1、第3讲空间角专题二立体几何板块三专题突破核心考点考情考向分析以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，热点为异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的求解，向量法作为传统几何法的补充，为考生答题提供新的工具热点分类突破真题押题精练内容索引热点分类突破热点一异面直线所成的角(1)几何法：按定义作出异面直线所成的角(即找平行线)，解三角形解析答案解析解析方法一如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体ABBAA1B1B1A1.连接B1B，由长方体性质可知，B1BAD1，所以DB1B为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.连接DB，故选C.方法二如图，以点D为坐标原点
2、，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.(2)(2018浙江省杭州二中月考)已知异面直线a，b所成的角为50，过空间一定点P最多可作n条直线与直线a，b均成角，则下列判断不正确的是A.当65时，n3 B.当n1时，只能为25C.当30时，n2 D.当75时，n4解析答案解析解析将空间直线平移，异面直线的夹角不变，则可将异面直线a，b平移到同一平面内，使得点P为平移后的直线a，b的交点，则当025时，n0；当25时，n1，此时该直线为直线a，b所成锐角的角平分线所在的直线；当2565时，n2，此时这两条直线在平面内的投影为直线a，b所成锐角的角平分线所在的直线
3、；当65时，n3，此时其中两条直线在平面内的投影为直线a，b所成锐角的角平分线所在的直线，另一条直线为直线a，b所成钝角的角平分线所在的直线；当6590时，n4，此时其中两条直线在平面内的投影为直线a，b所成锐角的角平分线所在的直线，另外两条直线在平面内的投影为直线a，b所成钝角的角平分线所在的直线；当90时，n1，此时直线为过点P且与平面垂直的直线.综上所述，B选项的说法错误，故选B.(1)运用几何法求异面直线所成的角一般是按找证求的步骤进行.(2)两条异面直线所成的角不一定是直线的方向向量的夹角，即cos|cos|.思维升华思维升华跟踪演练跟踪演练1(2018浙江省衢州二中模拟)如图，已知
4、等腰三角形ABC中，ABAC，O为BC的中点，动点P在线段OB上(不含端点)，记APC，现将APC沿AP折起至APC，记异面直线BC与AP所成的角为，则下列结论一定成立的是解析答案所以cos cos，热点二直线与平面所成的角(1)几何法：按定义作出直线与平面所成的角(即找到斜线在平面内的投影)，解三角形.例例2(2018浙江省名校协作体联考)在如图所示的几何体中，平面DAE平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，四边形DCFE为菱形.已知ABCD，ABC60，CD 1.(1)线段AC上是否存在一点N，使得AE平面FDN？证明你的结论；解答解解在线段AC上存在点N，使得AE平面FDN，且N是AC
5、的中点.如图，取AC的中点N，连接NF，DN，连接EC交DF于点O，连接ON.四边形CDEF为菱形，O为EC的中点.在ACE中，由中位线定理可得ONAE.ON平面FDN，AE 平面FDN，AE平面FDN，在线段AC上存在点N，使得AE平面FDN，且N是AC的中点.(2)若线段FC在平面ABCD上的投影长度为 求直线AC与平面ADF所成角的正弦值.解答解解方法一DECF，DE在平面ABCD上的投影长度为过点E作EOAD于点O，平面DAE平面ABCD，且平面DAE平面ABCDAD，EO平面DAE，EO平面ABCD，则OD在等腰梯形ABCD中，由已知易得ADBC1，点O为线段AD的中点.设点C到平面
6、FDA的距离为h，VCFDAVFADC，hSFDAEOSADC，取AB的中点M，连接CM，取CM的中点P，连接AP，DP，FP，OP.O，P分别为AD，MC的中点，AMDCEF，且AMDCEF，OPEF且OPEF，四边形OPFE为平行四边形，OEFP，OEFP，FP平面ABCD.DF2AD2AF2，ADF为直角三角形，设直线AC与平面FDA所成的角为，方法二DECF，DE在平面ABCD上的投影长度为过点E作EOAD于点O，平面DAE平面ABCD，且平面DAE平面ABCDAD，EO平面DAE.EO平面ABCD，则OD在等腰梯形ABCD中，由已知易得ADBC1.点O为线段AD的中点.以O为原点，O
