1、7.17.1空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点一-2-知识梳理考点自诊1.空间几何体的结构特征 平行且相等 全等任意多边形有一个公共顶点的三角形相似矩形直角边直角腰圆锥半圆面或圆面第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点一-3-知识梳理考点自诊2.特殊的四棱柱 第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点一-4-知识梳理考点自诊3.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是,表面积是侧面积与底面面积之和.4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式所有侧面的面积之和 2rl rl(r1+r2)
2、l 第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点一-5-知识梳理考点自诊5.柱、锥、台和球的表面积和体积 Sh 4R2 第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点一-6-知识梳理考点自诊1.球的截面的性质(1)球的截面是圆面,且球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为2.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点一-7-知识梳理考点自诊第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点一-8-知识梳
3、理考点自诊1.下列结论正确的画“”,错误的画“”.(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.()(4)如果圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2S.()(5)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为3a2.()第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点一-9-知识梳理考点自诊2.(2019吉林四平一中期末)一个球的表面积是16,那么这个球的体积为()B 第八单元第八单元考
4、点一考点二核心素养专项提升考点一-10-知识梳理考点自诊3.(2019湖北武汉5月模拟)已知长方体全部棱长的和为36,表面积为52,则其体对角线的长为()B 第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点一-11-知识梳理考点自诊4.(2019安徽铜陵一中调研)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点一-12-知识梳理考点自诊5.(2019江苏,9)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1
5、的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.10 解析:长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,ABBCCC1=120.E为CC1的中点,CC1底面ABCD,CE为三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,CE=CC1,第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-13-考点1考点2考点3考点4空间几何体的结构特征例1(1)(多选)下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的各侧棱相交于一点,但不一定相等D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线(2)(2019湖南师大附中模拟
6、)给出下列几个命题:在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3CDB第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-14-考点1考点2考点3考点4解析:(1)A错误,如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B错误,如图2,若ABC不是直角三角形,或ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥;C正确,因为棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角
7、形,所以棱锥的各侧棱相交于一点;由母线的概念知,选项D正确.故选CD.(2)错误,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;正确;错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.故正确命题的个数是1.故选B.第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-15-考点1考点2考点3考点4思考辨别空间几何体的方法有哪些?解题心得辨别空间几何体的两种方法第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-16-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)(2019北京四中模拟)下列命题正确的是()A.两个面平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台B.两个面平行且相
8、似,其余各面都是梯形的多面体是棱台C.直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形(2)设有四个命题,其中真命题的个数是()有两个平面互相平行,其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱;有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥;用一个面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫棱台;侧面都是长方形的棱柱叫长方体.A.0B.1C.2D.3C A第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-17-考点1考点2考点3考点4解析:(1)如右图所示,可排除A,B选项.对于D选项,只有截面与圆柱的母线平行或垂直时,截得的截面
9、为矩形或圆,否则截面为椭圆或椭圆的一部分.故选C.(2)不满足棱柱的定义,所以不正确;不满足棱锥的定义,所以不正确;没有说明两个平面平行,不满足棱台的定义,所以不正确;没有说明底面形状,不满足长方体的定义,所以不正确;正确命题为0个,故选A.第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-18-考点1考点2考点3考点4空间几何体的表面积例2(1)(2018全国1,5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()(2)(2019山西运城康杰中学模拟)点A,B,C,D在同一球面上,AB=BC=,ABC=90,若四面
10、体ABCD体积最大值为3,则这个球的表面积为()A.2 B.4C.8D.16B D第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-19-考点1考点2考点3考点4解析:(1)过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以 ,所以圆柱的表面积为2rl+2r2=8+4=12.(2)由题意,知SABC=3,设ABC所在球的小圆的圆心为Q,则Q为AC的中点,当DQ与面ABC垂直时,四面体ABCD的最大体积为 SABCDQ=3,DQ=3,如图,设球心为O,半径为R,则在RtAQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=()2+(3-R)
11、2,R=2,则这个球的表面积为S=422=16.故选D.第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-20-考点1考点2考点3考点4思考求几何体的表面积的方法思路有哪些?解题心得求空间几何体表面积的常见类型及思路第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-21-考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)(2019贵州贵阳一中模拟)圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是()(2)(2019广东华南师大附中模拟)在梯形ABCD中,ABC=,ADBC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()AD第八单元第
