0 erfcUu24tt

9、 tUyuyw100 (317a)(317b)19 涡量分布:24ytuUeyt (317c)00 0 UAootyyyuIdAdAdAUy 平板突然加速瞬间,即时,在平板壁面 处 趋于无穷大。计算从 到 区间内的涡通量:可见,当时单位长度平板上的半无限如果区域内无新的的涡原,单纯的涡量扩区域内涡通量为常数,且等于平板速度。散不会改变无限大区域内总的涡通量。(317d)204、周期振动的平板引起的非定常 流动Stokes第二问题22yutu0cos),0(00uytUtuy压力在整个空间为常数,因此其梯度为0,边界条件和初始条件为:平板为无限长,平板在本身平面内作简谐振动,基本方程为:(318

10、)(319)21利用分离变量法解为)cos(),(0kyteUtyuky2k2kyy)cos(),(0teUtyu (320)其中 令 则 (321)22 这是个衰减的简谐振动,振幅 ,距壁面为y的层流与边壁的振动相位滞后为 。图37表示某时刻运动的情况。两层相距为 的流动层的振动为同相位的。k称为波数,波长L 也称为粘性波的穿透深度。l 20yeUy2222k图37 振动平板附近的速度分布k223被平板带动的流体层(以0.99 U0为限)称为边界层,其厚度 。同样,平板壁面的切应力为:)sin(cos20ttUw (322)不定常的平行流动还有很多例子,如:任意滑移运动的平板引起的粘性流动,

11、简单Couette流的起始过程,以及圆管中HagePoiseuille流动的起动过程等等。24 第二节 驻点附近的平面流动 Hiemenz流动 图38 驻点附近的平面流动25 在有势流动中,驻点附近的流动可应用复变函数的方法,得出有势流动的速度分布:a为常数,U和V表示理想流体沿x和y方向的速度分量。令驻点处的压力为p0,那么根据伯努利方程,求得驻点附近的压力p:ayVaxU222021yxapp 驻点附近的流动,如图38所示,取直角坐标系。由于粘性的作用在平面表面的一薄层中,流速梯度很大,但在这一薄层之外,流动仍然看成是理想流体的流动。26 在靠近平板的边界层中,流体的速度u,v,及压力p满

12、足NS方程,连续方程和边界条件如下:22222222011uvxyuupuuuvxyxxyvvpvvuvxyyxy axUuyppyxvuy0000 (322)(323)27假设v只是y的函数,令:根据连续方程:那么可令:得出f和F所满足的微分方程:)(yfv)(yf xu 22012ppaxF y fFaf ffaf ff22221afyFffy0000 (324)(325)(326)(327)(328)边界条件 28,y)()(Ayf23,ffAfAfAy 32222AaA3222 aA,Aaa 解方程(327),令则:将上述量代入动量方程(328)令 或29因此:则方程为:,ay)()(

13、ayf2100001 (329)(330)方程(331)仍为非线性,难于求得解析结。希门茨(Himenz)首先求得它的数值解,而后霍华斯(L.Howarth)又对计算做了改进。图3-9和表3-1给出了霍华斯的平面驻点流动解。30 沿着壁面方向的流速:所以:UyuUaxxa)(11)(AafaUuyfaUu 图39 平面和轴对称 驻点附近的速度分布 (331)31 表3-1:平面和轴对称有驻点流动的解32根据图39可以看出:(即 )在 时开始线性增长,随着的增加偏离斜直线,但以1.0为渐进值。在 时,那么边界层的厚度为:压力梯度为:与 成正比,是一个小量。与 均与x无关。)(uU02.40.99

14、,2.4taa()paay aaUu (332)33 第三节 旋转圆盘引起的流动 drdsdrds 图310 旋转圆盘附近的流场图34 流体以等角速度 绕z轴旋转的圆盘所引起的流动。由于粘性的作用,靠近圆盘表面的一层流体随同圆盘一起转动,且由于离心力的作用,流体在转动的同时不断地被甩向圆盘的边缘,而远离圆盘的流体沿z轴流向圆盘表面。由此可见,流动是三维的。假设圆盘半径为无限大,流动定常。采用坐标系(),并令z轴与旋转轴重合。由于流动的对称性,所有流动参数对 的导数为零。zr,35流体运动的基本方程和边界条件为:2222222222222011rrzrrrrrrzrrzzzzzzrzuuurrz

