1、目录 上页 下页 返回 结束 二、分部积分法二、分部积分法第四节一、换元积分法一、换元积分法积分法则 第四章 三、几种特殊函数的积分三、几种特殊函数的积分目录 上页 下页 返回 结束 1.不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法 一、换元积分法一、换元积分法2.定积分的换元积分法定积分的换元积分法 二、分部积分法二、分部积分法1.不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法 由导数公式vuvuuv)(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd目录 上页 下页 返回 结束 1.不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法 由导数公式vuvuuv)(积分得:
2、xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1)v 容易求得;xvuxvudd)2比容易计算.:)d(的原则或及选取vvu目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求.dcosxxx解解:令,xu,cosxv 则,1 uxvsin 原式xxsinxxdsinCxxxcossin思考思考:如何求?dsin2xxx提示提示:令,2xu,sin xv 则原式xx cos2xxxdcos2目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求.dlnxxx解解:令,ln xu xv 则,1xu 221xv 原式=xx ln212xxd21Cxxx2241ln21目录 上页 下页 返
3、回 结束 例例3.求.darctanxxx解解:令,arctan xu xv 则,112xu221xv 原式xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111(212xx arctan212Cxx)arctan(21目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求.dsinexxx解解:令,sin xu xve,则,cosxu xve 原式xxsinexxxdcose再令,cosxu xve,则,sin xuxvexxsinexxxxxdsinecose故 原式=Cxxx)cos(sine21说明说明:也可设vux,e为三角函数,但两次所设类型必须一致.目录 上页 下页
4、返回 结束 解题技巧解题技巧:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三反对幂指三”的顺序,前者为 后者为u.v例例5.求.darccosxx解解:令,arccosxu 1 v,则,211xuxv 原式=xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1(222121xxxxarccosCx 21反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求.dexx解解:令,tx则,2tx ttxd2d 原式tttde2tte2Cxx)1(e2,tu tve)etC令tte(2ttde目录 上页 下页 返回 结束 例例7.求.)
5、0(d22axax解解:令,22axu,1 v则,22axxuxv 22axxxaxxd22222axxxaxaaxd22222)(22axxxaxd2222d2axxa 原式=2221axxCaxxa)(ln2222xaxd22目录 上页 下页 返回 结束 例例8.求求 递推公式递推公式.n 为自然数为自然数.sin dnnIxx x解解:nI得递推公式得递推公式12sin(1)cosnnnnInxxnxxIn d(cos)nxxcosnxx cos dnx xcosnxx 1cos dnn xx xcosnxx 1dsinnn xxcosnxx 1(sinnn xx1sin d)nx xc
6、osnxx 1sinnnxx2(1)sin dnn nxx x目录 上页 下页 返回 结束 例例9.求.)(d22nnaxxI解解:令,)(122naxu,1 v则,)(2122naxxnuxv nIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得递推公式nnnIannaxxanI22221212)(21222)(aaxnaxx)(22目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:递推公式nnaxxI)(d22已知CaxaIarctan11利用递推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a
7、22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22221212)(21目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的 u,v 函数类型不变,解出积分后加 C)例例43)对含自然数 n 的积分,通过分部积分建立递 推公式.目录 上页 下页 返回 结束 例例10.已知)(xf的一个原函数是,cosxx求.d)(xxfx 解解:xxfxd)()(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2说明说明:
8、此题若先求出)(xf 再求积分反而复杂.xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos22xxxsinxcos目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.,)(,)(1baCxvxu设则)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(证证:)()()()()()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上积分两端在,ba2.定积分的分部积分法定积分的分部积分法 目录 上页 下页 返回 结束 例例11.计算.darcsin210 xx解解:原式=xx arc
9、sin021210 xxxd1212)1(d)1(212022121xx1221)1(2x02112231目录 上页 下页 返回 结束 20dcosttn20dcosxxn例例12.证明证明20dsinxxInn证证:令20dcosxxn,22143231nnnnn 为偶数,3254231nnnnn 为奇数,2xt则20dsinxxn022d)(sinttn令,sin1xun,sin xv 则,cossin)1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin)1(xxxnn0目录 上页 下页 返回 结束 2022dcossin)1(xxxnInn2022d)sin1(
10、sin)1(xxxnn2)1(nInnIn)1(由此得递推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,220dsinxxInn201dsinxxI1故所证结论成立.0I1I22mI2232mm42mI 214312mI1222mm32mI 3254目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 分部积分公式分部积分公式xvuvuxvudd1.使用原则:xvuvd易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三反对幂指三”,前 u 后v3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(目录 上页 下页 返回 结束
11、例例1.求xxId)ln(sin解解:令,lnxt 则txxttded,ettItdsinettesinttecostttttdcosesinetsinteIttt)cos(sineCttIt)cos(sine21Cxxx)cos(ln)sin(ln21可用表格法求多次分部积分目录 上页 下页 返回 结束 uxxuuded,e例例.求.d)(ln43xxx解解:令则原式原式,lnxu u3e4uuudeuuude444uu4e34u212uu24240u441eu441e2u441e3u441e4u441e5原式原式=u4e414u3u243uu83323CCxxxxx323ln83ln43l
12、nln412344目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?xxxdsincosxxxxxdsin)sin1(sinsinxxxxdsinsincos12xxxdsincos1,1dsincosdsincosxxxxxx得 0=1答答:不定积分是原函数族,相减不应为 0.求此积分的正确作法是用换元法.xxsinsindCx sinln目录 上页 下页 返回 结束 2.求xbxaIxkd)cos(e提示提示:)cos(bxa)sin(bxaa)cos(2bxaaxkke12xkexkke1得)cos(e1bxakIxk)sin(e2bxakaxkIka2
13、2目录 上页 下页 返回 结束 2.设()(),()F xf xf x是的一个原函数证证:目录 上页 下页 返回 结束 可微且其反函 数 1()fx存在,证明 111()d()()fxxx fxF fxC111()d()d()fxxx fxx fx11()d()x fxfx1()ffx11()()x fxF fxC1:()xffx注意目录 上页 下页 返回 结束 3.设,1,0)(连续在xf ,3)2(,1)0(ff且,5)2(f求.d)2(10 xxfx 解解:xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部积分分部积分)目录
14、 上页 下页 返回 结束 备用题备用题.1.1.求不定积分解解：.d1eexxxx方法1(先分部,再换元)xxxxd1ee)1(ed1exxxx21edx1e2xxxxd1e2令,1e xu则uuuxd12d2uuud122221e2xx112u1e2xxCuu)arctan(44Cxx1earctan41e4目录 上页 下页 返回 结束 方法方法2(先换元,再分部)令,1e xu则,)1ln(2ux故 xxxxd1eeuuuuuud12)1ln()1(222uud)1ln(22)1ln(22uuuuud14221)1ln(22uuu4Cu arctan41e2xxCxx1earctan41e41uuuxd12d2xxxxd1ee目录 上页 下页 返回 结束 证：证：2.右端,)(上有连续的二阶导数在设baxf)(af且试证 babaxxfbxaxxxfd)()(21d)(baxfbxax)(d)(21abxfbxax)()(21xbaxxfbad)2)(21分部积分)(d)2(21xfbaxba再次分部积分xxfbad)(abxfbax)()2(21=左端,0)(bf
