1、2020授课教师：第 7 讲：一元一次方程解决实际问题（2）日期：2020年10月30日培优专用01基础导学P0502分类解析P57目录 CONTENTS和差倍分问题基础导学利用关键词（大、小、共、增加、减少）列方程1.倍数关系 关键词：是几倍、增加几倍、增加百分之几2.多少关系 关键词：多、少、和、差、不足等积变形、面积问题常见等量关系：原体积=成品体积圆柱体体积公式=底面积高长方体体积公式=长宽高调配问题这类问题搞清楚人数的变化，题型有：有调入有调出；或只有调入（出）无调出（入）基 础 导 学培优专用比例分配问题基础导学一般思路：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式等量关系：各部
2、分之和=总量年龄问题年龄差不变比赛积分问题1.分析题意，分别确定胜负一场的得分；2.设未知数，写出胜场积分与负场积分；3.根据题意列方程，求解，检验基 础 导 学培优专用方案选择问题基础导学读懂题意，根据题意列出方程或等式，比较费用古典数学问题理解图文意义，合理设出未知数，找出等量关系，得到方程求解其它问题基 础 导 学培优专用动点问题，阅读材料问题等等01基础导学P0502分类解析P57目录 CONTENTS例 1.（2020河北文安初一期末）已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则可列方程为（）和差
3、倍分问题培优专用【答案】设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，可得：518x=2（106+x）例 2.（2020山西初一期末）列方程求解应用题.七年级（2）班共有学生44人，其中女生比男生多4人，求男生的人数；和差倍分问题培优专用【答案】设男生人数为x人，则女生为44-x人，根据题意，可列方程为44-x=x+4，解得：x=20，答：男生的人数为20人.例 3.（2020山东东明初一期末）若正方形的边长增加3cm，它的面积就增加39cm，则正方形的边长原来是（）A8cm B6cm C5cm D10cm面积（体积）问题培优专用【答案】设正方形的边长为x cm，由题意得：6x+9=39，解得：x=5，故答案为
4、：C.例 4.（2020江苏南京期末）如图，一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板与一块正方形纸板以及另两块长方形纸板和，恰好拼成一个大正方形，则大正方形的面积是_平方厘米面积（体积）问题培优专用【答案】设小正方形的边长为x，依题意得1+x+2=4+5x，解得：x=3，大正方形的边长为6厘米，大正方形的面积是66=36（平方厘米）例 5.（2020内蒙古海勃湾初一期末）在数学活动课上，小聪把一张白卡纸画出如图所示的8个一样大小的长方形，再把这8个长方形纸片剪开，无重叠的拼成如图的正方形ABCD，若中间小正方形的边长为2，则正方形ABCD的周长是 _ 面积（体积）
5、问题培优专用例 6.（2020广东期末）某中学进行义务劳动，去甲处劳动的有30人，去乙处劳动的有24人，从乙处调一部分人到甲处，使甲处人数是乙处人数的2倍，若设应从乙处调x人到甲处，则所列方程是调配问题培优专用【答案】设应从乙处调x人到甲处，依题意，得：30+x=2(24x)例 7.（2020湖南雨花初一期末）请阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，四只栖一树，五只没处去，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗中谈到的鸦为_只，树为_棵调配问题培优专用【答案】设树有x棵依题意列方程：4x+55(x1)解得：x10所以树有10棵，鸦的个数为：104+545故答案为45，10例
6、8.某校六年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4：5：7若由外校转入1人加入 乙队，则后来乙与丙的人数比为何？A3：4B4：5 C5：6D6：7比例问题培优专用【答案】设甲、乙、丙三队，其人数分别为4x，5x，7x，由题意得4x+5x+7x=64，解得x=4，故乙队有45=20人，丙队有47=28人由外校转入1人加入乙队后乙与丙的人数比为：21：28，即3：4故选A例 9.某公司门口有一个长为900cm的长方形电子显示屏，公司的有关活动信息都会在电子显示屏上显示字幕由于每次活动的信息不同，所以字幕的字数也就不等为了制作及显示时方便，负责发布活动信息的员工对有关数据作出了如下规定：边空宽
7、：字宽：字距=3:4:1请用列方程的方法解决下列问题：（1）若某次活动字幕的字数为17，则字距是多少？（2）若某次活动字幕的字宽为45cm，则字数是多少？比例问题培优专用培优专用例 10.加工某种工件，须顺次进行三道工序，工作量的比依次是214甲完成一个工件与第二个工件的前两道工序，所用时间为t已知甲和乙的加工效率比是67，则乙完成一个工件，需要的时间是t的_倍比例问题培优专用例 11.（2020山西初一期末）列方程求解应用题.假设小明今年年龄为13岁，他的数学老师今年的年龄为36岁，请你据此设计一个解一元一次方程的应用题，并完成解答.年龄问题培优专用例 12.在2019年女排世界杯比赛中，中