7、E所在直线为z轴，过O且平行于DC的直线为y轴，过O且垂直于yOz平面的直线为x轴建立空间直角坐标系，易得x轴在平面ABCD内.设平面ADF的法向量为n(x，y，z)，令x1，得平面ADF的一个法向量为若直线AC与平面ADF所成的角为，(1)运用几何法求直线与平面所成的角一般是按找证求的步骤进行.(2)直线和平面所成角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，注意所求角和两向量夹角间的关系.思维升华思维升华跟踪演练跟踪演练2(2018杭州质检)如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，A120，M为线段BC的中点，D为线段BC上一点，且BDBA，沿直线AD将ADC翻折至ADC，使A
8、CBD.证明(1)证明：平面AMC平面ABD；证明证明因为ABC为等腰三角形，M为BC的中点，所以AMBD，又因为ACBD，AMACA，AM，AC平面AMC，所以BD平面AMC，因为BD平面ABD，所以平面AMC平面ABD.(2)求直线CD与平面ABD所成的角的正弦值.解答解解在平面ACM中，过C作CFAM交直线AM于点F，连接FD.由(1)知，平面AMC平面ABD，又平面AMC平面ABDAM，CF平面AMC，所以CF平面ABD.所以CDF为直线CD与平面ABD所成的角.设AFx，在RtCFA和RtCFM中，AC2AF2MC2MF2，热点三二面角二面角有两种求法：几何法：利用定义作出二面角的平
9、面角，然后计算.向量法：利用两平面的法向量.设平面，的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)，设二面角a的平面角为(0)，例例3如图，在矩形ABCD中，AB2，AD4，点E在线段AD上且AE3，现分别沿BE，CE所在的直线将ABE，DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角DECB的余弦值为解析答案解析解析如图1所示，连接BD，设其与CE的交点为H，由题意易知BDCE.翻折后如图2所示，连接BD，则在图2中，BHD即为二面角DECB的平面角，图1图2(1)构造二面角的平面角的方法(几何法)：根据定义；利用二面角的棱的垂面；利用两同底等腰三角形底边上的两条中线等.(2)向
10、量法：根据两平面的法向量.思维升华思维升华跟踪演练跟踪演练3(2018绍兴质检)已知四面体SABC中，二面角BSAC，ASBC，ASCB的平面角的大小分别为，则解析答案解析解析设三棱锥的顶点S距离底面ABC无穷远，则三棱锥SABC近似为以ABC为底面的三棱柱，此时二面角的平面角，等于三角形ABC的三个内角；若顶点S与底面ABC的距离趋向于0，则三棱锥SABC近似压缩为四顶点共面，则当S为ABC内一点时，二面角的平面角，的大小都为，因此(，3)，故选C.真题押题精练真题体验1.(2017全国)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线
11、AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60.其中正确的是_.(填写所有正确结论的编号)解析答案解析解析依题意建立如图所示的空间直角坐标系，设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.由题意知，点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆.设直线a的方向向量为a(0，1，0)，直线b的方向向量为b(1，0，0)，则B(cos，sin，0)，设直线AB与a所成的角为，4590，正确，错误；设直线AB与b所成的角为，当直线AB与a的夹角为60，即60时，4
12、590，60，即直线AB与b的夹角为60.正确，错误.2.(2017浙江改编)如图，已知正四面体DABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，APPB，分别记二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角为，则，的大小关系为_.解析答案解析解析如图，作出点D在底面ABC上的射影O，过点O分别作PR，PQ，QR的垂线OE，OF，OG，连接DE，DF，DG，则DEO，DFO，DGO.由图可知，它们的对边都是DO，只需比较EO，FO，GO的大小即可.如图，在AB边上取点P，使AP2PB，连接OQ，OR，则O为QRP的中心.设点O到QRP三边的距离为a，则OGa，OFOQsi
13、nOQFORsinORPa，OFOGOE，.证明3.(2018浙江)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.(1)证明：AB1平面A1B1C1；证明证明方法一由AB2，AA14，BB12，AA1AB，BB1AB，故AB1A1B1.由BC2，BB12，CC11，BB1BC，CC1BC，故AB1B1C1.又因为A1B1B1C1B1，A1B1，B1C1平面A1B1C1，因此AB1平面A1B1C1.方法二如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.又A1B1A1
