1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、线性方程组的消元法线性方程组的消元法 一、一、线性方程组的矩阵表示线性方程组的矩阵表示mn的矩阵表示为的矩阵表示为AXb（）11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xbaxaxaxbaxaxaxb12mbbbb111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa其中其中:系数矩阵系数矩阵12nxxXx11121121222212nnmmmnmaaabaaabBaaab增广矩阵增广矩阵常常数数矩矩阵阵未未知知量量阵阵第一次课第一次课机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、线性方程组二、线性方程组 是否有解是否有解AX
2、b12312311.220 xxxxxx有解有解,但不止一个但不止一个,例如例如12301,2xxx123122xxx是解是解.121212.223xxxx无解无解.三、线性方程组三、线性方程组 解法解法:AXb1.A为方阵为方阵,当当|A|0 0 时可用时可用Cramer法则法则;2.A为方阵为方阵,当当|A|0 0 时时1AXbXA b3.消元法消元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、A X=b 有解的判别法有解的判别法,及解的求法及解的求法12312312311)2313324xxxxxxxxx 1.1.引例引例:用消元法解下列线性方程组用消元法解下列线性方程组-2-31232
3、33101001xxxxxx 213123rrrr其解为其解为123201xxx 有解时看出有解时看出111101110011111121313324(|)BA b()(|)3()r Br A br A机动 目录 上页 下页 返回 结束 123123123212)3421112173xxxxxxxxx-2-1112rr无解时看出无解时看出211113421112173(|)BA b()(|)3()2r Br A br A 123123123342211112173xxxxxxxxx1342211111121731232323342793212719xxxxxxx 2131211rrrr1342
4、0793021271912323342793010 xxxxx -3323rr1342079300010机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)Th1.1：线性方程组：线性方程组 AX=b 有解有解()(|)r Ar A b2.线性方程组有解的判别法线性方程组有解的判别法(2)Th1.2：方程组：方程组 AX=b 对应矩阵为对应矩阵为(A|b););则则 AX=b b 与与BX=p 同解同解.如果如果初等行变换初等行变换(|)(|)A bBp书书:P:P116 116 例例2,例例3机动 目录 上页 下页 返回 结束 1234512345134532224453xxxxxxxxxxxxxx【例
5、例1】解线性方程组解线性方程组21312rrrr1 111 322 211441 01 51 3(|)A b 解解:323(1)rrr 2(1)r 13232rrrr1 1 11 320 1 26 410 0 13 201 1 02120 1 00010 0 13 2011113200132 001264 112rr1 0 02130 1 00010 0 13 20机动 目录 上页 下页 返回 结束 得等价方程为得等价方程为1 0 02130 1 00010 0 13 201452345231320 xxxxxxx 145234523132xxxxxxx 其中其中x4,x5为自由未知量为自由未
6、知量令令 x4=c1,x5=c2 则方程组的全部解则方程组的全部解(通解通解)为为1122312415223132xccxxccxcxc12213001320100010cc机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、五、线性方程组解的个数线性方程组解的个数（一）（一）A X=b 解的情况解的情况11121121222212(|)nnmmmnmaaabaaabA baaab111121221111100rnrnr rrnrrccdccdccdd行变换行变换()r Ar1.1.分析分析:(1):(1)如果如果dr+10,从而从而(|)1()r A brr Ar ,故无解故无解(2)(2)如果如果dr
7、+1=0,若若 r=n,即即 r(A)=r(A|b)=n,方程有唯一解方程有唯一解 若若 r n,即即 r(A)=r(Ab)=r n时时,证明证明:设设m个个n维向量组为维向量组为 A,则则 r(A)min(m,n)=n s(1)向量组向量组 A 能被能被 B 线性表示线性表示,则向量组则向量组12,ma aa 必线性相关必线性相关.如果如果2.推论推论1:如果向量组如果向量组12,sb bb 能被能被12,ma aa 12,:,sB b bb 线性表示线性表示,且且12,ma aa 线性无关线性无关,那么那么.ms3.推论推论2:两个等价无关的向量组两个等价无关的向量组,的向量的向量.必含有
8、相同个数必含有相同个数第四次课第四次课机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.定义定义3.1:给定向量组给定向量组 A,如果如果向量组向量组并且并且 A中任意中任意 r+1个向量个向量的一个最的一个最(极极)大无关组大无关组.二、最二、最(极极)大无关组大无关组012:,rAa aa 2.定理定理3.2:一个向量组的任意两个最大无关组一个向量组的任意两个最大无关组(如果如果存在的话存在的话)是等价的是等价的.3.定理定理3.3:一个向量组的任意最大无关组都含有相同一个向量组的任意最大无关组都含有相同个数的向量个数的向量A中存在中存在 r 个线性无关的个线性无关的(如果存在的话如果存在的话)都线