15、uuupuuuuurzrrrrrzuu uuuuuuurrzrrrzuupuuuuurzzrrrz 0,00,00uuzuruuzrzr (333)(334)36 估算被圆盘带动作旋转运动的流体层厚度 。考虑紧靠圆盘表面与z轴距离为r处的柱形微元体(图311),其平行于圆盘表面的侧面积为drds,高为 。此流体微元所受的离心力为 ,其作用方向沿r的正方向。同时,此流体微元还受摩擦 力 的作用,摩擦力的方向与流 体微元运动的方向相反,假设此方向 与圆周方向的夹角为 。则在圆盘表 面附近,流体微元受的离心力主要 与摩擦力 平衡:2rdrds drdsw22sinsinrdrdsrdrdswwdrd

16、sw图311 圆盘附近流体微元37 切应力的周向分量应与壁面上流体周向速度沿轴向的梯度成正比:可以得到:由于圆盘的半径无限大,必须与r 无关,即 与r无关/cosrwtan2 (335)38分析影响速度和压力的因素。圆盘的转动角速度,粘性系数及空间点的坐标r,z是决定速度及压力分布的因素:ur是由于流体微团受到离心力作用而产生的,因此可以假定:),(),(),(),(zrppzruuzruuzruuzzrr),(zrfur),(zrgu),(2zfzuz),(zhuz (336)(337)39可以假定:zppp,0zhdzdhhdzhdzp,1122 (337d)应用 定理,选 ,为量纲独立量

17、,可得:因此 012345,rzuppuuzrrrr*zFzFrur*zGzGru*zuH zH z*0ppP zP z (338)40其中:*z22200200FHFF HFGFGHGGPHHH可得到常微分方程和边界条件:0,00,1,0,00*GFzpGHFz (339)(340)41 Rarman(1921)求出了近似解,Cochrem W.G.(1934)用数值积分方法进行计算。*zz 图312 无限大圆盘流动的数值解曲线42 表32 无限大旋转 圆盘流动的数值解43圆盘上的应力分布:000033003300()2(0)2(0)()(0)0.51()(0)0.616zzzzzrzrzz

18、zzzuppPHpzurFrzurGrz (341)44 根据圆盘面上应力分布,可求出圆盘的阻力矩 和总阻力,阻力系数:drrrrdrdMzz330232.1234033616.0464.22RdrrMRRe87.321616.0212523452RRRMCM2ReR 其中:(342)455/1Re146.0MC大约在Re3105左右,流动进入湍流区,此时 图313 旋转圆盘力矩系数理论值与试验值的比较 (343)46 圆盘半径为R时,其旋转所引起的流量:当 时,流体周向速度 近似于圆盘处周向速度的1,即:变化几乎发生在 的区域内。如果流体的粘性系数很小,圆盘转动的角速度很大时,那么被带动的流

19、体层厚度就很薄。5z 0*20)(22dzzFRdzuRQRrr*2*2*01()20.88382dH zRdzRdz (344)旋转圆盘的边界层厚度:u01.0)5(5*Gruzruu、5*zz47第四节 缓慢流动的NavierStokes方程 的近似解 在Re很小时,NS方程中的惯性项与粘性项、压力项比较可以忽略不计,方程就可以简化成线性方程。0222222222222222222zwyvxuzwywxwzpzvyvxvypzuyuxuxp (346)48式中p为调和函数。在二维情况下 ,引入流函数令那么:0222222zpypxp20p或0,0zwxvyuyuxv2 (347)(348)

20、(349)(350)490240或wwvvuUu 利用涡量输送方程,忽略惯性项,即可得到 满足式(351)的流动就称为Stokes流动,通常Re1范围内上两式适用。(351)另一方面,将物体放在x方向速度为U的均匀流中,求物体周围的流动时,为了考虑惯性力的影响,令:代入NS方程,保留线性惯性项 ,从而得到Oseen方程:wuvUUUxxx,和 (352)500222222222222222222zwyvxuzwywxwzpxwUzvyvxvypxvUzuyuxuxpxuU (353)Stokes流动和Ossen流动称为蠕流(creeping flow)。51 蠕流最典型的例子是圆球绕流的近似解

21、,首先由Stokes解出。下面仅列出Stokes圆球绕流解的结果。如图314圆球的半径为a,利用球坐标系,由于流动是对称的,故只要给出速度分量。zypURaU33333cos1222sin144RaauURRaauURR 2cos23RaUpp (354)(355)图314 圆球绕流52 圆球表面的压力为:式中 。压力系数:式中 。在理想流体绕流时 。232UppxadpUppCRecos6212cosax Uad2Re291sin4pC 圆球表面上的压力系数不仅与位置有关,而且与Re成反比,且对于最大迎流截面来说是不对称的,故有压差阻力存在。(356)(357)53 式(358)为Stoke