8、国队以11场全胜积32分的成绩成为女排世界杯五冠王、女排世界杯比赛积分规则如表所示，若中国队以大比分3：2取胜的场次有x场，则根据以上信息所列方程是_.积分问题培优专用【答案】设中国队以大比分3：2取胜的场次有x场，则中国队以小比分3：1或3：0取胜的场次有（11x）场，依题意，得：2x+3（11x）32大比分大比分胜（积分）胜（积分）负（积分）负（积分）3：0303：1303：221例 13.盛盛同学到某高校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）：盛盛同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题：（1）从表中可以看出，负一场积_分，胜一场积_分（2）某队在比完22场的前提下
9、，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由积分问题培优专用院系篮球赛成绩公告院系篮球赛成绩公告比赛场次比赛场次胜场负场积分2212103422148362202222培优专用【答案】（1）由表中最后一行的信息可知，某队22场全负共积了22分，负一场的积分为：2222=1（分）；设胜一场积a分，则由表中第一行信息可得：12a+10=34，解得：a=2，胜一场积2分；（2）设该队胜了x场，根据题意可得：2x=2(22-x)，解得：x=11，若某队赛完全部22场，胜了11场，则该队的胜场积分是负场积分的2倍.答：若该队在22场比赛中胜了11场，则其胜场积分是负场积分的2倍.例 14.为了促进
10、全民健身运动的开展，某市组织了一次足球比赛，下表记录了比赛过程中部分代表队的积分情况.（1）本次比赛中，胜一场积_分；（2）参加此次比赛的F代表队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分，请你求出F代表队胜出的场数.积分问题培优专用代表队代表队场次（场）场次（场）胜（场）胜（场）平（场）平（场）负（场）负（场）积分（分）积分（分）A651016B660018C632111D631210ABCDABCD培优专用【答案】(1)根据B代表队的积分情况可得胜一场的积分情况：186=3（分）(2)由A代表队的积分情况得出平一场的积分情况：（16-35）1=1（分）由C代表队的积分情况得出负一场的积分情
11、况：（11-33-21）1=0（分）设F代表队胜出的场数为x，则平场为（9-x）场，列方程得：3x+1(9-x)=23解方程得：x=7例 15.（2020河北饶阳 期末）某品牌西服标价200元，领带标价40元，若去甲商店购买可享受买一送一（即买一套西 服送一条领带）的优惠，去乙商店购买西服领带均可享受九折优惠；小李是公司的采购员，公司要采购20套西服，外加x条领带x20）（1）如果甲商店购买西服和领带，花费_元；如果乙商店购买西服和领带，花费_元（2）当x为多少时，在甲乙两家商店费用一样多?方案问题培优专用培优专用例 16.（2020河北文安初一期末）某市城市居民用电收费方式有以下两种：（甲）
12、普通电价：全天 0.53元/度；（乙）峰谷电价：峰时（早 8：00晚 21：00）0.56 元/度；谷时（晚 21：00 早 8：00）0.36元/度估计小明家下月总用电量为 200 度（1）若其中峰时电量为 50 度，则小明家按照哪种方式付电费比较合适？能省多少元？（2）到下月付费时，小明发现那月总用电量为 200 度，用峰谷电费付费方式比 普通电价付费方式省了 14 元，求那月的峰时电量为多少度？方案问题培优专用培优专用【答案】（1）按普通电价付费：2000.53=106元，按峰谷电价付费：500.56+1500.36=82元所以按峰谷电价付电费合算，能省106-82=24元；（2）设那月
13、的峰时电量为x度，根据题意得：0.53200-0.56x+0.36（200-x）=14，解得x=100答：那月的峰时电量为100度例 17.（2019黑龙江甘南初一期末）元旦假期，甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市当日累计购物超出了300元以后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市当日累计购物超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠设某位顾客在元旦这天预计累计购物x元（其中x300）（1）当x=400时，顾客到哪家超市购物优惠（2）当x为何值时，顾客到这两家超市购物实际支付的钱数相同方案问题培优专用培优专用【答案】（1）由题意可得：当x=4
14、00时，在甲超市购物所付的费用是：0.8400+60=380（元），在乙超市购物所付的费用是：0.85400+30=370（元），380370，当x=400时，到乙超市购物优惠；（2）根据题意得：300+0.8（x-300）=200+0.85（x-200），解得：x=600.答：当x=600时，两家超市所花实际钱数相同例 18.（2020黑龙江甘南初一期末）某班将买一些乒乓球和乒乓球拍.了解信息如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍.乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元；经洽谈：甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙店全部按定价的9折优惠.该班需球拍5副，乒乓球若干盒(不小于5