9、性相关都线性相关,那么向量组那么向量组 A0 称为称为A4.定义定义3.1:向量组的最大无关组所含向量的个数向量组的最大无关组所含向量的个数,称为称为向量组的秩向量组的秩,记为记为:12()(,)rr Ar a aar 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.定义定义3.2:矩阵的行秩就是矩阵行向量的秩矩阵的行秩就是矩阵行向量的秩.三、矩阵的秩与向量组的秩的关系三、矩阵的秩与向量组的秩的关系1 1 3 10 21 40 0 0 50 0 0 0A1234(1,1,3,1),(0,2,1,4),(0,0,0,5),(0,0,0,0)aaaa由由1 1310 21 43,0 005r设矩阵设矩阵又
10、因为又因为40a 123,a a a 线性无关线性无关,可知可知行向量为行向量为线性相关线性相关,1234,a a a a 所以所以故行向量组的秩为故行向量组的秩为3矩阵的列秩就是矩阵列向量的秩矩阵的列秩就是矩阵列向量的秩.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1310 21 40 0050 000A列向量为列向量为123411310214,00050000bbbb 所以列向量组所以列向量组1234,b b b b 1110243005000r由由124,b b b 线性无关线性无关,可知可知线性相关线性相关,可知可知1234,b b b b 由由1 1 3 10 21 430 0 0 50
11、 0 0 0r2.定理定理3.4:对于任意矩阵对于任意矩阵m nA,都有都有:A的秩的秩=A的行秩的行秩=A的列秩的列秩的秩为的秩为3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.性质性质1:只含只含0向量的向量组没有最大无关组向量的向量组没有最大无关组,规定规定四、性质四、性质2.性质性质2:向量组与它的任意一个最大无关组等价向量组与它的任意一个最大无关组等价.3.性质性质3:向量组线性无关向量组线性无关它的秩等于向量的个数它的秩等于向量的个数.它的秩为它的秩为0.机动 目录 上页 下页 返回 结束【例例11】求向量组求向量组的最大无关组的最大无关组,解解:12345(,)a a a a a 初
12、等行变换初等行变换345(0,1,1,1),(1,3,2,1),(2,6,4,1)TTTaaa 12(1,1,0,0),(1,2,1,1)TTaa 并将其余向量用最大无关组线性表示并将其余向量用最大无关组线性表示.11 01 21 2 1 3 60 1 1 2 401 1 11 1 1 0 1 20 1 1 2 40 0 0 1 10 0 0 0 0 所以最大无关组为所以最大无关组为124,a aa如果要将其余向量用最大如果要将其余向量用最大无关组线性表示无关组线性表示.1 0 1 0 10 1 1 0 20 0 0 1 10 0 0 0 0初等行变换初等行变换312,aaa51242aaaa
13、机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、向量组秩的重要结论五、向量组秩的重要结论2.推论推论1:两个等价的向量组有相同的秩两个等价的向量组有相同的秩.反之不然反之不然.1.定理定理3.5:向量组向量组 A 能由能由 B 线性表示线性表示,则则A 能由能由 B 线性表示线性表示,则则1212(,)(,)msr a aar b bb ()()orr Ar BA 的秩不大于的秩不大于B 的秩的秩.12:,mA a aa 12:,sB b bb 即即:设设()(),()()r Cr Ar Cr B3.推论推论2:设设m nm ss nCAB,则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 B 线性无关线性无关
14、,且向量组且向量组 A 能由向量组能由向量组 B 线性表示线性表示,4.推论推论3:设向量组设向量组 B 是向量组是向量组 A 的部分组的部分组,若向量组若向量组则则 B 是是 A 的一个最大无关组的一个最大无关组.证明证明:设设 B 含有含有 r 个向量个向量,则它的秩为则它的秩为 r,因为因为 A 能被能被 B 线性表示线性表示,故向量组故向量组 A 的秩的秩,r所以所以 A 组中任意组中任意 r+1 个向量都线性相关个向量都线性相关,从而由定义可知从而由定义可知 B 是是 A 的一个最大无关组的一个最大无关组.【例例12】已知已知121223540264(,),(,)11533195aa
15、b b证明向量组证明向量组 等价等价1212(,),(,)a ab b证明证明:1212(,)a a b b1 0210 1320 0000 000112212232baabaa112212232abbabb所以所以(b1,b2)能被能被(a1,a2)线性表示线性表示112212232baabaa所以所以(a1,a2)能被能被(b1,b2)线性表示线性表示故向量组故向量组 等价等价1212(,),(,)a ab b机动 目录 上页 下页 返回 结束 初等行变换初等行变换机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四次作业第四次作业:P161 17(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 4、线性方程