22、s公式,用系数(stokes阻力系数)表示为:作用在圆球表面上的切应力为:圆球面上的总阻力即是压力和阻力在球面上的积分 13|sin2RRR auuuURRRa 200sincos2sin 3sin6RDpadaUdaU (358)(359)22241Re2DDCUa (360)54Oseen阻力系数:Goldstein(1929)对Oseen解进行了改进:当Re5时与实测接近。实验曲线拟合的经验公式:243(1Re)Re16DdC432Re3440640030179Re2048071Re128019Re1631Re24DC5102Re04.0Re16Re24dddDCUdCDReRe96.6

23、圆柱绕流的缓慢流动的解由Lamb给出 (361)(362)(363)55 图315 圆球阻力系数Cd的理论值与试验值的比较56 第五节 滑动轴承内的流动 轴颈轴承孔充满润滑流体的间隙p 图316 圆柱轴承合轴颈剖面57 与固定壁的长度相比,间隙h(x)非常小,所以与x方向的速度u相比,y方向的速度可以忽略不计。为了简单,把圆柱轴承和轴颈的作用视为二维流动,两个固壁之内形成一个楔形的间隙,内有油流动,形成压力分布以支持轴承的载荷。图317 滑动轴承的润滑机理58 作用在润滑油上的惯性力与粘性力之比为:因此:22*222Re uUuULhxLUuLhy惯性力粘性力2*ReLhUL与Stokes流动

24、类似,若Re*1,惯性力忽略不计。(364)(365)59因为x方向u的变化,比y方向u的变化小的多,忽略则运动方程可以近似为:边界条件:积分后:)(2222yuxu22yuxp00yuUyhu:)(21)(yhydxdpyhhUu (366)(367)60dxdphUhudyQh1223032212hQhUdxdp xdxxhQxhUpp0320)()(212hhdhhQhUhhL13212212222122216hhhhhhhUL 垂直于纸面方向单位宽度上的油量:所以:利用 ,并考虑到边界条件,即在x0和xL时,pp0(p0为轴承外侧的压力),积分上式得到:Lhhdxdh/)(/12 (3

25、68)61112ln)1(6)(22200KKKhKULdxppPL113ln212200KKKhKULdxdyduFLyx令 可以得到当K2.2时,载荷P达到最大值:0/dKdp2220.16maxULPh所以垂直于纸面的单位宽度上,y方向的载荷P为 其中Kh1/h2。如果两个平面彼此平行,则 ,于是 轴承不能支承载荷的。此外,作用在单位宽度上沿x方向的剪应力为Fx(摩擦阻力):1K 0,P (369)(370)(371)62 图317给出了压力分布曲线,接近抛物线。取特征厚度hm和压力中心都在 附近,则:此外,定义摩擦阻力系数为Fx/P,则:由上式可见,摩擦系数只取决于缝隙的几何尺寸,与流

26、体的粘性系数无关,通常对于滑动轴承h/L10-3,因此摩擦系数约为510-3,这个数值是固体干摩擦系数的1/100至1/20。22223221220hhLhhhLaULpLpLpmmmLhPFpx7.4max (372)631 2xl图318:滑动轴承上的压力分布64 滑动轴承的雷诺方程 当润滑面在垂直于纸面的方向为有限宽度时,必须考虑垂直于纸面的速度分量w,于是油膜的运动方程为:连续方程:边界条件:000hhwdyzudyx000000:0:xzyuUwyhuwxxlppzlpp:,:和和z22,puxx0,py22zwzp (373)(374)(375)65dxdhUzphzxphx633 雷诺方程:方程(373)中最后一式的解为:将式(3-67)和(3-76)代入式(3-74)则得:1()2pwy hyz (376)(377)滑动轴承是由两偏心圆形成楔形油膜,偏心和旋转不仅会形成正压区,也会产生负压区,此负压可能形成气泡和引起气蚀;随着轴承圆周速度和润滑油温度的提高,换算雷诺数 可能接近甚至超过1。因此忽略惯性力的假设不再成立;随着重轴承的发展,油膜运动的惯性力越来越大。在某些情况下,库埃特流动变得不稳定,甚至变成湍流。*Re

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