15、盒).问：(1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？(2)如果要购买15盒或30盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？方案问题培优专用培优专用【答案】(1)设当购买乒乓球x盒时，两种优惠办法付款一样，则305+5(x5)=(305+5x)90%，解得：x=20当购买乒乓球20盒时，两种优惠办法付款一样(2)在甲商店购买球拍5副、15盒乒乓球需要：305+5(155)=150+50=200(元)在乙商店购买球拍5副、15盒乒乓球需要：(305+515)90%=22590%=202.5(元)因为200202.5，所以我去买球拍5副、15盒乒乓球时，打算去甲家商店购买，在
16、甲家商店购买比较合算.在甲商店购买球拍5副、30盒乒乓球需要：305+5(305)=150+125=275(元)在乙商店购买球拍5副、30盒乒乓球需要：(305+530)90%=30090%=270(元)因为270275，所以我去买球拍5副、30盒乒乓球时，打算去乙家商店购买，在乙家商店购买比较合算.例 19.（2020宿迁市钟吾初级中学初一期末）某自来水公司按如下规定收取水费：若每月用水不超过10立方米，则按每立方米1.5元收费；若每月用水超过10立方米，超过部分按每立方米2元收费（1）如果居民甲家去年12月用水量为8立方米，那么需缴纳_元水费：（2）如果居民乙家去年12月缴纳了22.8元水
17、费，那么乙家去年12月的用水量为_立方米；（3）如果居民丙家去年12月缴纳了m元水费，那么丙家去年12月的用水量为多少立方米？（用m的式子表示）方案问题培优专用培优专用例 20.（山西初一月考）光明中学七年级 1 班组织家长和学生去某红色景区参观学习，假设学生有 30 人，家长有 x 人该红色景区为学生和家长提供了两种购买门票方案：方案一，成人票每张 100 元，学生票每张 50 元；方案二，团体超过 50 人，成人票和学生票每张都为 75 元（1）按方案一购票，应付门票总价为 元；（用含 x 的代数式表示）（2）如果家长人数为 40 人，按方案一购票应付门票总价为多少元？（3）如果家长人数为
18、 40 人，按方案几购票更划算？方案问题培优专用培优专用【答案】解：（1）按方案一购票，应付门票总价为100 x+1500元故答案为：100 x+1500（2）把x=40代入代数式100 x+1500，得5500 元因此，按方案一购票应付门票总价为5500元（3）按方案二购票应付门票总价为（40+30）75=5250元5250250时，49+0.2（t-200）+0.3（540-500）=69+0.15（t-250）解得t=210，不合题意，舍去综上，若上网流量为540MB，当主叫通话时间为240分钟时，按套餐1和套餐2计费相等；（3）由（2）可知，当t240时，选择套餐2省钱例 24.（20
19、20山西阳城初一期末）在九章算术中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，还差4元，问人数是多少？若设人数为x人，则可列方程为古典问题培优专用【答案】设人数为x，则可列方程为：8x37x4例 25.（2020四川汶川初一期末）我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：求100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，可列方程为古典问题培优专用例 26.（2020山西初三三模）明代数学家程大位的算法统宗中有
20、一个“以碗知僧”的问题，“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧三百六十四只碗，恰合用尽不差争三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗请问都来寺里有多少个和尚？此问题中和尚的人数为（）古典问题培优专用例 27.（2020重庆梁平 期末）我国古代名著九章算术中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭与大雁从北海和南海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为古典问题培优专用例 28.增删算法统宗记载：“有个学生资性好，一部孟子