16、组解的结构、线性方程组解的结构1.定义定义4.1:设设V是是Rn的一个非空子集的一个非空子集,如果如果(1)V对向量的加法运算是封闭的对向量的加法运算是封闭的,即即:则称则称V为向量空间为向量空间.一、补充：向量空间的概念一、补充：向量空间的概念,V 有有.V(2)V对向量的数乘运算是封闭的对向量的数乘运算是封闭的,即即:有有.kV,VkR 例如例如 全体全体:实数、平面向量、空间向量、实数、平面向量、空间向量、n维向量维向量,都是向量空间都是向量空间.2.定义定义4.2:如果向量空间如果向量空间12VV则称则称V1是是V2的子空间的子空间.第五次课第五次课机动 目录 上页 下页 返回 结束
17、如果有如果有r 个向量个向量12,ra aaV 且满足且满足12,ra aa(1)线性无关线性无关,(2)V 中任何向量都可由中任何向量都可由 线性表示线性表示.12,ra aa 则则 称为向量空间称为向量空间V 的一个基的一个基,12,ra aa 数数 r 称为称为向量空间向量空间V 的维数的维数,并称并称V 为为r 维向量空间维向量空间.3.向量空间的基与维数：向量空间的基与维数：设设V 是向量空间是向量空间,4.说明说明:(1)只含有零向量的向量空间称为只含有零向量的向量空间称为 0 维向量空间，维向量空间，因此它没有基因此它没有基无关组无关组,V 的维数就是向量组的秩的维数就是向量组的
18、秩.(2)若把向量空间若把向量空间 V 看作向量组，那末看作向量组，那末 V 的基就是向量组的最大的基就是向量组的最大机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明:221 14()122 42212 03A B243323231 0 00 1 010 0 11故故123(,)3,R a a a 从而从而123,a a a 是是R3的一个基的一个基,且且112322,33baaa初等行变换初等行变换【例例13】设矩阵设矩阵123221(,)122,212Aa a a验证验证1214(,)42,03Bb b123,a a a 是是R3的一个基的一个基,并把并把12,b b 用该基线性表示用该基线性
19、表示.12312(),A Ba a a b b21234233baaa机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二.AX=0的通解的结构的通解的结构(一一)、A X=0 解的两个性质解的两个性质1.性质性质1:1:如果如果1 1,2 2是是 AX=0 的解的解,kR,则则1 1+2 2、k1 1均均是是 AX=0 的解的解.2.性质性质2:2:如果如果 S 是是 AX=0 的所有解的集合的所有解的集合,则则 S 是一个空间是一个空间,称称 S 为为 AX=0 的解空间的解空间.证明证明:由性质由性质1显然有显然有:从而从而 S 对加法对加法,数乘是封闭的数乘是封闭的,所以所以 S 是一个向量空间是
20、一个向量空间.(1)若若1,2S,则则1+2S(2)若若S,kR,则则 kS机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设 AX=0的的r(A)=r,不妨设不妨设111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa行变换行变换()r Ar1112121111rnrnr rrnbbbbbb1.AX=0 的解空间的解空间 S 的基的基.(二二).A X=0 的解空间的解空间 S 的结构的结构找出找出 AX=0 的解空间的解空间 S 的一组的一组S 中中的任意一个向量的任意一个向量(即即 AX=0这组线性无关的解就是这组线性无关的解就是 S 的基的基.该线性无关的解表示该线性无关的解表示,则则线性无关
21、的解线性无关的解,并且证明并且证明的任意一个解的任意一个解)都可以由都可以由A 的前的前 r 列线性无关列线性无关,则有则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 111112211211rrnnrrnnrr rrr nnxbxb xxbxb xxbxb x0AX 其中其中12,rrnxxx取任意实数取任意实数令令:12100rrnxxx 得方程得方程 AX=0 的的n-rn-r个线性无关的解个线性无关的解:01,0 00,1 (1)(1)求求 S 中的一组线性无关的解中的一组线性无关的解()()*代入到代入到 AX=0的等价方程的等价方程 中中()()*机动 目录 上页 下页 返回 结束 121
22、12rrrnxxxxxx1211,100nrrrn rbbb122222,010rrrrbbb111112211211rrnnrrnnrr rrr nnxbxb xxbxb xxbxb x(2)(2)求求 AX=0 的任意一个解的任意一个解令令1122,rrnn rxc xcxc11211100rrrrbbb机动 目录 上页 下页 返回 结束 1111122112111122rrnnrrnnrr rrr nnrrrrnnxbxbxxbxbxxbxbxxxxxxx11121212221212100010001rrnrrnr rr rr nnrbbbbbbbbbccc得通解为得通解为:1 122n
23、 rn rccc111121121112rnnrrnnrr rr nnrrrnbcb cbcbcbcbcxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 从从(1)(1)可以看出可以看出12,nr都可以表示成都可以表示成从从(2)(2)得到方程得到方程 AX=0 的任意一个解的任意一个解,是是 AX=0 的一组的一组无关向量组无关向量组 是解空是解空 S 的一个基的一个基.12,nr 的线性组合的线性组合,12,nr线性无关解线性无关解,从而线性从而线性 2.说明说明:(1)AX=0 的解空间的解空间 S 的基不是唯一的的基不是唯一的.(4)如果如果AX=0的基础解系为的基础解系为12,nr1122n
