1、第44讲高考中的数列 问题 高考数学复习考点知识专题讲解讲义命题点1数列与数学文化例1(1)(2019乐山模拟)张丘建算经中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布？等差数列、等比数列基本量的运算多维探究题型一解析由题意可知每天织布的多少构成等差数列，其中第一天为首项a15，一月按30天计可得S30390，从第2天起每天比前一天多织的即为公差d.(2)(2020北京市房山区模拟)九章算术中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，
2、莞生日自倍.问几何日而长等？意思是今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为(结果精确到0.1，参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)A.2.2天 B.2.4天 C.2.6天 D.2.8天莞的长度组成等比数列bn，其b11，公比为2，其前n项和为Bn.蒲、莞长度相等大约需要2.6天.故选C.对于数学文化中所涉及到的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳，然后构造恰当的数列模型，再根据等差或等比数列的有关公式求解作答，必要时要进行检验.思维升华SI WEI SHENG HU
3、A跟踪训练1(1)(2019湖南省长沙市第一中学模拟)周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺解析设这十二个节气日影长依次成等差数列an，Sn是其前n项和，由题意知a1a4a73a431.5，所以a410.5，所以公差da5a41，所以a12a57d2.5，故选B.(2)中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊
4、主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还粟解析因为5斗50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为a1，a2，a3，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且S350，故选D.命题点2等差数列、等比数列的交汇例2记Sn为等比数列an的前n项和.已知S22，S36.(1)求an的通项公式；解设an的公比为q.解得q2，a12.故an的通项公式
5、为an(2)n.(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列.故Sn1，Sn，Sn2成等差数列.等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解.求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程.思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练2(2019桂林模拟)已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，S11，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式；解设数列an的公差为d.(2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比.解由(1)知an2n1，Snn2，S416，S636，数列的求和题型
6、二多维探究命题点1分组求和与并项求和例3(2019湖南省张家界慈利县期中)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；解设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，所以bnb2qn233n23n1，又由a1b11，a14b427，所以数列an的通项公式为ana1(n1)d12(n1)2n1.(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和.解由题意知cnanbn(2n1)3n1，则数列cn的前n项和为13(2n1)(1393n1)命题点2错位相减法求和例4记等差数列an的前n项和为Sn，已知a2a46，S410.(1)求数列an的通项公式
7、；解设等差数列an的公差为d，由a2a46，S410，故所求等差数列an的通项公式为ann.(2)令bnan2n(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解依题意，bnan2nn2n，Tnb1b2bn12222323(n1)2n1n2n，又2Tn122223324(n1)2nn2n1，两式相减得Tn(222232n12n)n2n1 n2n1(1n)2n12，Tn(n1)2n12.命题点3裂项相消法求和例5(2020三明质检)已知正项数列an的前n项和为Sn，a11，且(t1)Sn 3an2(tR).(1)求数列an的通项公式；所以(anan1)(anan13)0，因为an0，所以anan13，又因
8、为a11，所以an是首项为1，公差为3的等差数列，所以an3n2(nN*).解因为bn1bnan1，b11，所以bnbn1an(n2，nN*)，所以当n2时，bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时可从要证的结论出发，这是很重要的解题信息.(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等.思维升华SI WEI SHENG HUA求数列an的通项公式与前n项和Sn.(2)(2019天津市南开区模拟)已知数列an的前n项和Snan 2(nN*)，数列bn满足bn2nan.求证：数列bn是等差数列，并求数
9、列an的通项公式；化为2nan2n1an11，bn2nan，bnbn11，即当n2时，bnbn11，又b12a11，数列bn是首项和公差均为1的等差数列.nN*，n的最大值为4.数列的综合问题答题模板例(10分)(2019全国)已知数列an和bn满足a11，b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；规范解答证明4an13anbn4，4bn13bnan4.4(an1bn1)2(anbn)，a1b11010，4an13anbn4，4bn13bnan4，4(an1bn1)4(anbn)8，(an1bn1)(anbn)2为常数，5分又a1b
10、1101，anbn是以1为首项，2为公差的等差数列.6分(2)求an和bn的通项公式.规范解答答题模板DA TI MU BAN第一步：根据定义法、等差(等比)中项法、通项公式法等判定数列为等差(等比)数列；第二步：由等差(等比)数列基本知识求通项，或者由递推公式求通项；第三步：根据和的表达式或通项的特征，选择合适的方法(分组转化法、错位相减法、裂项相消法)求和；第四步：反思解题过程，检验易错点、规范解题步骤.12345课时精练基础保分练1.(2020山东模拟)在b1b3a2，a4b4，S525这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.设等差数列a
11、n的前n项和为Sn，bn是等比数列，_，b1a5，b23，b581，是否存在k，使得SkSk1且Sk1Sk1，即SkSkak1，从而ak10；同理，若使Sk1Sk2，即Sk10.12345若选：由b1b3a2，得a21910，所以an3n16，当k4时满足a50成立；若选：由a4b427且a51，所以数列an为递减数列，故不存在ak10；解得a35，从而an2n11，所以当k4时，能使a50成立.2.(2019重庆西南大学附属中学月考)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn.若a1b13，a4b2，S4T212.(1)求数列an与bn的通项公式；解由a1b1，a4b2，
12、设等差数列an的公差为d，则a2a32a13d63d12，所以d2.所以an32(n1)2n1，设等比数列bn的公比为q，由题意知b2a49，即b2b1q3q9，所以q3.所以bn3n.则S4T2(a1a2a3a4)(b1b2)a2a312，12345(2)求数列anbn的前n项和.12345解anbn(2n1)3n，所以anbn的前n项和为(a1a2an)(b1b2bn)(352n1)(3323n)123453.(2019天津市南开区模拟)数列an是等差数列，Sn为其前n项和，且a53a2，S714a27.(1)求数列an的通项公式；解设等差数列an的公差是d.由a53a2得d2a1，由S7
13、14a27得da11，由解得a11，d2.所以数列an的通项公式为an2n1.12345(2)设数列anbn是首项为1，公比为2的等比数列，求数列bn(anbn)的前n项和Tn.解由数列anbn是首项为1，公比为2的等比数列，得anbn2n1，即2n1bn2n1.所以bn2n12n1，所以bn(anbn)2n1(2n12n1)4n12n1(2n1)，Qn120321522(2n3)2n2(2n1)2n1，则2Qn121322523(2n3)2n1(2n1)2n，得Qn12022122222n1(2n1)2n(32n)2n3，所以Qn(2n3)2n3，12345技能提升练123451234512
14、345拓展冲刺练5.设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q1，d0.记ciaibi(i1,2,3,4).(1)求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；证明假设数列c1，c2，c3是等差数列，则2c2c1c3，即2(a2b2)(a1b1)(a3b3).因为b1，b2，b3是等差数列，所以2b2b1b3.又因为a1，a2，a3是等比数列，所以 a1a3.所以a1a2a3，这与q1矛盾，从而假设不成立.所以数列c1，c2，c3不是等差数列.从而2a2a1a3.12345(2)设a11，q2.若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；解因为a11，q2，所以an2n1.因为 c1c3，所以(2b2)2(1b2d)(4b2d)，即b2d23d，由c22b20，得d23d20，所以d1且d2.又d0，所以b2d23d，定义域为dR|d1，d2，d0.12345(3)数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由.解假设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，将2得，a1(q1)2c1(q11)2，将2得，a1q(q1)2c1q1(q11)2，因为a10，q1，由得c10，q11.由得qq1，从而a1c1.代入得b10.再代入，得d0，与d0矛盾.所以c1，c2，c3，c4不成等比数列.12345