12、八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-22-考点1考点2考点3考点4第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-23-考点1考点2考点3考点4空间几何体的体积例3(2019江西南康中学月考五)正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()B 解析:如右图所示,该几何体为两个全等的正四棱锥构成,四棱锥底面四边形面积为正方形面积的一半为2,高为正方体棱长的一半为1,第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-24-考点1考点2考点3考点4思考求解几何体体积的常用方法有哪些?解题心得1.求几何体的体积通常是直接利用公式求体积.2.把不规则的图形分割成规则的图形,然后
13、进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积.第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-25-考点1考点2考点3考点4对点训练3(2018天津,11)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-26-考点1考点2考点3考点4 与球有关的切、接问题(多考向)考向1棱柱的外接球问题例4(2019陕西宝鸡中学模拟,15)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为 ,AB=2,AC=1,BAC=60
14、,则此球的表面积等于.8第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-27-考点1考点2考点3考点4解题心得求棱柱外接球的半径,常利用球心到截面的距离d与球半径R及截面的半径r的关系式R2=r2+d2,这里棱柱的底面看作球的截面.第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-28-考点1考点2考点3考点4对点训练4一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 ,底面周长为3,则这个球的体积为.第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-29-考点1考点2考点3考点4 考向2棱锥的外接球问题(多方法)方法1补形法求球的半
15、径例5(2019全国1,理12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,CEF=90,则球O的体积为()D第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-30-考点1考点2考点3考点4第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-31-考点1考点2考点3考点4第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-32-考点1考点2考点3考点4思考若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,怎样求其外接球的半径?解题心得一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a,b,c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体
16、,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R,则有第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-33-考点1考点2考点3考点4对点训练5(2019福建漳州质检二,15)已知正四面体A-BCD的外接球的体积为8 ,则这个四面体的表面积为.第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-34-考点1考点2考点3考点4 方法2体积法求球的半径例6正四面体的棱长为a,则其内切球和外接球的半径是多少?解:如图所示,设点O是内切球的球心,正四面体棱长为a.由图形的对称性知,点O也是外接球的球心.设内切球半径为r,外接球半径为R.第八单元第八单元考点一考点二核心素养专
17、项提升考点二-35-考点1考点2考点3考点4思考几何体的内切球和外接球的球心与几何体有怎样的关系?解题心得正四面体的内切球及外接球的半径及其求法1.内切球的半径是根据球心到各个面的距离相等把正四面体分解成四个正三棱锥,且正四面体的体积等于四个正三棱锥体积之和,从而求出球心到正四面体面的距离,即内切球半径.2.外接球的半径是根据外接球的球心到正四面体的每一个顶点的距离是相等的,所以继计算出内切球半径后,再将分解出来的小的四面体的棱长计算出来即可.3.内切球与外接球半径的联系:内切球半径+外接球半径=正四面体的高.第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-36-考点1考点2考点3考点4对
18、点训练6(2019山师附中考前模拟,14)在三棱锥P-ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,三个侧面与底面所成的角均为60,三棱锥的内切球的表面积为.第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-37-考点1考点2考点3考点4 方法3确定球心位置例7(2019陕西咸阳一模,10)四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上,AB=2,BC=CD=1,BCD=90,AB平面BCD,则球O的表面积为()A.6B.5C.4D.3A第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-38-考点1考点2考点3考点4解析:由于AB平面BCD,故ABBD,ABCD,而CDBC,故CD平面ABC,所以CD
19、AC,所以三角形ABD和三角形ACD为有公共斜边的直角三角形,设斜边AD的中点为O,则有OA=OB=OC=OD,即O为外接球的球心,AD为球的直径,AD2=BC2+CD2+AB2=6,所以球的表面积为AD2=6,故选A.第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-39-考点1考点2考点3考点4思考如何确定棱锥外接球的球心?解题心得球是中心对称图形和轴对称图形,球心与任意一个截面圆的圆心的连线垂直截面圆,经常由此性质来确实球的球心位置.第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-40-考点1考点2考点3考点4对点训练7(2019河北唐山一模,15)在四面体ABCD中,AB=BC=
20、1,AC=,且ADCD,该四面体外接球的表面积为.2 解析:如图所示,由AB=BC=1,AC=,得ABBC,所以ABC为直角三角形.AC的中点到点A,B,C的距离相等且为AC长的一半,又ADCD,DAC也是直角三角形,AC的中点到点D的距离也是AC长的一半,所以AC的中点到四面体各顶点的距离都相等,所以其外接球的球心即为AC的中点.第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升考点二-41-考点1考点2考点3考点41.求柱体、锥体、台体与球的表面积、体积的问题,要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决.2.求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面.3.与球有关的组合体问题,一种是内切,
21、一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.1.求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积问题易出错.2.易混侧面积与表面积的概念.第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-42-例1(2019河北衡水中学四调,10)如图所示,某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成,该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为()第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-43-答案:B小圆柱体积V=(5cos)2(5+5sin),设sin
22、=t,t(0,1),则V=125(-t3-t2+t+1),第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-44-例2(2019山东德州一模,12)在四面体ABCD中,若AD=DB=AC=CB=1,则四面体ABCD体积的最大值是()答案:A第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-45-第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-46-例3(2017全国1,理16)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-47-第八单元第八单元考点一考点二核心素养专项提升核心素养专项提升-48-点评求几何体体积最值的基本思路是根据题意设出一个几何量,用该量表示出几何体的体积,然后根据体积表达式求其最值,若表达式是一个三次以上的函数,一般通过求导的方法求最值.