24、 rn rXccc,则其通解为则其通解为(3)如果如果 AX=0的的 r(A)=r,则基础解系是则基础解系是 n-r 维的维的.(2)解空间解空间 S 的基的基 称为称为AX=0的基础解系的基础解系.12,nr机动 目录 上页 下页 返回 结束 123412341234202220430 xxxxxxxxxxxx【例例14】求齐次线性方程组求齐次线性方程组的基础解系的基础解系,及通解及通解.解解:122121221143A21312rrrr122103640364322(3)rrr 12210124/30000122rr1025/30124/3000013423452,342,3xxxxxx令
25、令:3410,01xx 得基础解系得基础解系:122,1025/34/3.0112341 122(,).Tx xxxcc所以通解为所以通解为:机动 目录 上页 下页 返回 结束 123451234512345123454302355032035670 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx【例例15】求齐次线性方程组求齐次线性方程组的基础解系的基础解系,及通解及通解.解解:11 1432135511 32131567A1 02120 11 310 00000 000013452345223xxxxxxxx 取取:34510,0 xxx 得基础解系得基础解系:121,100213,010321
26、001 01,0 001 123451 12233(,).Tx xxxxccc所以通解为所以通解为:方法方法1 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:1 1 1 432 1 3 5511 3213 1 5 67A1 0 2 120 11 310 0 0 0 00 0 0 0 013452345223xxxxxxxx方法方法2 2令令:314253,xcxcxc其基础解系为其基础解系为:得通解得通解:11232123314253223xcccxcccxcxcxc121100c213010c321001c 121,100213,010321001 1234512345123451234543
27、02355032035670 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx【例例15】求齐次线性方程组求齐次线性方程组的基础解系的基础解系,及通解及通解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五次作业第五次作业:P161 20(1),23(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 三三.AX=b的通解的结构的通解的结构(一一).AX=b 解的两个性质解的两个性质1.性质性质1:1:如果如果1 1,2 2是是 AX=b 的解的解,则则1 1-2 2 是是 AX=0 的解的解.2.性质性质2:2:如果如果是是 AX=0 的解的解,+是是 AX=b 的解的解.是是 AX=b 的解的解,则则第六次课第六次课
28、机动 目录 上页 下页 返回 结束 (二二).AmnX=b 通解的结构通解的结构是是 AX=b 的特解的特解,则则1.线性方程线性方程 AX=b(1)当当 时无解时无解()(|)r Ar A b(2)当当 时有唯一解时有唯一解()(|)r Ar A bn(3)当当 时有无穷多组解时有无穷多组解()(|)r Ar A bn3.结论结论2:2:设设(|)(),r A br Ar12,nr 是是 AX=0 的的2.结论结论1:1:如果如果 X是是 AX=0 的通解的通解,是是 AX=b 的特解的特解,则则X+是是 AX=b 的通解的通解.基础解系基础解系,1122nrnrXccc是是 AX=b 的通
29、解的通解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 123412341341353xxxxxxxxxxx【例例16】求非齐次线性方程组求非齐次线性方程组的通解的通解13424322xxxxx解解:11111(|)1113510113A b101130102200000得等价方程为得等价方程为:13424322xxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 13424322xxxxx方法一方法一:110,10 212.01 取取3410 xx 0,1 代入原方程得原方程的一个特解为代入原方程得原方程的一个特解为3200 得对应的齐次方程组的基础解系为得对应的齐次方程组的基础解系为:12113022100010cc 12,(,)c cR340 xx令令121 12 234xxccxx通解为通解为:机动 目录 上页 下页 返回 结束 13424322xxxxx方法二方法二:13412242331442332222xxxccxxcxxcxxc12113022100010cc 12,(,)c cR110,10 212.01 其中其中:对应的齐次方程组的基础解系为对应的齐次方程组的基础解系为:令令得通解为得通解为:3144xcxc原方程的一个特解为原方程的一个特解为3200 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六次作业第六次作业:P162 23(2),24讲解讲解:P162 25,27