14、C1A1，A1B1，A1C1平面A1B1C1，所以AB1平面A1B1C1.解答(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.解解方法一如图，过点C1作C1DA1B1，交直线A1B1于点D，连接AD.由AB1平面A1B1C1，得平面A1B1C1平面ABB1.由C1DA1B1，平面A1B1C1平面ABB1A1B1，C1D平面A1B1C1，得C1D平面ABB1.所以C1AD即是直线AC1与平面ABB1所成的角.方法二设直线AC1与平面ABB1所成的角为.设平面ABB1的一个法向量为n(x，y，z).押题预测如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，SA底面ABCD，E，F分别为线段AB
15、，SD的中点.押题依据押题依据定义法求直线与平面所成的角的关键是利用直线与平面所成角的定义去构造一个直角三角形，通过解三角形的知识求角.方法一求解第(2)问的关键是构造三角形，证明AFE为直线EF与平面SCD所成角的余角.证明押题依据(1)证明：EF平面SBC；证明证明方法一如图，过点E作EGSB，交SA于点G，连接GF.因为E为AB的中点，所以G为SA的中点，又F为SD的中点，所以GFAD，所以GFBC，又BC平面SBC，GF 平面SBC，所以GF平面SBC.因为GESB，SB平面SBC，GE 平面SBC，所以GE平面SBC，又GEGFG，GE，GF平面GEF，所以平面GEF平面SBC，又E
16、F平面GEF，所以EF平面SBC.方法二取SC的中点H，连接FH，BH，因为F是SD的中点，又CDAB，CDAB，点E是AB的中点，所以FHBE，FHBE，所以四边形EFHB是平行四边形，所以EFBH，又BH平面SBC，EF 平面SBC，所以EF平面SBC.解答(2)设SAAD2AB，试求直线EF与平面SCD所成角的正弦值.解解方法一如图，连接AF.因为SAAD，SAAD，所以AFSD.因为SA平面ABCD，所以SACD.因为ADCD，SAADA，SA，AD平面SAD，所以CD平面SAD，因为AF平面SAD，所以CDAF，又SDCDD，SD，CD平面SCD，所以AF平面SCD.所以AFE即为直
17、线EF与平面SCD所成角的余角.令SAAD2AB4，设直线EF与平面SCD所成的角为，方法二因为四边形ABCD是矩形，SA底面ABCD，所以直线AB，AD，AS两两垂直.以A为坐标原点，AB，AD，AS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设SAAD2AB4，则S(0，0，4)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，E(1，0，0)，F(0，2，2).设平面SCD的法向量为a(x，y，z)，取y1，所以a(0，1，1)是平面SCD的一个法向量.设直线EF与平面SCD所成的角为，编后语 有的同学听课时容易走神，常常听着听着心思就不知道溜到哪里去了；有的学生，虽然留心
18、听讲，却常常“跟不上步伐”，思维落后在老师的讲解后。这两种情况都不能达到理想的听课效果。听课最重要的是紧跟老师的思路，否则，教师讲得再好，新知识也无法接受。如何跟上老师饭思路呢？以下的听课方法值得同学们学习：一、“超前思考，比较听课”什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对比，从而发现不同之处，优化思维。比如在讲林冲棒打洪教头一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？老师没提了一个问题，同学们就应当立即主动地去思考，积极地寻找答案，
19、然后和老师的解答进行比较。通过超前思考，可以把注意力集中在对这些“难点”的理解上，保证“好钢用在刀刃上”，从而避免了没有重点的泛泛而听。通过将自己的思考跟老师的讲解做比较，还可以发现自己对新知识理解的不妥之处，及时消除知识的“隐患”。二、同步听课法 有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记下来，到课后再慢慢弄懂它。尖子生好方法:听课时应该始终跟着老师的节奏，要善于抓住老师讲解中的关键词，构建自己的知识结构。利用老师讲课的间隙，猜想老师还会讲什么，会怎样讲，怎样讲会更好，如果让我来讲，我会怎样讲。这种方法适合于听课容易分心的同学。2022-9-28精选最新中小学教学课件61thank you!2022-9-28精选最新中小学教学课件62