21、三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少?”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部孟子，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字?已知孟子一书共有34 685个字，设他第一天读x个字，可列方程为古典问题培优专用【答案】x2x4x34685.例 29.（2020吉林初三其他）我国古代数学著作孙子算经中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐.问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列方程为古典问题培优专用【答案】每车坐3人，两车空出来，可得人数为3（x-2）人；每车坐2人，多出9人无车坐，可
22、得人数为（2x+9）人，所列方程为：3（x-2）=2x+9.例 30.（2020湖北黄石期末）中国古代数学著作算法统宗中有这样一题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地请你求出此人第六天的路程古典问题培优专用例 31.（2020安徽合肥三模）计算之书是意大利中世纪著名数学家斐波那契（公元1175-1250年）的经典之作书中记载了一道非常有趣的“狐跑犬追”问题：在相同的时间里，猎犬每跑9m，狐狸跑6m若狐狸与猎犬同时起跑时狐狸在猎犬前
23、面50m，问狐狸跑多少距离后被猎犬追上？古典问题培优专用例 32.（2020福建漳州 期末）我国元朝朱世杰所著的算学启蒙（1299年）一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里驽马先行一十二日，问良马几何日追及之”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马？古典问题培优专用【答案】设快马x天可以追上慢马，依题意，得240 x=150(x+12)，解得：x=20，答：快马20天可以追上慢马.例 33.“今有善行者行一百步，不善行者行六十步”（出自九章算术）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走6
24、0步，假定两者步长相等，据此回答以下问题：（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？古典问题培优专用培优专用例 34.（2020江西新余初三一模）孙子算经中，记载的“荡杯问题”：“今有妇人河上荡杯津吏问曰：“杯何以多？”妇人日：“家有客”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五”不知客几何？
25、”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”若设共有客人x人，可列方程为_古典问题培优专用例 35.（2020湖南茶陵 期末）十个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个整数，并把自己想好的数如实告诉他两旁的两个人，然后每人将他两旁的人告诉他的数计算出平均数并报出来已知每个人报的结果如图所示，那么报“3”的人自己心里想的数是_其它问题培优专用【答案】设报3的人心里想的数是x，报5的人心里想的数应是8-x，报7的人心里想的数是12-（8-x）=4+x，报9的人心里想的数是16-（4+x）=12-x，报1的人心里想的数是20-（12-x）
26、=8+x，报3的人心里想的数是4-（8+x）=-4-x，所以得x=-4-x，解得x=-2故答案为：-2其它问题培优专用【答案】根据总人数列方程，应是40m+10=43m+1，错误，正确；根据客车数列方程，错误，正确；所以正确的是例 37.（2020河北饶阳期末）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文 明文（解密）已知加密规则为：明文 对应的密文a+1,b+4,3c+9例如明文1，2，3对应的密文2，8，18如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为（）A4，5，6B6，7，2C2，6，7D7，2，6其它问题培优专用【答案】根据题意得：a+1=7，解得
27、：a=62b+4=18，解得：b=73c+9=15，解得：c=2故解密得到的明文为6、7、2故选B例 38.在数轴上，对于不重合的三点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍，我们就把点C叫做（A，B）的和谐点.例如：如图，点A表示的数为-1，点B表示的数为2.表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1.那么点C是（A，B）的和谐点；又如，表示数0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是（A，B）的和谐点，但点D是（B，A）的和谐点.（1）当点A表示的数为，点B表示的数为8时，若点C表示的数为4，则点C （填“是”或“不是”）（A，B）的和谐点；若点D是（B，A）的和谐点，则点D表示的数是 ；（2）若A，B在数轴上表示的数分别为-2和4，现有一点C从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，当点C到达点A时停止，问点C运动多少秒时，C，A，B中恰有一个点为其余两点的和谐点？其它问题培优专用培优专用2020谢 谢培优专用
